V´arios autores defendem o tratamento filos´ofico da vaguidade por meio de valora¸c˜oes infinito-valentes, entre eles encontram-se [Mac76], [Gog69], [Lak73], [Kin79] e [For83]. Ao permitir uma faixa cont´ınua de valores semˆanti- cos, pode-se determinar uma fun¸c˜ao que, por exemplo, associe continuamente a cada altura um valor-verdade ao predicado ‘alto’, assim, os limites difu- sos de ‘alto’ seriam supostamente acomodados pelas mudan¸cas graduais nos valores-verdade dos predicados.
Mas ser´a que podemos admitir que ‘verdade’ ´e um tipo de coisa que possa ser dada em graus com uma correspondˆencia de ordem entre valores mensurados e valores-verdade, no sentido em que, por exemplo, se a ´e mais alto que b, ent˜ao necessariamente ‘a ´e alto’ tem valor-verdade maior do que ‘b ´e alto’ ?
Talvez n˜ao. Um argumento muito conhecido ´e o seguinte: Se F ´e um t´ıpico predicado vago, ent˜ao uma coisa pode ser mais F que outra, indicando
que a F -tude vˆem em graus. Se coisas podem ser F em diferentes graus, ent˜ao ‘x ´e F ’ tamb´em pode ser verdadeiro em diferentes graus. Digamos que ‘a ´e F ’ com grau 0,5, ent˜ao nem ‘a ´e F ’ nem ‘a ´e ¬F ’ podem ser absolutamente verdadeiras; em vez disso, ambos s˜ao verdadeiros com grau 0,5. Mas, por exemplo, suponhamos que ‘a’ represente um homem com 2,05 metros e ‘b’ seja um outro com 2,0 metros, e tomemos F (x) como o predicado ‘x ´e alto’. Da´ı, ‘a’ e ‘b’ s˜ao inquestionavelmente altos e parece-nos que ‘a ´e alto’ (F (a)) e ‘b ´e alto’ (F (b)) poderiam ambas serem considerados completamente verdadeiras. Ainda que um seja mais alto que o outro, n˜ao podemos concluir do fato que ‘a ´
e mais F que b’, que ‘a ´e F ’ com grau maior que b, no sentido de a declara¸c˜ao ‘a ´e F ’ ser mais verdadeira que ‘b ´e F ’.
As teorias de grau poderiam declarar que ´e apenas para casos-fronteira que os casos diferem em grau de verdade, mas, precisar´ıamos de um novo ar- gumento para estender essa suposta correla¸c˜ao entre graus e valores-verdade a todos os objetos num certo intervalo.
1.6.1
Teoria de grau de Machina
Machina admite infinitos valores de verdade que correspondem a graus de verdade, e s˜ao representados por um conjunto de n´umeros reais no intervalo [0,1]. Toma-se 1 como o valor distinguido, representando verdade completa. Sua escolha semˆantica ´e verofuncional e ele adota a condi¸c˜ao de verdade de Lukasiewicz para os conectivos, isto ´e:
Para todo p, q ∈ [0, 1] definem-se1:
• v(p&q) ˙= min{v(p), v(q)}
• v(¬p) ˙=1 − v(p)
• v(p → q) ˙=n 1 se v(p) ≤ v(q) 1 − v(p) + v(q) se v(p) > v(q)
Machina define validade preservando o grau de verdade da forma usual afirmando que um argumento ´e v´alido se, e somente se, a conclus˜ao tiver um valor-verdade maior ou igual ao valor das premissas. Machina tamb´em explica como essa no¸c˜ao pode ser generalizada, afirmando que ela depende de como o grau de verdade ´e ‘preservado’, ou seja, quanto mais se ‘perde’ verdade das premissas para a conclus˜ao, menor ser´a o grau de verdade. Assim, coloca- se a seguinte condi¸c˜ao de validade:
O argumento ser´a mais pr´oximo da validade, quanto menor for a ‘queda’ de valor entre o valor da premissa e o valor da conclus˜ao.
Com essa no¸c˜ao de validade em mente, Machina volta-se para o Paradoxo do Sorites. Considere uma vers˜ao com uma s´erie de premissas condicionais da forma ‘se F (xi) ent˜ao F (xi+1)’. Nos casos-fronteiras, o valor de F (xi+1) ser´a
menor que o valor de F (xi), mas, para uma s´erie do Sorites descendente, com
diferen¸cas suficientemente pequenas entre membros consecutivos, a diferen¸ca nesses valores de verdade ser´a sempre pequena, e dada a defini¸c˜ao de verdade de Machina, o condicional ‘se F (xi) ent˜ao F (xi+1)’ ser´a pelo menos pr´oximo
`
a verdade para todo i ∈ N. Ent˜ao, se a primeira premissa da forma F (x0)
´
e verdadeira com grau 1, todas as premissas seguintes ser˜ao pr´oximas da verdade, desde que se mantenham com diferen¸cas suficientemente pequenas. Desta forma, o Sorites nos leva da premissa verdadeira para a conclus˜ao F (x1000), que ´e muito pr´oxima de ser completamente falsa. Esse argumento
entretanto, est´a distante de ser v´alido de acordo com nossa intui¸c˜ao, pois, com o uso repetido do condicional, ao final de muitos passos, teremos um grande decaimento do valor de verdade. Cada passo do argumento ´e uma aplica¸c˜ao de modus ponens, que na exposi¸c˜ao de Machina ´e menos que completamente v´alido.
Machina adotou a teoria de conjuntos difusa de Zadeh, mas elaborou um ponto de vista em que predicados vagos s˜ao, cada um, determinados por um ´
unico conjunto difuso.
No pr´oximo cap´ıtulo abordaremos este ponto de vista com mais detalhes e vamos expor uma cr´ıtica a ele.
1.6.2
Conjunto de valores-verdade alternativos
O conjunto de valores-verdade de Machina, representado pelo intervalo real [0,1], estabelece uma ordem completa de graus. Para qualquer par a e b num dado universo de discurso, e qualquer predicado F referente a esse universo, podemos ter as seguintes trˆes situa¸c˜oes: ‘a ´e mais F que b’; ‘b ´e mais F que a’; ou ainda ‘a e b tˆem o mesmo grau de verdade pem rela¸c˜ao a F ’. Contudo, compara¸c˜oes como ‘F -tude’ ser˜ao sempre precisas, pois, todas as instˆancias ser˜ao verdadeiras com algum grau entre 0 e 1. Mas quando muitas dimens˜oes s˜ao relevantes para a aplicabilidade de F , como no caso de agrad´avel, tais considera¸c˜oes parecem deslocadas, ou seja, segundo Machina, talvez n˜ao exista uma ordem completa de pessoas classificadas por graus de agradabilidade. Duas pessoas poderiam ser bastante agrad´aveis, agrad´aveis com graus intermedi´ario ou poder´ıamos n˜ao saber distinguir qual delas ´e mais agrad´avel.
Esse tipo de considera¸c˜ao leva Goguen em [Gog69] a sugerir v´arias gene- raliza¸c˜oes `as teorias de grau. Primeiramente, para predicados multidimensi- onais, o conjunto de valores-verdade pode ser considerado como uma n-upla de n´umeros reais em que existe um valor correspondente para cada dimens˜ao relevante a cada aplica¸c˜ao. Para ilustrar, tomemos o predicado “grande”. Deve-se ter um valor para o volume e um para a altura, se existisse uma ´
unica forma correta de avaliar diferentes dimens˜oes, ent˜ao um ´unico valor poderia ser designado, mas, como isso n˜ao ocorre, a n-upla deve fornecer
uma representa¸c˜ao semˆantica melhor. Contudo, mesmo o uso de n-uplas, pode n˜ao ser suficiente para representar alguns predicados multidimensio- nais, em que as dimens˜oes n˜ao s˜ao elas pr´oprias bem definidas.
Zadeh e Lakoff, em [Zad75] e [Lak73], defendem uma modifica¸c˜ao dife- rente para o conjunto de valores-verdade. Eles introduzem valores-verdade difusos `as express˜oes do tipo ‘muito verdadeiro’, ‘bastante falso’, etc. Os novos valores s˜ao eles mesmos conjuntos difusos; com isso, uma seten¸ca pode ter diferentes valores-verdade. Por exemplo, suponhamos que temos o pre- dicado A(x) significando ‘x ´e alto’, e seja f (x) a fun¸c˜ao que designa o grau de verdade do predicado A. Para designarmos o grau de ‘muito verdade’ de A(x), Zadeh prop˜oe que se tome, por exemplo, a fun¸c˜ao g(x) = (f (x))2,
assim, uma senten¸ca que ´e verdadeira com grau n poderia ser um elemento com valor-verdade ‘bastante verdadeiro’ com grau n2, com n ∈ [0, 1]. Ex-
press˜oes tais como ‘muito verdade’, ‘bastante falso’ etc s˜ao chamadas de vari´aveis ling¨u´ısticas na teoria de conjuntos difusos. O grau de verdade difuso ´e, contudo, fixado sobre bases de graus de verdade designados numeri- camente. Portanto, as posi¸c˜oes de Zadeh e de Lakoff n˜ao podem separar-se muito substancialmente das outras teorias infinito-valentes.