orbitas respectivas entre este dois momentos, t1 e t2. Conhecendo-se os per´ıodos siderais da Terra e dos planetas superiores ´e f´acil determinar λP e λT:
λT = 360◦ t2− t1
Tsid Terra e λP = 360
◦ t2− t1
Tsid Plan, (4.21)
onde Tsid Terra ´e o ano sideral terrestre (∼ 365, 25 dias) e Tsid Plan ´e o ano sideral do planeta superior. Desta forma temos:
β = 360◦(t 2− t1) 1 Tsid Terra − 1 Tsid Plan . (4.22)
A distˆancia do planeta ao Sol ser´a finalmente dada por:
DP = D
cos β . (4.23)
4.12 Leis de Kepler
Johannes Kepler nasceu em 1571 na cidade alem˜a de Weil e come¸co a cursar a universi-dade de T¨ubing em 1589. Em 1594 Kepler se torna professor de matem´atica em Graz,
´
Austria. Em 1600, foi convidado por Tycho Brahe para trabalhar em Praga. Ap´os a morte de Brahe em 1601, Kepler foi nomeado “Matem´atico Imperial”, t´ıtulo que teve at´e 1612. Neste ano, Kepler se mudou para Linz onde ficou at´e 1626. Kepler morreu em 1630, na cidade de Regensburg.
Com os dados de excelente qualidade de Tycho Brahe – em particular em rela¸c˜ao `
as posi¸c˜oes de Marte –, Kepler descobriu as trˆes leis de movimento planet´ario que levam o seu nome:
1a lei (1609) As ´orbitas dos planetas s˜ao elipses, com o Sol localizado em um dos focos. 2a lei (1609) A linha ligando o Sol ao planeta varre ´areas iguais em intervalos de tempo
iguais.
(A 1a e 2a leis foram publicadas na obra “Astronomia nova”).
3a lei (1619) O quadrado da raz˜ao dos per´ıodos de transla¸c˜ao de 2 planetas ´e propor-cional ao cubo da raz˜ao de seus semi-eixos maiores, isto ´e,
P1 P2 2 = a1 a2 3 .
As leis de Kepler, deduzidas empiricamente, podem ser deduzidas a partir da teoria de gravita¸c˜ao universal de Isaac Newton (Principia Mathematica, publicado em 1687).
4.12.1 Primeira lei de Kepler
Rigorosamente, em um sistema de dois corpos puntiformes que interagem apenas pela gravita¸c˜ao, cada corpo descreve uma se¸c˜ao cˆonica (c´ırculo, elipse, par´abola ou hip´erbole, veja Fig. 4.27), com o centro de massa da dupla em um dos focos. Se os corpos est˜ao ligados gravitacionalmente, como no caso dos planetas com o Sol, por exemplo, ent˜ao as ´orbitas s˜ao esf´ericas ou el´ıpticas, dadas por:
r = a (1− e2)
1 + e cos θ, (4.24)
onde e≡1− (b/a)2 ´e a excentricidade da elipse.
r b r
a
foco foco
e axe e r e r e
Figura 4.27: Se¸c˜oes cˆonicas, c´ırculo, elipse, par´abola e hip´erbole. Acima: representa¸c˜ao
geom´etrica, intersec¸c˜ao de um cone por um plano. Abaixo: curvas planas das se¸c˜oes cˆonicas.
No caso onde a massa de um dos corpos ´e muito maior que do outro (p.ex., Sol– planeta, planeta–sat´elite) o centro de massa coincide, com grande precis˜ao, com o corpo mais maci¸co. No caso do sistema Terra–Sol, o centro de massa se encontra a ≈ 450 km
do centro do Sol (que tem um raio de 700 mil km).
A Fig. 4.28 mostra para compara¸c˜ao algumas elipses com diferentes elipticidades, inclusive uma elipse que corresponde `a ´orbita terrestre.
4.12.2 Segunda lei de Kepler
A segunda lei de Kepler, ilustrada na Fig. 4.29, ´e uma consequˆencia da conserva¸c˜ao do
momento angular. Assumindo que tratamos de um sistema de 2 corpos onde a massa de
um dos corpos ´e muito maior que o outro, temos
e = 0 e = 0.017 e = 0.1 e = 0.3 e = 0.5
0
0 0 0 0 0
Figura 4.28: Elipses (e um c´ırculo a esquerda, e = 0) para compara¸c˜ao. A excentricidade e = 0, 017 corresponde `a ´orbita da Terra, dificilmente distingu´ıvel a olho de um c´ırculo. A elipse
mais a direita corresponde a uma raz˜ao entre o semi-eixo meno e maior igua a 1/2. O foco das
elipses e o centro do c´ırculo est˜ao na origem, (0, 0).
a
b
c
d
Figura 4.29: Ilustra¸c˜ao geom´etrica da segunda lei de Kepler: em inter-valos de tempo iguais, o raio vetor varre ´areas iguais. Aqui, as ´areas a, b, c e d s˜ao iguais.
onde L ´e o momento (quantidade de movimento) angular, p ´e a quantidade de movimento linear e r e v s˜ao o raio vetor e a velocidade do corpo mais leve de massa m.
A ´area varrida pelo raio vetor que liga o corpo maci¸co (Sol, p.ex.) ao corpo mais leve (um planeta, p.ex.) ´e dada por (veja Fig. 4.30):
´
area varrida≡ δA = 1
2|r × δr| = 1
2|r × v δt| = 1
2
|L|
m δt . (4.26)
Mas como o momento angular se conserva,|L|/m = constante e, portanto, δA ∝ δt. Ou
seja, para um mesmo intervalo δt, a ´area varrida δA ´e a mesma.
r
br
foco
bA |r
1 xbr|
2
Figura 4.30:Area varrida pelo´ raio vetor r que percorre uma elipse.
Uma consequˆencia da segunda lei de Kepler ´e que os corpos se deslocam com maior velocidade quando est˜ao no periastro e com menor velocidade quando est˜ao no apoastro.
4.12.3 Terceira lei de Kepler
A terceira lei de Kepler est´a relacionada com a conserva¸c˜ao de energia. Para o caso de uma ´orbita circular podemos deduzir a 3a lei de Kepler utilizando igualando a for¸ca centr´ıpeta com a for¸ca gravitacional:
m v2
r =
g M m
r2 ⇒ v2 = GM
r , (4.27)
onde M ´e a massa do corpo mais maci¸co e vemos que, neste caso, n˜ao h´a dependˆencia da massa do corpo menos maci¸co, m. Lembrando que o per´ıodo orbital ´e P = 2π r/v, ent˜ao vem: (2π)2r2 P2 = G M r ⇒ r3 P2 = GM 4π2 . (4.28)
No Sistema Solar, em rela¸c˜ao `as ´orbitas dos planetas, M ´e sempre a mesma (a massa do Sol). Logo, para qualquer planeta, r3 ∝ P2, onde r ´e o raio da ´orbita (assumindo ´
orbita circular); genericamente, temos a3 ∝ P2, onde a ´e semi-eixo maior da ´orbita el´ıptica. Em outros sistemas estelares ou planet´arios a terceira Lei de Kepler tamb´em ´e v´alida (Fig. 4.31). 1 10 100 1000 1 10 100 período [anos]
semi-eixo maior [A.U.] Mercúrio Vênus Terra Marte Ceres Júpiter Saturno Netuno Urano Éris Makemake Haumea Plutão Sistema Solar 1 10 100 100 1000 10000 período [dias]
semi-eixo maior [mil km] Io Europa Métis Ganimedes Calisto Himalia Sistema Joviano Figura 4.31: A ter-ceira Lei de Kepler se traduz em uma
rela¸c˜ao dita em lei
de potˆencia, P ∝
a3/2. Aqui
observa-mos esta lei para os planetas (c´ırculos ver-melhos) e planetas-an˜oes (c´ırculos azuis) do Sistema Solar,
as-sim como para os
sat´elites de J´upiter
(destaque no alto a esquerda).
Para o caso geral, a express˜ao acima tem uma pequena dependˆencia com a massa do corpo mais leve:
a3
P2 = G(M + m)
4π2 . (4.29)
Com a terceira lei de Kepler ´e poss´ıvel deduzir o tamanho do semi-eixo maior das ´
orbitas planet´arias conhecendo o per´ıodo de transla¸c˜ao. Em outros casos, se podemos medir o semi-eixo maior e o per´ıodo, ent˜ao podemos deduzir a massa do sistema.