A.4 Procedimento de Otimiza¸c˜ao
A.4.2 Linhas Gerais do M´etodo SQP
H´a uma abordagem alternativa `a itera¸c˜ao (A.43) e (A.44). Para o iterando (xk, λk) definimos o problema quadr´atico abaixo:
M inimize 1 2p TW kp +∇fkTp p (A.45) Sujeito a : Akp + ck = 0 (A.46)
Se as condi¸c˜oes (A.4.1) s˜ao satisfeitas, ent˜ao (A.45-A.46) possui uma solu¸c˜ao ´unica (pk, µk) que satisfaz:
Wkpk+∇fk− ATkµk= 0 (A.47)
Akpk+ ck = 0 (A.48)
Uma observa¸c˜ao importante ´e que pk e µk podem ser identificados com a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Newton (A.44).
Se subtrairmos AT
kλk de ambos os lados da primeira equa¸c˜ao de (A.44), obtemos: (
Wkpk− ATkpλ =−∇fk+ ATkλk Akpk=−ck
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 105 ( Wkpk− ATkpλ − ATkλk =−∇fk Akpk=−ck ⇒ ( Wkpk− ATk(pλ+ λk) = −∇fk Akpk =−ck
Mas λk+1 = λk+ pλ, portanto obtemos:
" Wk −ATk Ak 0 # " pk λk+1 # = " −∇fk −ck # (A.49)
Portanto, devido a n˜ao-singularidade da matriz de coeficientes, temos que p = pk e λk+1 = µk. Vamos nos referir a este resultado como equivalˆencia entre SQP e o m´etodo de Newton: se as condi¸c˜oes (A.4.1) s˜ao garantidas, ent˜ao o pr´oximo iterando (xk+1, λk+1) pode ser definido em termos de:
1. a solu¸c˜ao do problema quadr´atico (A.45-A.46) ou
2. o iterando gerado pelo m´etodo de Newton (A.43)-(A.44). Essas interpreta¸c˜oes alternativas s˜ao muito ´uteis.
A interpreta¸c˜ao em termos do m´etodo de Newton facilita a an´alise, enquanto que a estrutura do SQP nos permite derivar algoritmos pr´aticos no ˆambito de restri¸c˜oes de igualdade.
Na sua forma mais simples, o m´etodo SQP pode ser especificado como segue:
ALGORITMO A.4.2 (Algoritmo SQP local)
Escolha um ponto inicial (x0, λ0) Para k = 0, 1, 2, ..., fa¸ca
Calcule fk,∇fk, Wk = W (xk, λk), ck e Ak Resolve o problema (A.45), obtendo pk e µk xk+1 ← xk+ pk
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 106 λk+1 ← µk
Se o crit´erio de convergˆencia ´e satisfeito
Pare e retorne a solu¸c˜ao aproximada (xk+1, λk+1) Fim-se
Fim-para
´
E f´acil de se estabelecer um resultado de convergˆencia local para este algoritmo, uma vez que sabemos que este ´e equivalente ao m´etodo de Newton aplicado ao problema F (x, λ) = 0. Mais especificamente, se as condi¸c˜oes (A.4.1) s˜ao satisfeitas pela solu¸c˜ao (x∗, λ∗) de (A.37), se f e c s˜ao duas vezes diferenci´aveis satisfazendo a condi¸c˜ao Lipschitz, e se o ponto (x0, λ0) ´e suficientemente pr´oximo de (x∗, λ∗), ent˜ao os iterandos gerados pelo algoritmo acima convergem quadraticamente para (x∗, λ∗).
A.4.3
Restri¸c˜oes de Desigualdade
O algoritmo SQP geral pode ser facilmente estendido para o caso geral de programa¸c˜ao n˜ao-linear: P : M inimize f (x) Sujeito a : ci(x) = 0 i∈ E ci(x)≥ 0 i∈ I x∈ Rn (A.50)
Para definir o subproblema, agora linearizamos tanto as restri¸c˜oes de igualdade quanto as de desigualdade de forma a se obter:
M inimize 12pTW kp +∇fkTp Sujeito a : ∇ci(xk)Tp + ci(xk) = 0 i∈ E ∇ci(xk)Tp + ci(xk)≥ 0 i ∈ I (A.51)
Podemos ent˜ao utilizar um dos algoritmos de programa¸c˜ao quadr´atica existente na literatura, tal como o algoritmo de conjuntos ativos.
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 107 Um m´etodo SQP local segue portanto do algoritmo (A.4.2), com uma pequena mo- difica¸c˜ao: o passo pk e a estimativa do multiplicador de Lagrange λk+1 s˜ao definidos conforme solu¸c˜ao do problema (A.51).
O resultado a seguir mostra que esta abordagem eventualmente identifica o conjunto ativo ´otimo para o problema (A.50).
Teorema A.4.3.1 Suponha que x∗ ´e uma solu¸c˜ao para (A.50) e λ∗ s˜ao os multiplica- dores de Lagrange. Assuma que a matriz Jacobiana Ak do conjunto de restri¸c˜oes ativas no ponto x∗ possui posto de linha completo, e que dTW (x∗, λ∗)d > 0 para todo d 6= 0 tal que A(x∗)d = 0, e que complementaridade estrita ´e garantida. Ent˜ao se (x
k, λk) ´e suficientemente pr´oximo de (x∗, λ∗), existe uma solu¸c˜ao local do subproblema (A.51) cujo conjunto ativo Ak ´e idˆentico ao conjunto ativo A(x∗) do problema n˜ao-linear (A.50) no ponto x∗.
A.4.4
Implementa¸c˜ao de SQP
Existem pelo menos duas formas de se implementar SQP.
A primeira abordagem resolve a cada itera¸c˜ao o subproblema quadr´atico (A.51), to- mando o conjunto ativo na solu¸c˜ao deste subproblema como uma estimativa do conjunto ativo ´otimo. Essa abordagem ´e denotada por IQP (Inequality-Constrained QP), a qual tem tido sucesso na pr´atica. A dificuldade est´a em resolver um problema quadr´atico a cada itera¸c˜ao, mas pode ser mitigado se utilizamos um bom ponto de partida para a solu¸c˜ao (“hot-start”).
A segunda abordagem seleciona um subconjunto das restri¸c˜oes a cada itera¸c˜ao para atuar como conjunto de trabalho, resolvendo apenas subproblemas com igualdades, ignorando-se as demais restri¸c˜oes. O conjunto de trabalho ´e atualizado a cada itera¸c˜ao atrav´es de regras baseadas nos estimadores dos multiplicadores de Lagrange. Esta abordagem, denotada por EQP (Equality-Constrained QP), tem a vantagem de tratar apenas de subproblemas quadr´aticos com restri¸c˜oes de igualdade, o que ´e computacionalmente mais f´acil.
Apˆendice B
Modos Deslizantes
B.1
Introdu¸c˜ao
Este apˆendice mostra uma alternativa de projeto de controlador para o conversor buck boost.
Consideremos o modelo real instantˆaneo do conversor buck boost representado pelas equa¸c˜oes 3.13. Basicamente este modelo apresenta dois tipos de n˜ao linearidades:
• por um lado a presen¸ca de termos na equa¸c˜ao diferencial ordin´aria (EDO) onde aparecem multiplicados os estados pela a¸c˜ao de controle. A equa¸c˜ao 3.13 pode ser reescrita na forma:
˙x = f (x, R, Vref) + g(x, R, Vref)∗ q(t)
y = h(x, R, Vref) + m(x, R, Vref)∗ q(t) (B.1) por tanto falamos que o sistema ´e “afim”em q.
• a outra n˜ao linearidade que aparece ´e no pr´oprio controle q(t) que somente pode ter valor 0 ou 1. Quando o valor de q = 1 a planta apresenta uma dinˆamica diferente da dinˆamica quando o valor de q = 0. Estes sistemas s˜ao conhecidos na literatura como de estrutura vari´avel, e podem ser controlados para certas especifica¸c˜oes via modos deslizantes (Khalil 2002).
Modos Deslizantes 109 vari´avel pode exibir quando uma trajet´oria surge como solu¸c˜ao para o problema de des- continuidade. O movimento do vetor de estados se d´a de forma anˆomala em rela¸c˜ao `as dinˆamicas individuais de cada estrutura, ficando “aprisionado”na fronteira entre dois ou mais regi˜oes. A trajet´oria se move ent˜ao atrav´es da superf´ıcie de descontinuidade como se o estado se “deslizasse”sobre ela. A trajet´oria de um modo deslizante n˜ao verifica a EDO de nenhuma das estruturas, mas ela existe como solu¸c˜ao global do problema.
B.2
Projeto da Lei de Controle Via Modos Deslizan-
tes
O sistema apresenta dinˆamica e pontos de equil´ıbrio diferentes para q(t) = 0 e q(t) = 1. A id´eia b´asica na s´ıntese de controladores via modos deslizantes ´e achar uma curva que contenha o ponto de equil´ıbrio (xe) onde desejamos que o sistema convirja e que separe o plano de fase em duas regi˜oes, cada uma contendo um dos equil´ıbrios de cada dinˆamica, ou seja, os equil´ıbrios devem ficar em regi˜oes diferentes.
Seja essa curva definida pela equa¸c˜ao:
S ={x ∈ R2/σ(x) = 0} (B.2)
A fun¸c˜ao σ se escolhe de forma tal que cumpra com os requerimentos do problema. Nesse caso escolheu-se uma σ que unicamente depende dos estados e que cont´em o ponto de equil´ıbrio ao qual deseja-se convergir, pois est´a-se considerando um problema de segui- mento da referˆencia. Tamb´em poderia ter-se escolhido uma fun¸c˜ao σ dependente do erro em estado estacion´ario ou da sa´ıda.
Quando q(t) = 0 o sistema deve encontrar-se na regi˜ao contr´aria `a que cont´em o equil´ıbrio da dinˆamica correspondente a q(t) = 0 e vice-versa. Portanto, a lei de controle a implementar dever´a ter a seguinte forma:
q(t) = (
1 si σ(x) < 0
0 si σ(x) > 0 (B.3)
Modos Deslizantes 110 A fun¸c˜ao σ tem a forma:
σ(x) = c1(x10− x1) + c2(x20− x2)
σ(x) = k(1.6− x1) + (−56 − x2) (B.4)
onde xe = (x10; x20) = (1.6A;−56V ).
Assim a lei de controle ´e dependente dos valores do ponto de equil´ıbrio.
Como os modos deslizantes est˜ao sob a descontinuidade do sistema, estar˜ao sobre a superf´ıcie S. Para cada mudan¸ca de estado na chave semiconductora o sistema comporta- se de acordo com a estrutura correspondente, at´e chegar no modo deslizante. A partir da´ı as trajet´orias do sistema de deslizam at´e o equil´ıbrio.
Para que existam modos deslizantes deve-se verificar que, considerando como fun¸c˜ao de Lyapunov: V (x) = 1 2σ 2(x) (B.5) ent˜ao ˙ V (x) = σ(x) ˙σ(x) < 0 (B.6) Seja ent˜ao: Ψ ={x ∈ R2/σ(x)dσ(x) dx dx dt < 0} (B.7)
O dom´ınio dos modos deslizantes ser´a:
Ω = S∩ Ψ (B.8)
Para o conversor buck boost nominal (R = 80, VO = 56), uma poss´ıvel curva S(x), mostra-se na figura B.1.
σ(x) = k(x10− x1) + (x20− x2) (B.9)
x10 = 1.6A x20 = −56V
Modos Deslizantes 111 0 20 40 60 80 100 120 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 x1 x2 ponto de equilíbrio q=0 ponto de equilíbrio q=0 curva de equilíbrios
Figura B.1: Curva de equil´ıbrio para R = 80. A curva S fica definida igualando a zero a fun¸c˜ao B.10.
Para achar o dom´ınio do modo deslizante, imp˜oem-se as condi¸c˜oes expressas nas equa¸c˜oes B.6 e B.7. Impor essas condi¸c˜oes permite achar a regi˜ao Ψ onde dever´a es- tar o modo deslizante.
Para o conversor buck boost essa regi˜ao fica definida pela seguinte equa¸c˜ao: Ψ(x) = {x ∈ R2 / x 2 >−k RC L [−(rS+ rL)x1+ Vi] ∩ x2 < RLC kRC− L[( k L(rC+ rL) + 1 C)x1+ k LvD]} (B.10) A Figura B.2 mostra os limites da regi˜ao Ψ(x) dada pela equa¸c˜ao B.10.
A intersec¸c˜ao entre Ψ(x) e S(x) ´e o modo deslizante.
Com C1 = 110 e C2 = 1, obt´em-se a lei de controle a implementar a qual foi simulada com o esquema mostrado na Figura B.4
Pode-se observar atrav´es dos resultados da simula¸c˜ao que devido `as grandes dimens˜oes do modo deslizante, para qualquer condi¸c˜ao inicial razo´avel do problema o conversor com essa lei de controle chega rapidamente ao modo deslizante, para logo deslizar-se at´e o
Modos Deslizantes 112 0 20 40 60 80 100 120 140 −300 −200 −100 0 100 200 x1 x2 curva S limites da região onde encontra−se o modo deslizante Figura B.2: Regi˜ao Ψ(x). equil´ıbrio. A velocidade de convergˆencia ´e bastante r´apida.
A Figura B.5 mostra os resultados da simula¸c˜ao partindo de condi¸c˜oes iniciais nulas. Implementada a lei de controle com esta estrat´egia fica resolvido o problema de segui- mento a referˆencia, mas n˜ao o problema de rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes de carga. A curva de equil´ıbrio assim como a localiza¸c˜ao dos modos deslizantes dependem da resistˆencia de carga. O ponto de intersec¸c˜ao entre ambas curvas quando variamos a resistˆencia de carga muda de posi¸c˜ao, (e at´e pode n˜ao existir), o que tr´as como conseq¨uˆencia que apare¸ca um erro em estado estacion´ario no seguimento `a referˆencia.
Este problema pode ser resolvido usando um filtro passa baixo como indica a Figura B.7.
A constante de tempo τ do filtro afeta consideravelmente o comportamento do sistema. τ deve ser maior que o per´ıodo de chaveamento de forma a fornecer uma referˆencia da corrente livre de ripple, mas o suficientemente pequeno para seguir as respostas r´apidas do conversor. Na pr´atica escolhe-se τ num valor pr´oximo `a constante natural do sistema.
Modos Deslizantes 113 0 20 40 60 80 100 120 140 −2500 −2000 −1500 −1000 −500 0 x1 x2 modo deslizante curva de equilíbrios
Figura B.3: Modo deslizante Ψ(x)∩ S(x).
RELAY R S D C L CC E R U iL vC 48V -56V 80 Ohms -1 SCOPE Modelo instantaneo real do BB
1 C2 1.6A 110 C1 + + + - -
Modos Deslizantes 114 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 x1 x2
trajetória do sistema até o modo deslizante
Figura B.5: Resultado da simula¸c˜ao, diagrama de fases.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10−3 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 tempo(s) x2
Modos Deslizantes 115 RELAY R S D C L CC E R U iL vC 48V 12 V +88 (5mseg) -44 (10mseg) 80 Ohms -40 (15mseg) +80 (20mseg) -1 SCOPE Modelo instantaneo ideal do BB
1 C2 110 C1 + + + - - 1 20e-5 s + 1
Figura B.7: Esquema de simula¸c˜ao com filtro passa baixo.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 20 40 60 80 100 120 tempo(s) referência tensão de saída perturbação de carga
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