5.2. LEMA DE ZORN 57
Demonstra¸c˜ao: Primeiro vamos discutir um pouco a ideia intuitiva desse teorema (que, por motivos hist´oricos, recebeu essa alcunha de lema). Suponha que (X leq) n˜ao admita um elemento maximal. Notemos que a hip´otese do teorema implica que X ´e n˜ao-vazio (por quˆe?). Tomamos, ent˜ao, algumx0 ∈X. Comox0 n˜ao ´e maximal, encontramos algum x1 estritamente maior quex0. Da mesma forma podemos encon-trar algumx2 maior quex1 e assim por diante (aqui podemos imaginar que o axioma da escolha ´e necess´ario para tomarmos sempre um elemento maior do que outro).
Ap´os chegarmos em infinitos elementos de X atrav´es desse processo, notamos que esses formam uma cadeia, e, ent˜ao, pela hip´otese, tomamos y um limitante superior dessa cadeia, e iniciamos novamente o processo. A ideia intuitiva ´e que, em algum momento, esse processo tem que parar, chegando num elemento maximal. Como, infelizmente, n˜ao tem como formalizarmos essa ideia, n˜ao nos resta outra solu¸c˜ao a n˜ao ser procurar uma demonstra¸c˜ao rigorosa, que ´e ´ardua, trabalhosa e pouco intui-tiva. A discuss˜ao precedente s´o serve para dar ao leitor uma vaga no¸c˜ao sobre o que significa o lema de Zorn e por quˆe ele vale.
Vamos `a demonstra¸c˜ao formal, que ´e adaptada do livro de Halmos, que, por sua vez, atribui a Zermelo a cria¸c˜ao dessa prova.
Come¸camos definindo X o conjunto das cadeias em X, ordenado pela inclus˜ao.
Mostraremos que X tem um elemento maximal, e isso ser´a suficiente para mostrar que X tem um elemento maximal, conforme a seguinte afirma¸c˜ao:
Afirma¸c˜ao 1: SeXpossui um elemento maximal ent˜aoX possui um elemento maximal.
De fato, suponha que A ´e um elemento maximal de X. Pela hip´otese sobre X, seja x ∈ X um limitante superior de A, ou seja, a ≤ x para todo a ∈ A. Temos que x ∈ A pois, caso contr´ario, ter´ıamos que A∪ {x} seria uma cadeia que cont´em propriamente A, contradizendo a maximalidade de A. Temos que x ´e maximal em X, pois, se existisse y ∈X tal que x ≤ y e x6= y ter´ıamos novamente que A∪ {y}
seria uma cadeia maior que A. Isso conclui a prova da afirma¸c˜ao.
Afirma¸c˜ao 2: SeC ´e uma cadeia emX ent˜aoS
C ∈X.
Como S
C ´e claramente um subconjunto de X, para mostrarmos a afirma¸c˜ao basta provarmos que S
C ´e uma cadeia em X. Sejam a e b pertencentes a S C.
Sejam A, B ∈C tais quea ∈ A e b ∈ B. Como C ´e uma cadeia, temos que A ⊂B ouB ⊂A, o que significa que a, b∈A oua, b∈B. Como C ⊂X, tanto AquantoB s˜ao cadeias, o que significa que a≤b oub≤a.
Sejaf uma fun¸c˜ao de escolha emP(X)r{∅}. Definimos uma fun¸c˜aos:X −→X como
s(A) =
A∪ {f({x∈XrA :A∪ {x} ∈X})} , se A n˜ao ´e maximal;
A , se A ´e maximal;
A fun¸c˜aosfaz o seguinte: seA´e uma cadeia n˜ao-maximal,sestendeA acrescentando-lhe um ´unico elemento. Se A ´e uma cadeia maximal, s(A) = A. Se A ´e uma cadeia
5.2. LEMA DE ZORN 59 n˜ao-maximal, existir´a x /∈ A tal que A∪ {x} ´e uma cadeia, pois o subconjunto de uma cadeia ´e uma cadeia. Reparem a necessidade de usar o axioma da escolha para podermos escolher um elemento para estender a cadeia A.
Com essa defini¸c˜ao e pela afirma¸c˜ao 1, nossa tarefa de demonstrar o lema de Zorn se reduz, agora, `a tarefa de mostrar que existe A∈X tal que s(A) =A.
Antes de prosseguirmos a demonstra¸c˜ao, precisamos de mais algumas defini¸c˜oes.
Dizemos que um subconjuntoT deX ´e uma torre se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
• ∅ ∈T;
• seA ∈T ent˜aos(A)∈T;
• seC ´e uma cadeia em (T,⊂) ent˜aoS
C ∈T.
Existe pelo menos uma torre, pois claramenteX´e uma. Logo, podemos introduzir a seguinte defini¸c˜ao:
X0 =\
{T ⊂X :T ´e uma torre}.
Afirma¸c˜ao 3: X0´e uma torre e est´a contida em qualquer outra torre.
Deixamos a cargo do leitor provar essa afirma¸c˜ao, que ´e bem semelhante `a de-monstra¸c˜ao de que ω ´e um conjunto indutivo. Pela minimalidade de X0 iremos fazer algumas provas utilizando uma esp´ecie de indu¸c˜ao, ondes desempenha o papel de sucessor. Na verdade, pela terceira condi¸c˜ao sobre torres, essa indu¸c˜ao mais se aproxima da indu¸c˜ao transfinita, que veremos posteriormente.
Nosso pr´oximo objetivo ser´a mostrar queX0 ´e uma cadeia emX. Feito isso, n˜ao teremos dificuldades em mostrar queS
X0 ´e maximal em X, isto ´e, ´e uma cadeia em X que n˜ao est´a contida propriamente em nenhuma outra cadeia. Pela afirma¸c˜ao 1 isso ser´a suficiente para provarmos o lema de Zorn.
Dizemos que um elemento C de X0 ´e compar´avel se, para todo A ∈ X0, temos A ⊂ C ou C ⊂ A. Mostrar que X0 ´e uma cadeia ´e o mesmo que mostrar que todo elemento de X0 ´e compar´avel.
Introduzimos agora mais uma defini¸c˜ao provis´oria (a ´ultima!): uma fun¸c˜ao g : X0 −→ P(X0) dada por
g(C) = {A∈X0 : (A⊂C)∨(s(C)⊂A)}
Se o leitor teve paciˆencia de acompanhar at´e aqui, anime-se, pois a demonstra¸c˜ao est´a chegando ao fim. Faltam ainda mais algumas afirma¸c˜oes.
Afirma¸c˜ao 4: SeC ´e compar´avel ent˜aog(C) = X0.
A prova dessa afirma¸c˜ao usa uma esp´ecie de indu¸c˜ao, como dissemos anterior-mente. Precisamos apenas mostrar que g(C) ´e uma torre e seguir´a da afirma¸c˜ao 3 que g(C) = X0.
Est´a claro que ∅ ∈g(C), pois ∅ ⊂C. Seja S uma cadeia em g(C). Temos duas possibilidades: ou todo A ∈ S est´a contido em C ou existe pelo menos um A ∈ S tal que s(C) ⊂ A. No primeiro caso, temos S
S ⊂ C e, portanto, S
S ∈ g(C). No segundo caso, como A ⊂ S
S, temos s(C) ⊂ S
S e, novamente, S
S ∈ g(C). Para mostrar que g(C) ´e torre s´o falta mostrar que, se A∈s(C) ent˜ao s(A)∈g(C).
Seja A ∈ g(C). Temos trˆes casos. Ou A = C, ou A est´a contido propriamente em C ous(C)⊂A.
No primeiro caso, temoss(A) =s(C). Em particular, s(C) ⊂s(A), o que prova que s(A)∈g(C).
No segundo caso, supomos que A est´a contido propriamente em C. Como C
´
e compar´avel, temos C ⊂ s(A) ou s(A) ⊂ C. Se s(A) ⊂ C temos s(A) ∈ g(C).
Assumimos, ent˜ao, que C ⊂ s(A). Se C = s(A) ca´ımos no caso s(A) ⊂ C. Se C 6=s(A) existe x∈ s(A)rC. Mas, pela hip´otese de A estar contido propriamente em C, existey∈CrA. Portanto, xey s˜ao elementos distintos (pois um pertence a C e outro n˜ao) de s(A)rA, contradizendo que s(A) tem, no m´aximo, um elemento que n˜ao pertence a A.
No terceiro caso, se s(C)⊂A, como A⊂s(A) temos s(C)⊂s(A), o que nos d´a s(A)∈g(C). Conclu´ımos, assim, a prova da afirma¸c˜ao.
Afirma¸c˜ao 5: X0 ´e uma cadeia emX.
Vamos provar “por indu¸c˜ao” que todo elemento de X0 ´e compar´avel. Ou seja, mostraremos que o conjunto dos elementos compar´aveis de X0 ´e uma torre e, por-tanto, coincide com todo o conjunto X0.
Como ∅ ⊂ A, para todo A, temos ∅ ´e compar´avel. Seja S uma cadeia em X0 formada de elementos compar´aveis. Mostraremos que S
S ´e compar´avel. De fato, seja A∈ X0. Se existe C ∈S tal que A ⊂C, temos, em particular, A ⊂S
S. Caso contr´ario, como todo elemento de S ´e compar´avel, temos C ⊂ A, para todo C ∈ S, o que nos d´a S
S ⊂A.
Falta mostrar que, se C ´e compar´avel, s(C) ´e compar´avel. Seja A ∈ X0. Pela afirma¸c˜ao 4 temos que A ∈ g(C). Ou seja, A ⊂ C ou s(C) ⊂ A. Como C ⊂ s(C), temos A⊂s(C) ou s(C)⊂A, provando ques(C) ´e compar´avel.
Isso conclui que o conjunto dos elementos deX0´e uma torre, provando a afirma¸c˜ao.
Afirma¸c˜ao 6: S
X0 ´e maximal em X.
Seja C = S
X0. Provemos que s(C) = C. Como, pela afirma¸c˜ao 5, X0 ´e uma cadeia, a afirma¸c˜ao 3 – que diz que X0 ´e uma torre – nos garante que C ∈ X0. Portanto, novamente pela afirma¸c˜ao 3, s(C) ∈ X0. Isso implica que s(C) ⊂ S
X0. Ou seja,s(C)⊂C. ComoC ⊂s(C) conclu´ımos ques(C) =C, provando a afirma¸c˜ao.
Portanto X tem um elemento maximal e, pela afirma¸c˜ao 1, X tamb´em possui, provando o lema de Zorn.
5.3. PRINC´IPIO DA BOA ORDEM 61