Não raramente, em estudos de nutrição de plantas, é esperado que a partir de certo ponto haja uma faixa de estabilização da produção ou cresimento vegetal em função da adição de nutrientes. Nesse caso, parece bastante apropriado ajustar um modelo de regressão do tipo LRP ou platô de res- posta linear.
Capítulo 5. Regressão 41
O modelo LRP nada mais é do que um modelo de regressão segmentado, em duas partes, sendo que em uma delas a resposta é descrita por um modelo de regressão linear simples, e a outra é descrita por uma reta (platô), isto é, onde a resposta é constante. Formalmente, o escrevemos da seguinte forma: y = h(x) + , em que:
h(x) =
b0+ b1x, x ≤ x0 b0+ b1x0, x > x0
sendo o parâmetro x0 o valor no eixo-x que delimita o platô.
Exemplo
Hartinee et al. (2010) utilizaram o modelo LRP para determinar a exigência de nitrogênio por arroz. Dados de produção em função de doses de um fertilizante nitrogenado são mostrados na tabela a seguir:
Tabela 5.1: Efeito de N na produção de arroz (Hartinee et al., 2010). N 0 50 100 150 200
Prod. 7.67 14.46 19.84 20.04 20.59
A relação entre produção e dose de N pode ser melhor entendida quando visualizada graficamente. Isso ainda nos ajudará identificar onde deve estar o platô.
> N <- c(0, 50, 100, 150, 200)
> prod <- c(7.67, 14.46, 19.84, 20.04, 20.59) > plot(prod ~ N)
No R, uma forma prática de estimar os parâmetros do modelo LRP é tratando-o como um modelo não linear, via a implementação nls(). > lrp <- function (x, b0, b1, x0)
+ ifelse(x <= x0, b0 + b1*x, b0 + b1*x0) > nls(prod ~ lrp(N, b0, b1, x0),
+ start = list(b0 = 8, b1 = 0.1, x0 = 80)) Nonlinear regression model
model: prod ~ lrp(N, b0, b1, x0) data: parent.frame()
b0 b1 x0
7.6700 0.1358 91.9489
residual sum-of-squares: 0.3017
Number of iterations to convergence: 2 Achieved convergence tolerance: 1.147e-08
Logo, a equação ajustada foi:
42 Capítulo 5. Regressão ˆ y = 7.67 + 0.1358x, x ≤ 91.9489 20.15666, x > 91.9489
sendo 21.15666 o platô de resposta.
A figura 5.4 mostra o ajuste do modelo.
● ● ● ● ● 0 50 100 150 200 8 10 12 14 16 18 20 N prod
Figura 5.4: Ajuste do modelo LRP aos dados de produção de arroz em função de doses de fertilizante nitrogenado.
5.7
Exercícios
1. Ajuste um modelo de regressão linear múltipla para a resistência à penetração em função da densidade e umidade do solo de cada uma das duas camadas (0-20 e 20-40 cm). Depois construa um diagrama de dispersão 3D, indicando com cores diferentes as observações tomadas em cada camada. Finalmente, adicione a esse gráfico os dois planos de regressão ajustados, separando também pelas cores das observações. 2. Como você classificaria o seguinte modelo, linear ou não linear?
y = b1√x + b2x +
3. Busscher (1990) propôs o seguinte modelo para a resistência à pene- tração:
Capítulo 5. Regressão 43
Em que θ é o conteúdo de água no solo, ρ é o valor da densidade do solo, b0, b1 e b2 são parâmetros. Pede-se: com os dados das duas
camadas, ajuste o modelo de Busscher e construa a superfície de resposta.
4. Em 1909, o alemão E. A. Mitscherlich desenvolveu uma equação rela- cionando o crescimento de plantas ao suprimento de nutrientes, subs- tituindo o modelo linear de Leibig. A lei de Mitscherlich é descrita pela equação:
y = A[1 − 10−c(x+b)]
em que y é a resposta obtida (produção), x é a dose do fertilizante,
A é um parâmetro que representa a produção máxima, b é um parâ-
metro que representa a quantidade (dose) previamente existente no solo e c é um parâmetro que representa um coeficiente de eficácia do fertilizante. À exceção de c, todos os demais componentes da equação são expressos em kg ha−1. Esta lei foi estudada por Pimentel-Gomes (1953) com os seguintes dados de produtividade de cana-de-açúcar (t ha−1) em função de doses de vinhaça (m3 ha−1).
Dose 0 250 500 1000 Prod. 47 75 90 98
Pede-se: ajuste o modelo de Mitscherlich e represente-o graficamente.
Dica: use como valores iniciais para b e c os resultados obtidos com:
mean(diff(dose)) e 1/mean(dose), respectivamente.
Você conseguiu perceber alguma desvantagem do modelo de Mitscher- lich? Será que o modelo linear quadrático seria mais apropriado no caso presente (sim/não, por quê)?
Capítulo 6
Análise de variância e
delineamentos
experimentais
Frequentemente conduzimos experimentos para provar hipóteses científi- cas. Adimitindo que estes sejam delineados de forma adequada e regidos pelos princípios básicos da experimentação (repetição, casualização, con- trole local), a variação total dos dados pode ser decomposta em partes conhecidas, devidas aos fatores estudados, e em parte desconhecida, o erro experimental. Essa técnica de decomposição é denominada análise de va-
riância (ANOVA), e está associada ao teste F para as fontes de variação
conhecidas, tais como tratamentos, interação etc.
Veremos neste capítulo, como relizar análise de variância de dados ex- perimentais provenientes do delineamento inteiramente casualizado (DIC) e de blocos casualizados (DBC), ambos envolvendo apenas um fator de tratamento.
6.1
One-way ANOVA
Suponha estudar apenas um fator com I níveis (i = 1, 2, ..., I), cada um repetido ri vezes (j = 1, 2, ..., ri). O modelo de ANOVA associado é:
yij = µi+ ij
em que yij é a observação tomada na j-ésima repetição do i-ésimo nível do
fator; µié a média do i-ésimo nível do fator; ijé o erro aleatório associado
a observação yij.
A hipótese à ser verificada é: H0 : µ1 = µ2 = ... = µI, contra a
alternativa de que ao menos um dos níveis tem efeito não nulo ou, de forma mais simples, que ao menos uma das médias dos níveis difere das demais.
46 Capítulo 6. Análise de variância e delineamentos experimentais
Exemplo
Considere dados1de produção de quatro variedades de milho, obtidos de um experimento em delineamento inteiramente casualizado (DIC) com cinco repetições. Os mesmos estão disponíveis emarsilva.weebly.com. > milho <- read.table("http://arsilva.weebly.com/uploads/2 + /1/0/0/21008856/milho.txt", header = TRUE)
O ajuste do modelo de ANOVA é feito da seguinte forma: > lm.milho <- lm(prod ~ variedade, data = milho) > lm.milho
Call:
lm(formula = prod ~ variedade, data = milho)
Coefficients:
(Intercept) variedadeB variedadeC variedadeD
23 4 3 8
Nesse caso, o objeto lm.milho contem as estimativas de µA (23), ˆµB =
ˆ
µA+ 4, ˆµC = ˆµA+ 3 e ˆµD = ˆµA+ 8. Isso porque o modelo é de posto
incompleto2.
A tabela da ANOVA só é obtida com auxílio da função anova(): > anova(lm.milho)
Analysis of Variance Table
Response: prod
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) variedade 3 163.75 54.583 7.7976 0.001976 ** Residuals 16 112.00 7.000
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Concluímos então pelo teste F que há diferença (p = 0.0019) entre ao menos duas das médias dos cultivares.