Levantamento Horizontal e Transporte Paralelo

CAP´ ITULO

1.2.2 Levantamento Horizontal e Transporte Paralelo

A institui¸cão da conexão, separando o espa¸co dos vetores verticais (tangentes à fibra) em um determinado ponto do fibrado do espa¸co dos vetores horizontais, pertencentes ao núcleo da 1-forma conectora, nos permite tratar agora de movimentos no fibrado. Para isso, primeiramente trataremos de relacionar uma trajetória no espa¸co base a uma no espa¸co total. Seja P (M, G) um G-fibrado e seja γ : [0, 1] _{→ M uma curva em M. Uma curva} ˜

γ : [0, 1] _{→ P ´e dita um levantamento horizontal de γ se π (˜γ) = γ e o vetor tangente a} ˜

γ(t) sempre pertence a H˜γ(t)P . Se ˜X ´e um vetor tangente a ˜γ, ent˜ao ele satisfaz ω

˜ X= 0 por defini¸cão. Essa condi¸cão é uma equa¸cão diferencial ordinária, e o terema fundamental de EDO’s garante a existência local e a unicidade do levantamento horizontal.

Teorema 1.2.2 Seja γ : [0, 1]→ M uma curva em M e seja u0 ∈ π−1(γ(0)). Ent˜ao existe

um ´unico levantamento horizontal ˜γ(t) em P tal que ˜γ(0) = u0.

Vamos construir tal curva ˜γ. Seja Ui uma carta que cont´em γ e tomemos uma se¸c˜ao

σi sobre Ui. Se existe um levantamento horizontal ˜γ, ele pode ser expresso como ˜γ(t) =

σi(γ(t))gi(t), para algum gi(t)≡ gi(γ(t))∈ G. Nossa inten¸cão é, então, derivar uma equa¸cão

M

P

Ui g g ~ u0 s

Figura 1.12–Levantamento horizontal ˜γ(t) de γ(t)∈ Ui.

Sem perda de generalidade, podemos tomar uma se¸c˜ao tal que σi(γ(0)) = ˜γ(0), ou seja,

gi(0) = e. Seja X um vetor tangente a γ(t) em γ(0); cometeremos ent˜ao o abuso de nota¸c˜ao

e chamaremos de ˜γ∗ : Tγ(t)M → Tγ(t)˜ P a aplica¸c˜ao levando X no vetor ˜X, tangente a ˜γ

em u0 = ˜γ(0) (o abuso se dá porque ˜γ : [0, 1] → P , e não faz sentido definir uma aplica¸cão

γ∗X tal como a defini¸c˜ao de push-forward ). Como o vetor tangente ˜X ´e horizontal, satisfaz

ωX˜= 0. Uma pequena modifica¸c˜ao no lema 1.2.1 gera

˜ X = gi(t)−1σi∗Xgi(t) + gi(t)−1dgi(X) # . (1.2.15)

Aplicando ω na equa¸c˜ao, temos

0 = ωX˜= gi(t)−1ω (σi∗X) gi(t) + gi(t)−1

dgi(t)

dt . (1.2.16) Multiplicando `a esquerda por gi(t),

dgi(t)

dt =−ω(σi∗X)gi(t), (1.2.17) e o teorema fundamental das EDO’s garante a existˆencia e a unicidade da solu¸c˜ao.

Como ω(σi∗X) = σi∗ω(X) =Ai(X), a equa¸c˜ao acima ´e expressa em uma forma local

dgi(t)

cuja solu¸c˜ao formal com gi(0) = e ´e gi(γ(t)) = P exp − Z t 0 A iµ dxµ dt dt = P exp ₋ Z γ(t) γ(0) A iµ(γ(t))dxµ ! , (1.2.19)

onde P é o operador de ordena¸cão do caminho ao longo de γ(t). O levantamento horizontal é expresso como ˜γ(t) = σi(γ(t))gi(γ(t)).

Corol´ario 1.2.3 Seja ˜γ0 _{outro levantamento horizontal de γ, tal que ˜}_γ0_{(0) = γ(0)g. Ent˜ao}

γ0_{(t) = ˜}_{γ(t)g para todo t}_{∈ [0, 1].}

Demonstra¸cão. Notemos primeiramente que o subespa¸co horizontal é invariante à direita, Rg∗HuP = HugP . Seja ˜γ um levantamento horizontal de γ. Então ˜γg : t7→ ˜γ(t)g é também

um levantamento horizontal de γ(t), uma vez que seu vetor tangente pertence a H˜γgP . Do

teorema 1.2.2 achamos que γ0 _{´e o ´unico levantamento horizontal que come¸ca em ˜}_γ(0)g.

M

g_(t) g_(t) g_(t) ~ ~ g g g u0 u0 u1 u1

Figura 1.13–Uma curva γ(t) em M e seus levantamentos horizontais ˜γ(t) e ˜γ(t)g.

Consideremos como exemplo o fibrado P (M, R) _{' M × R, para M = R}2 _{− {0}. Seja}

φ : ((x, y), f ) → u ∈ P uma trivializa¸cão local, onde (x, y) são as coordenadas de M, enquanto f é do grupo aditivo R. Então

ω = ydx− xdy

x2_{+ y}2 + df (1.2.20)

´e uma 1-forma conectora. Para vermos isso, dado A# _{= A}∂

de Lie do grupo aditivo, temos ω A#= 1 x2_{+ y}2 ydx A ∂ ∂f − xdy A ∂ ∂f + df A ∂ ∂f = A.

Al´em do mais, Rg∗ω = ω = g−1ωg, uma vez que R ´e abeliano. Seja γ : [0, 1]→ M uma curva

t_{7→ (cos 2πt, sin 2πt). Trabalharemos um levantamento horizontal que come¸ca em ((1, 0), 0).} Seja X = d dt ≡ dx dt ∂ ∂x + dy dt ∂ ∂y + df dt ∂ ∂f tangente a ˜γ(t). Para X ser horizontal, deve satisfazer

0 = ω(X) = dx dt y r2 − dy dt x r2 + df dt =−2π + df dt ⇒ f = 2πt + cte. Encontramos, pois, o levantamento horizontal ˜γ passando por ((1, 0), 0),

γ(t) = ((cos 2πt, sin 2πt), 2πt),

que é uma hélice sobre o c´ırculo unitário. Sob a a¸cão do grupo (à direita ou à esquerda, não importa), f translada para f + g, g _{∈ R. O levantamento horizontal deslocado é}

γg = ((cos 2πt, sin 2πt), 2πt + g).

Tomemos agora uma curva γ : [0, 1] _{→ M, e um ponto u}0 ∈ π−1(γ(0)). H´a um ´unico

levantamento horizontal ˜γ(t) atrav´es de u0, e assim um ´unico ponto u1 = ˜γ(1)∈ π−1(γ(1)).

O ponto u1 ´e chamado o transporte paralelo de u0 ao longo de ˜γ, e define uma aplica¸c˜ao

Γ(˜γ) : π−1_(γ(0))_{→ π}−1_{(γ(1)) levando u}

0 a u1. Empregando a forma local, temos

u1 = σi(1)P exp − Z 1 0 A iµ dxµ_(γ(t)) dt dt . (1.2.21)

Pelo corolário 1.2.3, podemos mostrar que Γ(˜γ) comuta com a a¸cão à direita Rg. Primeiro

note que RgΓ(˜γ)(u0) = u1g e Γ(˜γ)Rg(u0) = Γ(˜γ)(u0g). Observe que ˜γ(t)g ´e um levanta-

mento horizontal por u0g e u1g, e da unicidade do levantamento horizontal por u0g, temos

u1g = Γ(˜γ)(u0g), isso ´e, RgΓ(˜γ)(u0) = Γ(˜γ)Rg(u0). Como isso ´e verdade para qualquer

u0 ∈ π−1(γ(0)), vemos que

1.2.3 Holonomias

Vemos em 1.2.21 que o transporte paralelo ao longo de um levantamento horizontal ˜γ de uma curva γ de M depende de todo o caminho da curva, e n˜ao somente de suas extremidades. Dessa forma, se consideramos duas curvas α, β : [0, 1] _{→ M com α(0) = β(0) = p}0 e

α(1) = β(1) = p1 e seus levantamentos horizontais ˜α e ˜β tais que ˜α(0) = ˜β(0) = u0, n˜ao

necessariamente teremos ˜α(1) = ˜β(1). Mais ainda, se considerarmos um loop γ : [0, 1] → M em p = γ(0) = γ(1), no geral teremos ˜γ(0) 6= ˜γ(1). Um loop γ define assim uma transforma¸cão τγ : π−1(p) → π−1(p) na fibra, que é compat´ıvel com a a¸cão à direita do

grupo,

τγ(ug) = τγ(u)g, (1.2.23)

o que segue diretamente de RgΓ = ΓRg. Notemos, todavia, que τγ n˜ao depende apenas do

loop γ, mas tamb´em da conex˜ao.

Voltemos `a 1-forma conectora 1.2.20 e o loop γ, definidos no R-fibrado sobre M = R2_{− {0}. ω e γ definem ali uma aplica¸c˜ao τ}_γ _{: π}−1_{((1, 0))} _{→ π}−1_{((1, 0)), que leva g} _7→ g + 2π, g_{∈ R.}

M

P

~ ~ u0 a a b b

M

P

~ u0 g g u1 (a) (b) tg

Figura 1.14 – (a) Duas curvas α, β com mesmas extremidades podem resultar transportes paralelos

diferentes em seus levantamentos horizontais; (b) o levantamento horizontal de um loop n˜ao necessariamente ´e fechado.

em p,

Cp(M)≡ {γ : [0, 1] → M; γ(0) = γ(1) = p}. (1.2.24)

O conjunto de elementos

Φu ≡ {g ∈ G; τγ(u) = ug, γ ∈ Cp(M)} (1.2.25)

´e um subgrupo do grupo de estrutura G, que denominaremos grupo de holonomia em u. Se α, β e γ = α_{∗ β s˜ao loops em p, temos τ}γ = τβτα, assim

τγ(u) = τβτα(u) = τβ(u)gα = ugβgα. (1.2.26)

Isso mostra que

gγ = gβgα. (1.2.27)

O loop constante c : [0, 1]_{→ p define a transforma¸c˜ao identidade τ}c : u7→ u. O loop inverso

γ−1 _{de γ induz a transforma¸c˜ao inversa τ}

γ−1 = τ_γ−1, e assim g_γ−1 = g−1_γ .

1.2.4 Curvatura

Vamos agora definir uma derivada covariante sobre o fibrado, e com isso determinar uma curvatura para a conex˜ao. Para isso, precisamos primeiramente generalizar a opera¸c˜ao de derivada exterior de r-formas reais, dada por A.1.20, para r-formas com valor vetorial φ _∈ Λr_{(P )}_{⊗ V ,}

φ : T P _{⊗ · · · ⊗ T P → V,} (1.2.28) onde V é um espa¸co vetorial de dimensão k. A forma mais geral de φ é φ = φα⊗ eα, onde

{eα} é uma base de V e φα ∈ Λr(P ). Lembramos ainda que uma conexão ω decompõe um

campo vetorial suave X em TuP em duas componentes XH ∈ HuP e XV ∈ VuP .

Seja φ∈ Λr_{(P )}_{⊗ V e X}

1, . . . , Xr+1 ∈ TuP . A derivada covariante de φ ´e definida por

Dφ(X1, . . . , Xr+1)≡ dPφ(X1H, . . . , Xr+1H ), (1.2.29)

onde dP ´e a derivada exterior em P e dPφ ≡ dPφα⊗ eα. A 2-forma de curvatura Ω ´e a

derivada covariante da 1-forma conectora ω,

Ω≡ Dω ∈ Λ2_{(P )}_{⊗ g.} _(1.2.30)

Tomemos uma p-forma ζ = ζα_⊗T

Λq_{(M) e} _{T

α} ´e uma base de g. Defina o comutador de ζ e η por

[ζ, η] _{≡ ζ ∧ η − (−1)}pqη_{∧ ζ} = TαTβζα∧ ηβ − (−1)pqTβTαηβ∧ ζα = [Tα, Tβ]⊗ ζα∧ ηβ = f_αβγ Tγ⊗ ζα∧ ηβ. (1.2.31) Se fazemos ζ = η, ent˜ao [ζ, ζ] = 2ζ_{∧ ζ = f}_αβγ Tγ⊗ ζα∧ ζβ. (1.2.32)

O teorema abaixo nos fornece uma f´ormula para a 2-forma de curvatura:

Teorema 1.2.4 Sejam X, Y _{∈ T}uP . Ent˜ao Ω e ω satisfazem a equa¸c˜ao de estrutura de

Cartan

Ω(X, Y ) = dPω(X, Y ) + [ω(X), ω(Y )], (1.2.33)

que ´e tamb´em escrita como

Ω = dPω + ω∧ ω. (1.2.34)

A demonstra¸cão do teorema consiste em considerar em separado as possibilidades de combina¸cões de X, Y pertercendo a HuP ou VuP , e verificar se a equa¸cão acima é coerente

com a defini¸cão da 2-forma de curvatura. Omitiremos aqui a demonstr¸cão. Vejamos contudo como chegar da primeira para a segunda equa¸cão do teorema. Notemos que

[ω, ω](X, Y ) = [Tα, Tβ]ωα∧ ωβ(X, Y ) = [Tα, Tβ] ωα(X)ωβ(Y )− ωβ(X)ωα(Y ) = [ω(X), ω(Y )]_{− [ω(Y ), ω(X)]} = 2[ω(X), ω(Y )]. (1.2.35) Assim, Ω(X, Y ) = dPω + 1 2[ω, ω] (X, Y ) = (dPω + ω∧ ω) (X, Y ). (1.2.36)

Significado Geom´etrico da Curvatura

A curvatura em fibrados principais possui uma interpreta¸cão similar à do tensor de curvatura de Riemman, que expressa a não-comutatividade do transporte paralelo de vetores.

Para ver isso, comecemos mostrando que Ω(X, Y ) gera a componente vertical do colchete de Lie [X, Y ] de vetores horizontais X, Y _{∈ H}uP . Segue de ω(X) = ω(Y ) = 0 que

dPω(X, Y ) = Xω(Y )− Y ω(X) − ω ([X, Y ]) = −ω ([X, Y ]) , (1.2.37)

e como XH _{= X e Y}H _{= Y , temos}

Ω(X, Y ) = dPω(X, Y ) =−ω ([X, Y ]) . (1.2.38)

Dado um sistema de coordenadas _{xµ_{} em uma carta U, sejam V =} ∂

∂x1 e W = _∂x∂2. Consideremos então o levantamento horizontal ˜γ de um paralelogramo infinitesimal γ, cujos vértices são O = (0), P = (, 0, . . . , 0), Q = (, δ, 0, . . . , o) e R = (0, δ, 0 . . . , 0). Sejam X, Y _{∈ H}uP tais que π∗X = V e π∗Y = δW , então

π∗ [X, Y ]# = δ[V, W ] = δ ∂ ∂x1, ∂ ∂x2 = 0, (1.2.39)

isso é, [X, Y ] é vertical. A considera¸cão acima mostra que o levantamento horizontal ˜γ de um loop γ falha em fechar. Essa falha é proporcional ao vetor vertical [X, Y ] conectando o ponto inicial e o ponto final na mesma fibra. A curvatura mede essa distância,

Ω(X, Y ) =−ω ([X, Y ]) = A, (1.2.40)

onde A ´e um elemento de g tal que [X, Y ] = A#_.

Como a discrepˆancia entre os pontos inicial e final do levantamento horizontal de uma curva fechada ´e simplesmente a holonomia, esperamos que o grupo de holonomia seja expresso em termos da curvatura.

Teorema 1.2.5 Seja P (M, G) um G-fibrado sobre uma variedade conexa M. A ´algebra de Lie h do grupo de holonomia Φu0 de um ponto u0 ∈ P concorda com a sub-´algebra de g gerada pelos elementos da forma

Ωu(X, Y ), X, Y ∈ HuP,

onde u∈ P ´e um ponto no mesmo levantamento horizontal que u0.

Forma Local

Podemos definir uma forma local_{F da curvatura Ω, que chamaremos de for¸ca do campo,} por

onde σ é uma se¸cão local definida em uma carta U de M (tal como definimosA). F é então expressa em termos do potencial de gauge como

F = dA + A ∧ A, (1.2.42)

pois _{A = σ}∗_{ω, σ}∗_d

Pω = dσ∗ω e σ∗(ζ ∧ η) = σ∗ζ∧ σ∗η. A a¸c˜ao de F em vetores de T M ´e

dada por

F(X, Y ) = dA(X, Y ) + [A(X), A(Y )]. (1.2.43)

Achemos, agora, a express˜ao em componentes para _{F em uma carta ((x}µ_{), U). Seja}

A = Aµdxµ,A ∈ g, o potencial de gauge. Ent˜ao

dA(∂κ, ∂λ) = ∂µAνdxµ∧ dxν(∂κ, ∂λ) = ∂µAνdet     hdxµ_{, ∂} κi hdxµ, ∂λi hdxν_{, ∂} κi hdxν, ∂λi     = ∂µAνdet     δκµ δ µ λ δν κ δλν    = ∂µAν(δ µ κδλν− δ µ λδ ν κ) = ∂κAλ− ∂λAκ. (1.2.44)

Por outro lado, temos que

(∂µAν − ∂νAµ)dxµ∧ dxν(∂κ, ∂λ) = (∂µAν− ∂νAµ)(δκµδλν − δ µ λδκν)

= ∂κAλ− ∂λAκ− ∂λAκ+ ∂κAλ = 2(∂κAλ− ∂λAκ). (1.2.45)

Assim, podemos escrever

d_{A =} 1

2(∂µAν − ∂νAµ) dx

µ_{∧ dx}ν_. _(1.2.46)

Como temos tamb´em que [A(X), A(Y )] = 1

2[A, A](X, Y ), se escrevermos F = 1

2Fµνdxµ∧

dxν_{, encontramos que}

Fµν = ∂µAν− ∂νAµ+ [Aµ,Aν], (1.2.47)

e como _Aµ e Fµν s˜ao fun¸c˜oes com valores em g, podemos expandi-las em termos da base

{Ti} de g (aqui usamos letras romanas para o ´ındice da ´algebra, e reservamos as letras gregas

para as coordenadas),

Aµ = AiµTi e Fµν = Fµνi Ti. (1.2.48)

obtemos a express˜ao

F_µνi = ∂µAiν − ∂νAµi + fjkiAjµAkν. (1.2.49)

Identidade de Bianchi

Para completar, mostraremos que a 2-forma de curvatura satisfaz a identidade de Bianchi:

DΩ = 0, (1.2.50)

e acharemos uma forma local para ela. Temos que

DΩ(X, Y, Z) = dPΩ(XH, YH, ZH),

onde X, Y, Z _{∈ T}uP . Como ω e Ω assumem valores em g, os expandimos em termos da base

{Ti} de g. A equa¸c˜ao para Ω fica ent˜ao

Ωi = dPωi+ fjkiωj ∧ ωk. (1.2.51)

Aplicando a derivada exterior,

dPΩi = fjkidPωj∧ ωk+ fjkiωj ∧ dPωk, (1.2.52)

mas ω(XH_{) = 0 para qualquer X, e a identidade est´a provada.}

Determinemos uma forma local da identidade de Bianchi. Aplicando σ∗_{na ´ultima equa¸c˜ao,}

temos que σ∗_d

PΩ = dσ∗Ω = dF para o lado esquerdo e

σ∗(dPω∧ω−ω∧dPω) = dσ∗ω∧σω−σ∗ω∧dσ∗ω = dA∧A−A∧dA = F∧A−A∧F (1.2.53)

para o lado direito. Portanto,

DF = dF + A ∧ F − F ∧ A = dF + [A, F] = 0, (1.2.54)

onde definimos a a¸c˜ao de _{D em uma p-forma η de valor em g por}

1.3 A Derivada Covariante em Fibrados Vetoriais Asso-

No documento Formulações alternativas da relatividade geral: da geometrodinâmica à estrutura de Gauge de Ashtekar-Barbero (páginas 41-51)