Lei de Escoamento Plástico

A função de escoamento que determina o início do comportamento plástico do material tem a seguinte forma geral:

0 ) , (σ κ ≤

F (3.60)

Onde é o parâmetro de endurecimento do material obtido experimentalmente. Quando

F(σ, ) < 0 o material se encontra no regime elástico e o ponto referente ao estado de

tensões se coloca dentro da superfície de escoamento. O sinal de igualdade corresponde ao domínio plástico com o ponto referente ao estado de tensões sobre a superfície de escoamento. Para materiais com endurecimento, quando o ponto referente ao estado de tensões atinge a superfície de escoamento, ela se expande, fazendo com que este ponto permaneça sobre esta superfície.

Supondo-se a existência de uma função de potencial plástico Q que descreve o comportamento plástico do material, pode-se relacionar a direção dos vetores da deformação incremental plástica com o gradiente desta função. Como eles são perpendiculares, tem-se: ij p ij Q d d σ λ ε ∂ ∂ = (3.61)

que é a lei do escoamento plástico não-associada ou regra de fluência não-associada. Quando as funções F e Q são as mesmas tem-se a lei do escoamento plástico associada ou regra de fluência associada:

ij p ij F d d σ λ ε ∂ ∂ = (3.62)

que relaciona incrementos de deformação plástica com o gradiente da função de escoamento. d é um fator de proporcionalidade escalar, maior que zero, e que varia durante o processo de deformação, sendo chamado de multiplicador plástico.

Considerando o emprego da regra de fluência associada, algumas considerações mais detalhadas devem ser introduzidas. Devido à fluência plástica, alguns materiais apresentam um grau de endurecimento nesta fase e duas hipóteses foram feitas para definir este comportamento. Na primeira hipótese HILL apud DESAI E SIRIWARDANE (1984) supôs que o endurecimento depende somente do trabalho plástico e é independente da trajetória das deformações. A segunda hipótese supõe que a deformação plástica é a medida do endurecimento. Com relação à primeira hipótese, o trabalho de endurecimento obedece aos seguintes postulados, conhecidos como postulados de Drucker:

a) Durante a aplicação das tensões, o trabalho feito pelas forças externas é positivo;

b) Durante o ciclo de aplicação e remoção das tensões, o trabalho feito pelas forças externas é nulo ou positivo;

Para se estabelecer as expressões matemáticas relacionadas com os postulados acima, a partir de um estado de tensões σij, considera-se um acréscimo de tensão dσij, que causa

um pequeno acréscimo de deformação d ij. Então, de acordo com o primeiro postulado,

tem-se: 0 ≥ ij ij d dσ ε (3.63)

Mas a deformação total é a soma das deformações elástica e plástica, ou seja:

(

)

ij d d

dσ ε ε (3.64)

O segundo postulado permite escrever:

0 ≥ p ij ij d dσ ε (3.65)

Algumas condições adicionais devem ser satisfeitas para se garantir a descrição adequada do comportamento da deformação plástica e foram propostas por PRAGER

apud DESAI e SIRIWARDANE (1984):

1. Condição de Continuidade: uma variação infinitesimal dσij no estado de tensões σij,

causa um carregamento, um descarregamento ou um carregamento neutro, dependendo se a trajetória de tensões está dirigida para o interior, para exterior ou tangente à superfície de escoamento. Para se evitar descontinuidades nas relações tensão-deformação esta condição exige que o carregamento neutro não cause deformação plástica;

2. Condição de Unicidade: para um dado sistema de incrementos infinitesimais de forças, os incrementos de tensões e deformações resultantes são únicos;

3. Condição de Irreversibilidade: devido à irreversibilidade das deformações plásticas, o trabalho feito por elas é positivo, conforme Eq.(3.65);

4. Condição de Consistência: um carregamento a partir de um estado plástico causa outro estado plástico. Esta condição exige que o critério de escoamento seja satisfeito enquanto o material estiver em um estado plástico;

As condições de Prager e as hipóteses feitas levam a importantes restrições no comportamento elastoplástico de um material. A condição de continuidade exige que a componente tangencial da tensão não provoque deformação plástica, razão pela qual somente a componente normal à superfície de escoamento é responsável por essa deformação. Este fato obriga que o incremento de deformação plástica seja perpendicular à superfície de escoamento, no espaço de tensões instantâneo. No caso de um ponto singular ele deve estar entre as normais à esquerda e à direita deste ponto. Este fato é conhecido como regra de normalidade, representado pela Eq.(3.62). Outra conclusão importante a partir da condição de irreversibilidade é que a superfície de escoamento deve ser convexa em relação à origem do espaço de tensões, pois qualquer raio vetor para um ponto da superfície de escoamento, deve fazer um ângulo agudo com sua normal, para o exterior à superfície, naquele ponto. A prova matemática desta conclusão encontra-se em DESAI e SIRIWARDANE (1984).

Os postulados de Drucker e as condições de convexidade e normalidade são válidos somente para materiais com endurecimento ou elásticos-perfeitamente plásticos, chamados de materiais estáveis. Exclui-se, portanto, os materiais com amolecimento, que são chamados de materiais instáveis.

Quando se utiliza a regra de fluência associada, material elástico-perfeitamente plástico e critério de escoamento de Mohr-Coulomb observa-se o fenômeno da dilatância, que acompanha o cisalhamento de um solo com ângulo de atrito não nulo. A resistência ao cisalhamento é devida à coesão e ao ângulo de atrito interno, sendo que a parcela relativa ao atrito interno corresponde ao atrito interno propriamente dito e ao entrosamento entre as partículas. O aumento de volume durante o cisalhamento, que é a dilatância, é ocasionado pela parcela referente ao entrosamento.