A linguagem formal

Vamos começar definindo uma linguagemL para o cálculo proposicional clás- sico.

Definição 1.1. O alfabeto proposicional é o conjunto de símbolosA ={ p, q, r, p₁,q₁,r₁,p₂,q₂,r₂,...,→,∼,),(}, onde { p, q, r, p1,q1,r1,p2,q2,r2,...} é um

conjunto denumerável de variáveis proposicionais;→ e ∼ são chamados de ope- radores lógicos, respectivamente, da implicação e da negação, e ) e ( são sinais de pontuação.

Definição 1.2. Uma expressão sobreA é qualquer sequência finita de elementos deA; designamos por E(A) o conjunto de todas as expressões sobre A; generica- mente, para qualquer conjunto de símbolos (alfabeto)X , uma expressão sobre X é uma sequência finita qualquer de elementos de X , e E(X ) é o conjunto de todas as expressões sobreX .

Definição 1.3. A linguagem formal sobreA, que designaremos por L, é o me- nor subconjunto deE(A) que satisfaz as seguintes condições:

i) se α ∈ { p, q, r, p1,q1,r1,p2,q2,r2,...}, então α ∈ L, e dizemos que α é

uma fórmula atômica deL; ii) se α ∈ L, então ∼α ∈ L; iii) se α,β ∈ L, então (α → β) ∈ L.

Um elemento qualquer deL é uma fórmula de L. Agora, vamos estenderL para L+_{, do modo seguinte:}

Definição 1.4. SejaA+_{o alfabetoA∪ {P,F,I,PC}; a linguagem formal sobre}

A+_{, que designaremos porL}+_{, é o menor subconjunto deE(A}+_{)que satisfaz as}

seguintes condições:

i) se α ∈ { p, q, r, p₁,q₁,r₁,p₂,q₂,r₂,...}, então α ∈ L+_{, e dizemos que α é}

uma fórmula atômica deL+

ii) se α ∈ L+_{, então∼α ∈ L}+_;

140 Carlos Luciano Manholi

iv) se α ∈ L+_{, então P(α), F(α), I(α), PC(α) ∈ L}+_.

Um elemento qualquer deL+_{é uma fórmula deL}+_.

As seguintes convenções notacionais serão adotadas com respeito aL+_:

i) em uma fórmula que começa com ‘(’ e termina com ‘)’, esses símbolos poderão ser omitidos

ii) uma fórmula da forma P(α), F(α), I(α) ou PC(α) poderá ser escrita na forma Pα, Fα, Iα e PCα, respectivamente

iii) as seguintes abreviações serão adotadas: α∧β abrevia ∼(α → ∼β); α∨β abrevia∼α → β; α ↔ β abrevia (α → β) ∧ (β → α); Gα abrevia ∼F∼α; Hα abrevia ∼P∼α

iv) uma fórmula da forma (α1∧(α2∧(...∧(αn−1∧αn)...) poderá ser escrita

na forma α1∧α2∧...∧αn−1∧αn; uma fórmula da forma (α1∨(α2∨(...∨

(α_n−1∨ α_n)...) poderá ser escrita na forma α₁∨ α₂∨ ... ∨ α_n−1∨ α_n.

2. Semântica paraL

Agora vamos fornecer uma interpretação para a linguagem formalL+_{. Nosso}

objetivo principal será definir o conceito de uma fórmula válida deL+_{, de modo}

a podermos depois introduzir o sistema formalT, e provar que todas e somente

as formulas válidas de L+_{são teoremas deT. Para tanto, como é costumeiro}

em lógica modal, vamos utilizar o conceito de frames, que são pares ordenados que envolvem um conjunto e uma relação sobre esse conjunto. Também é cos- tume, em lógica modal, como é sabido, dizer que uma frame é parcial quando a relação em questão é uma ordem parcial, ou que é densa a frame que inclui uma ordem densa, e por aí vai. Diz-se ainda que possui um máximo a frame cujo conjunto possui um elemento máximo dada a relação que o ordena, e que possui um mínimo aquela cujo conjunto possui um elemento mínimo dada a relação que o ordena. Nossas frames serão todas lineares e discretas, sem um mínimo e nem um máximo, e as fórmulas válidas deL+_{serão definidas como}

sendo aquelas que são válidas sobre o conjunto de todas essas frames. É com o conjunto dessas fórmulas que o conjunto dos teoremas de Tvai coincidir,

conforme vamos provar mais adiante.

Definição 2.1. Uma frameFé um par ordenado (T_F,<), onde T_Fé um con-

Lógica, tempo e linguagem natural 141

creta sem mínimo ou máximo)Fé uma frame (T_F,<) onde T_Fé denumerável,

e < é uma ordem linear discreta sobre TFtal que, para todo t ∈ TF, há um

u∈ TFtal queu < t, e um w ∈ TFtal quet < w.

Definição 2.2. SejaF= (T_F,<) uma frame e t um elemento qualquer de T_F;

então, set′_{∈ T}

F, a)t′é um sucessor det emFsset < t′; b)t′é um predecessor

det emFsset′_{< t ; c) t}′é o sucessor imediato det emFsset < t′e, para todo

elementot′′_{∈ T}

F, set < t′′, então t′′= t′ou t′< t′′; d) t′é o predecessor

imediato det emFsset′_{< t e, para todo elemento t}′′∈ T_F, set′′_{< t , então}

t′′_=t′_out′′_{< t}′_.

Como as d-frames são discretas, dada uma d-frameF= (T_F,<), se um ins-

tantet em TFpossui um sucessor,t deve possuir um sucessor imediato, e se t

possui um predecessor,t deve possuir um predecessor imediato. Assim, como as d-frames não possuem máximos ou mínimos, todo instante t em TFpossui

um sucessor e um predecessor, e logo todo instantet em TFpossui um sucessor

imediato e um predecessor imediato.

Definição 2.3. Dados uma frameF= (T_F,<) e dois elementos t_i e t_j deT_F

tais quet_i< t_j, o intervalo fechado, ou simplesmente intervalo [t_i,t_j]é o sub- conjunto de TF tal que: i) ti ∈ [ti,tj], ii) tj ∈ [ti,tj]e iii) se ti < t < tj,

entãot ∈ [ti,tj]; chama-se módulo do intervalo [ti,tj]ao cardinal de [ti,tj],

que será denotado pela notação [t_i,t_j]; dado um intervalo [t_i,t_j]cujo módulo [t_i,t_j] =n, se t_k∈ TFetj< tk, dizemos quetké um sucessor de [ti,tj]emF,

ou, equivalentemente, que [t_i,t_j]é um predecessor det_k emF, e escrevemos

[t_i,t_j]< tk; setk ∈ TFetk < ti, dizemos que tk é um predecessor de [ti,tj]

emF, ou, equivalentemente, que [t_i,t_j]é um sucessor de t_k emF, e escreve-

most_k< [t_i,t_j]; set_k∈ TFetké o sucessor imediato detjemF, dizemos que

t_k é o sucessor imediato de [t_i,t_j]emF, ou, equivalentemente, que [t_i,t_j]é o predecessor imediato det_k emFcom módulon; se t_k∈ T_Fe t_k é o prede-

cessor imediato det_i emF, dizemos quet_ké o predecessor imediato de [t_i,t_j] emF, ou, equivalentemente, que [t_i,t_j]é o sucessor imediato det_kemFcom

módulon.

Definição 2.4. Dadas uma frame F = (T_F,<) e uma função f definida de

{ p, q, r, p₁,q₁,r₁,p₂,q₂,r₂,...} × TFem{0,1}, uma valoração vFemFé uma

função definida deL+_{× T}

142 Carlos Luciano Manholi

i) se α é atômica, vF(α, t ) = 1 sse f (α, t ) = 1

ii) vF(∼α, t) = 1 sse vF(α, t ) = 0

iii) vF(α → β, t ) = 0 sse vF(α, t ) = 1 e vF(β, t ) = 0

iv) vF(P(α), t) = 1 sse há em TFalgum instanteu < t tal que vF(α, u) = 1

v) vF(F(α), t) = 1 sse há em TFalgum instanteu tal que t < u e vF(α, u) =

1

vi) vF(PC(α), t) = 1 sse há em TFum instanteu < t tal que vF(α, i) = 1

para todo instante de tempoi no intervalo [u, t]

vii) vF(I(α), t) = 1 sse há em TF um instanteu e um instante v, tais que

u < v < t e vF(α, i) = 1 para todo instante de tempo i no intervalo

[u, v].

Como estamos usando expressões da forma α∧β para abreviar fórmulas da forma∼(α → ∼β), expressões da forma α∨β para abreviar fórmulas da forma ∼α → β, expressões forma Gα para abreviar fórmulas da forma ∼F∼α, e ainda expressões forma Hα para abreviar fórmulas da forma ∼P∼α, segue-se diretamente da definição 2.4 que: a)vF(α∧β, t ) = 1 sse vF(α, t ) = vF(β, t ) = 1;

b)vF(α∨β, t ) = 0 sse vF(α, t ) = vF(β, t ) = 0; c) vF(Gα, t) = 1 sse vF(α, u) = 1

para todou∈ TFtal quet < u; e d) vF(Hα, t) = 1 sse vF(α, u) = 1 para todo

u∈ TFtal queu < t.

Definição 2.5. Uma valoraçãovFem uma frameFé um modelo de um con-

junto de fórmulas Γ em um tempo t (em símbolos vF|= (Γ , t)) sse vF(α, t ) = 1

para toda fórmula α ∈ Γ .

Definição 2.6. Um conjunto de fórmulas Γ é satisfatível em uma frameF= (TF,<) sse há ao menos uma valoração vFe um instantet∈ TFtal quevF|=

(Γ , t ); uma fórmula α é satisfatível emFsse{α} é satisfatível emF, ou seja, sse

há ao menos uma valoraçãovFe um instantet∈ TFtal quevF(α, t ) = 1.

Definição 2.7. Um conjunto de fórmulas Γ é satisfatível sobre um conjunto K de frames sse há ao menos uma frameF∈ K com Γ satisfatível emF; uma

fórmula α é satisfatível sobre K sse {α} é satisfatível sobre K.

Definição 2.8. Uma fórmula α é uma consequência lógica de um conjunto de fórmulas Γ em uma frameF = (T_F,<) (em símbolos Γ |=_{F α) sse, dado um}

instante qualquer de tempot∈ TF,vF(α, t ) = 1 para toda valoração vFemF

Lógica, tempo e linguagem natural 143

Definição 2.9. Uma fórmula α é uma consequência lógica de um conjunto de fórmulas Γ sobre um conjunto K de frames (em símbolos Γ |=Kα) sse α é uma

consequência lógica de Γ emFpara toda frameF∈ K.

Definição 2.10. Uma fórmula α é válida em uma frameF= (T_F,<) (em sím-

bolos|=Fα) sse vF(α, t ) = 1 para toda valoração vFemFe todo instante de

tempot∈ TF.

Definição 2.11. Uma fórmula α é válida sobre um conjunto K de frames (em símbolos|=Kα) sse α é válida emFpara toda frameF∈ K.

Definição 2.12. Um sistema formalSé correto com relação a um conjuntoK

de frames sse todo teorema deSé uma fórmula válida sobreK;Sé completo

com relação a um conjuntoK de frames sse toda fórmula válida sobre K é um teorema deS.