1. Expressões algébricas ... 133 Valor numérico de uma expressão algébrica ... 134 Termos algébricos ... 137 Adição e multiplicação de termos algébricos ... 137 2. Equações ... 140 Raiz de uma equação ... 141 Resolução de equações do 1° grau com uma incógnita ... 143 3. Resolução de problemas ... 146 4. Sequências ... 149 Sequências numéricas ... 149 Lei de formação de uma sequência numérica ... 150 Sequências numéricas em planilhas eletrônicas ... 154 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ... 156 É hora de extrapolar ... 161
UNIDADE
II
UNIDADE
III
CAPÍTULO 7 – Porcentagem ejuro simples 164
1. Porcentagem ... 166 2. Cálculo de acréscimos e descontos ... 171 Acréscimos ... 171 Descontos ... 172 3. Juro simples ... 174 Capital e montante ... 174 Resolvendo em equipe ... 176 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ... 177
CAPÍTULO 8 – Proporcionalidade 181
1. Razão ... 183 2. Proporção ... 185 Propriedade fundamental das proporções ... 187 Sequências de números diretamente
proporcionais ... 190 Sequências de números inversamente
proporcionais ... 193 3. Grandezas e proporcionalidade ... 195 Grandezas diretamente proporcionais ... 195 Grandezas inversamente proporcionais ... 197
Regra de três simples ... 199 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ... 202
CAPÍTULO 9 – Transformações
geométricas 205
1. Isometrias ... 207 Translação ... 207 Rotação ... 208 Reflexão ... 209 Construções de figuras simétricas ... 212 2. Representação de um polígono no plano
cartesiano ... 214 Os quadrantes do plano cartesiano ... 214 O polígono no plano cartesiano ... 215 3. Transformações geométricas no plano
cartesiano ... 216 Ampliação ... 217 Simetria em relação à origem do
plano cartesiano ... 218 Simetria em relação aos eixos do
plano cartesiano ... 219 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ... 223 É hora de extrapolar ... 225
8
8
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
UNIDADE
IV
CAPÍTULO 10 – Grandezase medidas 229
1. Situações que envolvem medições ... 231 2. Área ... 235 3. Área de polígonos ... 237 Área de um retângulo ... 237 Área de um paralelogramo ... 238 Área de um triângulo ... 238 Área de um trapézio ... 239 Área de um losango ... 239 4. Volume de um paralelepípedo reto-retângulo ... 242 Volume de um cubo ... 243 Resolvendo em equipe ... 245 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ... 246
CAPÍTULO 11 – Figuras geométricas
planas 249
1. Circunferência e círculo ... 251 Circunferência ... 251 Construção de uma circunferência
com compasso ... 251 Circunferência como lugar geométrico ... 252 Perímetro ou comprimento de uma circunferência ... 253 Círculo ... 254
2. Polígonos ...255 Elementos de um polígono ...255 Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono ... 256 Polígono regular ... 257 3. Triângulo ... 259 Principais elementos de um triângulo ... 259 Construção de triângulos ... 260 Desigualdade triangular ... 263 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ... 265
CAPÍTULO 12 – Probabilidade
e estatística 268
1. Probabilidade ... 270 Cálculo de probabilidades ... 271 2. Pesquisa estatística ... 273 População e amostra ... 275 Gráficos ... 279 Médias ... 282 Resolvendo em equipe ... 288 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ... 289 É hora de extrapolar ... 292 Respostas ... 294 Bibliografia ... 304
9
UNIDADE
Nesta unidade você vai estudar Capítulo 1 Números inteiros
Capítulo 2 Múltiplos e divisores Capítulo 3 Retas e ângulos
É hora de começar
1 Como você representaria uma temperatura muito baixa, que fosse menor que 0 °C?
2 O que são múltiplos? Quais são os múltiplos de 13?
3 Explique com suas palavras o que são retas paralelas.
4 Qual é a medida do ângulo formado entre duas retas perpendiculares?
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• Esta unidade visa ao de
senvolvimento das habili
dades relacionadas às unida
des temáticas Números (capítulos 1 e 2) e Geometria (capítulo 3). Provavelmente os alunos já tiveram contato em suas experiências diá
rias, ou nos Anos Iniciais do Ensino Fun damental, com alguns dos conteúdos traba
lhados nesta unidade, então leve em consideração aquilo que eles já sabem a respeito do assunto.
• O objetivo das questões do “É hora de começar” é instigar a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados nos capítu
los que integram a unidade.
As questões não preci
sam ser respondidas neste momento, mas sugerimos retomálas no final do estudo da unida de para que os alu
nos refli tam sobre o que aprenderam.
Veja plano de desenvolvi-mento e projeto integrador no Material do Professor – Digital.
10
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Em 28 de dezembro de 2016, os termômetros marcaram de 35 a 36 graus Celsius na região portuária do Rio de Janeiro (RJ). De acordo com os órgãos oficiais de controle do clima, a sensação térmica estava acima de
40 graus Celsius.
É hora de observar e refletir
A vasta extensão territorial é um dos fatores que faz com que o Brasil tenha clima diversificado, apresentando uma grande variação de temperatura.
Observe nos termômetros o registro da temperatura nas cidades de Urupema (SC) e do Rio de Janeiro (RJ).
Qual é o significado da temperatura 25 °C, registrada em Urupema?
O que indica o sinal de menos na frente do número 5?
Podemos afirmar que a diferença entre as temperaturas registradas nas duas cidades é superior a 35 graus Celsius?
CAPÍTULO
Números inteiros
1
Termômetro registra temperatura mínima de 25 ºC em Urupema (SC), na manhã do dia 23 de maio de 2018.
Sim, pois a diferença entre as duas temperaturas é igual a 40 graus Celsius.
Exemplo de resposta: É uma temperatura menor que zero; um termômetro marca temperatura abaixo de zero como negativa e acima de zero como positiva. O sinal de menos é usado para indicar que o número é menor que zero.
MARILIA SUTIL/FUTURA PRESS
LUIZ SOUZA/NURPHOTO/GETTY IMAGES
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Objetivos
• Ampliar o conceito de núme-ro pela incorporação dos nú-meros inteiros, relacionando- - os com situações do cotidiano.
• Comparar, ordenar e lo-calizar números inteiros na reta numérica.
• Compreender o conceito de módulo e de números opostos ou simétricos de nú-mero inteiro, relacionando--os à reta numérica.
• Resolver e elaborar proble-mas que envolvam operações com números inteiros.
Habilidades da BNCC
• Este capítulo foi planeja-do para favorecer o desen-volvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA04 da BNCC.
É hora de observar e refletir
• Nas fotos apresentadas nesta abertura, os alunos poderão verificar uma situ-ação que apresenta um nú-mero negativo para indicar uma temperatura abaixo de 0 °C (25 °C) em contrapo-sição com um termômetro indicando uma temperatura acima de 0 °C (35 °C).
• Explique aos alunos que 0° C indica a temperatura em que a água muda seu estado de líquido para sóli-do, ou seja, quando a água transforma-se em gelo. Para temperaturas mais baixas que essa, utilizamos núme-ros negativos.
• Espera-se que os alunos percebam que os núme-ros negativos surgiram da necessidade de contemplar situações que não era pos-sível com a utilização dos números naturais.
• No exemplo apresentado na foto com o termômetro de Urupema (SC), podemos ler a temperatura como “cin-co graus negativos” ou “cin“cin-co graus abaixo de zero”.
EF07MA03: Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.
EF07MA04: Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
11
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Geada em Monte Verde (MG), em junho de 2016.
Monte Verde (MG)
DIEGOGRANDI/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES JOÃO PRUDENTE/PULSAR IMAGENS RICARDO COZZO
No Brasil, a unidade de temperatura que usamos é o grau Celsius (°C). Observe, a seguir, a temperatura registrada em três municípios brasileiros em datas diferentes.
Em qual dos três municípios foi registrada a temperatura mais alta?
Na temperatura registrada em Monte Verde (MG), o que indica que ela estava abaixo de zero grau Celsius?
Os números naturais não são suficientes para representar algumas situações. No caso de temperaturas, altitudes e saldos bancários, por exemplo, muitas vezes precisamos utilizar números menores que zero, chamados números negativos.
Os números negativos reunidos com os números naturais, que você já conhece, formam o conjunto dos números inteiros, que estudaremos neste capítulo.
Parque Lago das Rosas em Goiânia (GO), em março de 2015.
Centro histórico de João Pessoa (PB), em novembro de 2015.
Trocando ideias
Em João Pessoa: 30 °C, ou trinta graus Celsius.
O sinal negativo, antes do número 4, indica uma temperatura abaixo de zero (24 °C).
Goiânia (GO)
João Pessoa (PB)
30
oC -4
oC
24
oC
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Trocando ideias
• Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre as-suntos do capítulo, mobili-zando seus conhecimentos.
Sugerimos explorá-la oral-mente; caso necessário, so-licite a eles que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca fa-vorecer o desenvolvimento das competências gerais 8, 9 e 10.
• Questione os alunos sobre outras situações que envol-vam números negativos, tais como: saldos bancários, painéis de elevadores, indi-cação de altitudes ou pro-fundidades etc.
Competência geral 8: Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade hu-mana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.
Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indiví duos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
12
Estação Comandante
Ferraz, em 2018. Estação Vostok, em 1964.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
No texto, verificamos a expressão “abaixo de 5 °C” e as medidas: 0 ºC, 240 ºC, 268 ºC, 289,2 ºC, 26 ºC e 229 ºC.
A expressão “abaixo de 5 °C ” se refere a todas as temperaturas menores que 5 °C. Se conside-rarmos apenas as temperaturas com valores inteiros, teremos:
4 °C, 3 °C, 2 °C, 1 °C, 0 °C, 21 °C, 22 °C, 23 °C, …
Os números 21, 22, 23, ... são chamados números negativos. Lemos: “ menos um”, “menos dois”, “menos três” e assim por diante.
O número zero serve como referência na classificação dos números em positivos ou negativos.
...
números positivos números negativos
21,
22,
23,
24,
25,
26,
..., 0, 11, 12, 13, 14, 15, 16,
Observe que o número zero não é positivo nem negativo.
Agora, veja a representação do conjunto de números abaixo.
A. BAZHEV/SPUTNIK/AFPGUILHERME CASAGRANDI
SERGIO HANQUET/BIOSPHOTO/GETTY IMAGES
Leia o texto a seguir.
A Antártica é o continente mais frio do planeta. A temperatura [...] na época mais quente do ano varia de 0 ºC a 240 ºC à medida que se distancia do litoral. No in-verno, a média é de 268 ºC no interior, onde foi registrada a menor temperatura do planeta: 289,2 ºC, na Estação Russa Vostok. Na costa, a média, no inverno, varia entre 26 ºC e 229 ºC.
BRASIL. Ministério do Meio Ambiente. O Brasil e o meio ambiente antártico. Brasília, 2007.
A Estação Comandante Ferraz foi ins-talada na Antártica em 1984, em uma região que mantém a temperatura, nor-malmente, abaixo de 5 °C. Já a Estação Vostok, que funciona desde 1957, está localizada numa região muito mais fria.
b 5 {..., 25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14, 15, ...}
3.310 km
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
Os números inteiros
1
Esse conjunto é chamado de conjunto dos números inteiros, representado pelo símbolo b, originário da palavra Zahl, que, em alemão, significa “número”.
As reticências são utilizadas para indicar que o conjunto dos números inteiros é infinito nos dois sentidos: no dos números positivos e no dos números negativos.
POLO SUL ANTÁRTICA AMÉRICA
ÁFRICA
OCEANIA OCEA
NO OCEANO ATLÂNTICO
OCEAN O ÍN
DICO
PACÍFICO
12
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• Além de Zahl significar
“número” em alemão, al-guns textos atribuem o uso da letra Z para representar o conjunto dos números intei-ros por ser a primeira letra do sobrenome do matemá-tico alemão Ernst Zermelo, que se dedicou ao estudo desses números.
Sugestão de trabalho interdisciplinar
• Em conjunto com o professor de Geografia, solicite aos alunos uma pesquisa sobre os locais onde podemos encontrar as mais altas ou as mais baixas temperaturas do planeta, ou mesmo, em âmbito nacional, identi-ficando as variações térmicas entre as diferentes capitais brasileiras, nas diferentes estações do ano.
13
Transações bancárias
Observe a reprodução de um extrato bancário.
Um pouco de história
GEORGE TUTUMI
Agora, acompanhe três situações em que os números negativos são utilizados.
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
Extrato bancário é um relatório que contém informações sobre a movimentação e o saldo de uma conta bancária.
A origem dos números negativos
A noção de número negativo levou muito tempo para se estabelecer na história da Matemática. Passaram mais de 1 000 anos entre a aparição dos números negativos e sua utilização.
Na Antiguidade, os hindus já discutiam a existência dos números negativos. Eles criaram um tipo de símbolo para representar dívidas, o qual, posteriormente, chamaríamos de negativo.
O primeiro registro explícito de números negativos foi feito em 628 d.C. pelo matemático hindu Brahmagupta (598-670).
Em 1489, Johann Widman (1460-1498) publicou uma Aritmética comercial, Rechnung auf allen Kaufmannschaft, o mais antigo livro em que os sinais 1 e 2 foram registrados.
Em 1544, Michael Stifel (1487-1567) publicou Arithmetica integra, a mais importante obra alemã sobre Álgebra do século XVI, cujo aspec-to mais relevante é o tratamenaspec-to dos números negativos, dos radicais e da potência. Stifel chamava os números negativos de “números absurdos”.
Fonte: Karl B. Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 160 e 206.
Os valores negativos nos extratos bancários correspondem aos débitos e são representa-dos com o sinal de menos à direita. Nesse exemplo, os débitos no extrato são: transfe rência de dinheiro (TRANSF) para outra conta, paga mento (PAGTO) de uma conta, uso do cartão (GASTO C DÉBITO), cheque (CHQ) compensado e saque.
Esses valores são subtraídos do saldo da conta bancária, fazendo-o diminuir. Observe que, no dia 15, o saldo era de R$ 1 661,00 e, no dia 25, R$ 115,00.
A expressão “saldo negativo” é utilizada quando debitamos da conta um valor maior que o saldo existente, ou seja, um valor maior que aquele de que dispomos em conta.
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• O tópico “Transações ban-cárias” inicia a discussão sobre operações de adição e subtração com números inteiros, favorecendo o de-senvolvimento da habilida-de EF07MA04.
• Proponha aos alunos que conversem sobre o signifi-cado de alguns termos uti-lizados nesses tipos de tran-sações:
§Saque: retirada de uma certa importância da conta bancária.
§Débito: quando se retira um valor da conta bancária, podendo ser uma transfe-rência de valores para outra conta bancária, pagamento de faturas (água, energia elétrica etc.), pagamento de tarifas bancárias, entre outros.
§Crédito: quando se de-posita uma importância na conta bancária, podendo ser um depósito em espécie na agência bancária, uma transferência entre contas, entre outros.
§Saldo: diferença entre o total de créditos e o total de débitos lançados em uma conta bancária.
Comente com os alunos que o saldo negativo ocor-re quando o débito é maior que o crédito. Nesse caso, al-guns bancos oferecem crédi-to ao cliente, porém cobram por esse empréstimo, que são chamados juros.
EF07MA04: Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
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Saldo de gols
Observe a seguir a classificação de alguns times no Campeonato Brasi leiro de Futebol da série A em 2017.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Altitudes
Associa-se o nível do mar à altitude zero. Acima do nível do mar, a altitude é positiva;
abaixo do nível do mar, a altitude é negativa.
O Cristo Redentor (RJ) é um monumento situado no topo do Morro do Corcovado, a 709 metros acima do nível do mar.
Sua altitude pode ser indicada por 1709 m (lemos: “mais setecentos e nove metros”).
O poço pioneiro de extração de petróleo da Bacia de Campos (RJ) foi o de Garoupa, a 100 metros abaixo do nível do mar.
Sua altitude pode ser indicada por 2100 m (lemos: “menos cem metros”).
Campeonato Brasileiro de Futebol da Série A – 2017
Classificação Clube Pontos Gols pró Gols contra Saldo de gols
1o Corinthians 72 50 30 20
2o Palmeiras 63 61 45 16
3o Santos 63 42 32 10
4o Grêmio 62 55 36 19
17o Coritiba 43 42 51 29
18o Avaí 43 29 48 219
19o Ponte Preta 39 37 52 215
20o Atlético Goianiense 36 38 56 218
Dados obtidos em: <https://www.cbf.com.br/futebol-brasileiro/competicoes/campeonato-brasileiro-serie-a/2017#.
WxFGCEgvwdU>. Acesso em: 11 jul. 2018.
O número que representa o saldo de gols é obtido pela diferença entre o número de gols pró (gols feitos) e o número de gols contra (gols sofridos) de cada time. Observe que o saldo de gols de alguns times é negativo. Isso ocorre porque o número de gols pró é menor que o número de gols contra.
GEORGE TUTUMI
1709 m
2100 m
nível do mar Converse com os alunos
que a imagem é ilustrativa, com cores-fantasia e não foi apresentada em escala de tamanho.
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Sugestão de atividade extra
• Explore curiosidades referentes a situações envolvendo altitude e profundidade. Peça aos alunos que realizem uma pesquisa, em livros ou sites especializados, de modo a responder perguntas como: Quais problemas um ser humano pode enfrentar se estiver a uma altitude superior a 3 000 metros? E a 200 metros de profundidade?
Qual seria um limite seguro para a prática de mergulho?
• Pergunte aos alunos como pode ser feito o desempate caso dois ou mais times es-tejam com o mesmo número de pontos na tabela de um determinado campeonato de futebol.
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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
ATIVIDADES
Faça as atividades no caderno.1 Observe os números a seguir.
2 Represente, com números inteiros, cada uma das situações a seguir.
a) Débito de R$ 3 000,00.
b) Lucro de R$ 1 200,00.
c) Elevação de 2 300 m.
d) Depressão de 500 m.
3 Letícia pegou o elevador no 3o subsolo e subiu até o 10o andar. Quantos andares ela percorreu?
4 Observe a classificação das seleções da América do Sul nas eliminatórias para a Copa do Mundo da Fifa 2018 e escreva no caderno os números inteiros que representam o saldo de gols de cada seleção.
Eliminatórias da Copa do Mundo da Fifa 2018
Seleção Gols pró Gols contra
1o Brasil 41 11
html>. Acesso em: 6 set. 2018.
6 Crie um problema que contenha as pa
lavras “extrato” e “saldo negativo”. Em seguida, troque com um colega e resolva o problema que ele criou. Por fim, conver
sem sobre os resultados obtidos.
6. Exemplo de resposta: “Carlos olhou o extrato de sua conta e descobriu que estava com saldo negativo de 53 reais.
Quanto ele tem de depositar para ficar com saldo zero na conta?” (Resposta: 53 reais)
GUILHERME CASAGRANDI
8 Certo dia, Emília viajou de Berlim (Ale
manha) para Berna (Suíça). Quando saiu de Berlim, a temperatura era de 22 °C e, ao chegar a Berna, a temperatura era de 28 °C. Em que cidade estava mais frio:
Berlim ou Berna? Berna DESEMPENHO
7 O gráfico a seguir representa o desem
penho de uma microem presa durante seis meses.
a) Em que mês o prejuízo foi de 40 mil reais?
b) Qual foi o saldo do mês de março?
c) Durante esses seis meses, a mi croem
presa teve lucro ou prejuízo? De quanto?
35 mil reais
lucro; 45 mil reais fevereiro 5 Em 20/1, o saldo da conta bancária de
Roberta era R$ 1 560,00. Nos três dias seguintes, ela efetuou estas operações financeiras:
• em 21/1 retirou a metade do saldo;
• em 22/1 depositou R$ 180,00;
• em 23/1 retirou R$ 300,00.
Copie no caderno o quadro abaixo subs
tituindo cada de acordo com as opera
ções financeiras efetuadas.
a) Quais deles são positivos?
b) Quais são negativos?
c) O número zero é positivo ou negativo?
17
Não é positivo nem negativo.
23, 29, 236 17, 14, 118, 176, 125
15
• É conveniente discutir e sanar eventuais dúvidas so-bre o significado de pala-vras como “saldo”, “saque”,
“depósito”, “extrato”, “lucro”, entre outras, estimulando a compreensão de expressões usadas em situações diárias.
• A atividade 7 envolve lei-tura e interpretação de um gráfico de barras verticais.
Os gráficos auxiliam no tra-tamento de informações e estão presentes no cotidiano dos alunos. Por esse motivo, saber lê-los e interpretá-los contribui para a forma-ção deles como cidadãos.
Auxilie na identificação do que representam os dados do eixo horizontal e do eixo vertical e o significado das barras com valores negativos.
Espera-se que os alunos verifiquem que essas bar-ras representam os meses em que a empresa obteve prejuízo. Pode também so-licitar que identifiquem o mês em que a micro empresa teve maior lucro ou maior prejuízo.
• Os alunos podem apre-sentar dificuldades durante a interpretação e a reso-lução da atividade 8. Uma sugestão para sanar even-tuais dúvidas é solicitar que façam o esboço de um ter-mômetro e sua graduação.
A visualização das gradua-ções das temperaturas no termômetro auxiliará na con-tagem das unidades entre 22 °C e 28 °C.
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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Para filmar um documentário em 3-D, o diretor de cinema James Cameron desceu ao ponto mais profundo do Oceano Pacífico, a Fossa das Marianas. Para isso, ele usou o minissubma rino DeepSea Challenger. Esse nome foi dado ao veí culo em homenagem ao abismo de Challenger, o ponto mais pro-fundo da Fossa das Marianas.
Lendo e aprendendo: Nas profundezas do mar
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Lendo e aprendendo
• Alguns dados apresenta-dos no infográfico não são consensuais nas inúmeras fontes existentes. Também
• Alguns dados apresenta-dos no infográfico não são consensuais nas inúmeras fontes existentes. Também