1. Para cada um dos sistemas abaixo fa¸ca o seguinte:
(a) Ache os autovalores e autovetores da matriz associada.
(b) Classifique o ponto cr´ıtico (0, 0) quanto ao tipo e estabilidade. (c) Esboce o plano de fase.
i. dz dt = 3 −2 2 −2 z; ii. dz dt = 1 −5 1 −3 z; iii. dz dt = 0 −1 −1 0 z; iv. dz dt = 5 −1 3 1 z 2. Considere os sistema X0(t) = a a−12 a+1 2 a X(t)
(a) Encontre os valores de a de maneira que no retrato de fase h´a um n´o atrativo.
(b) Encontre os valores de a de maneira que no retrato de fase, as trajet´orias sejam c´ırculos. Fixe uma trajet´oria determinada e es- boce esta trajet´oria explicitando em 3 pontos o vetor velocidade, dando as respectivas coordenadas.
3. Considere o sistema diferencial: X0(t) = x0(t) y0(t) z0(t) = 2 0 0 0 −1 a2− 1 0 −1 −1 x(t) y(t) z(t)
(a) Para a 6= 0, encontre o conjunto das condi¸c˜oes iniciais (x(0), y(0), z(0)) de modo que X(t) → 0 quando t → +∞.
(b) Definindo Y (t) =
y(t) z(t)
, escreva o sistema diferencial que Y satisfaz. Determine os valores de a de modo que tal sistema possua um ponto cr´ıtico que seja uma espiral atratora.
4. Usando o m´etodo de autovetores, ache a solu¸c˜ao geral do sistema abaixo: X0(t) = 1 −2 3 0 −4 0 0 0 5 X(t).
5. A solu¸c˜ao geral do sistema de equa¸c˜oes diferenciais X0(t) = AX(t)
onde X(t) =
x(t) y(t)
´e dada por X(t) = e−t e2t 3e−t 0 a b (21) onde a e b s˜ao constantes arbitr´arias.
(a) Ache a matriz M na express˜ao
a b
= M X(0) (b) Ache a matriz A. [Dica: Considere X0(0).]
(c) Que condi¸c˜ao X(0) deve satisfazer para que limt→∞X(t) = 0?
6. Considere o sistema dz dt = 1 2 −2 −4 z.
(a) Ache os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema acima.
(b) Esboce o plano de fase.
(c) Quais s˜ao os pontos cr´ıticos do sistema? 7. Determine os pontos cr´ıticos dos sistemas
(a) dx dt = x − xy dy dt = y + 2xy (b) dx dt = y dy dt = µ(1 − x2)y − x , µ > 0. 8. Encontre as trajet´orias de θ00+ θ − θ3= 0 Generalize para a equa¸c˜ao
9. Determinar os pontos cr´ıticos reais e discutir os respectivos tipos e caracter´ısticas de estabilidade dos seguintes sistemas
(a) dx dt = x + y2 dy dt = x + y (b) dx dt = 1 − y dy dt = x2− y2
10. Considere o seguinte modelo predador-presa:
dx dt = −x + 3 4xy dy dt = 2y 1 −y 2 −2 3xy (22)
(a) x(t) representa a popula¸c˜ao de presas ou predadores ? Justifique sua resposta.
(b) Determine os pontos cr´ıticos do sistema de equa¸c˜oes diferenciais. Classifique os pontos cr´ıticos determinando sua estabilidade ou instabilidade (em cada caso).
(c) Responda se h´a alguma possibilidade de que as esp´ecies sobre- vivam, dando uma breve justificativa.
11. Considere a equa¸c˜ao de um pˆendulo n˜ao-amortecido, i.e, d2θ
dt2 +
g
lsen θ = 0. (a) Encontre o sistema associado.
(b) Mostre que os pontos cr´ıticos do sistema s˜ao (±nπ, 0), n = 0, 1, 2, . . .. (c) Mostre que o ponto cr´ıtico (0, 0) ´e um centro do sistema lin-
ear correspondente. O que se pode concluir sobre a solu¸c˜ao do sistema n˜ao-linear na vizinhan¸ca da origem. Mostre que a situa¸c˜ao ´e semelhante para os pontos cr´ıticos da forma (±2kπ, 0), k = 1, 2, 3, . . .. Interprete esses pontos fisicamente.
(d) Mostre que o ponto cr´ıtico (π, 0) ´e um ponto de sela. Mostre que a situa¸c˜ao ´e idˆentica nos pontos (±(2k − 1)π, 0), k = 1, 2, 3, . . .. Interprete esses pontos fisicamente.
(e) Mostre que as trajet´orias do sistema s˜ao dadas por 1
2y
2+ κ2(1 − cos x) = E,
onde x = θ, y = dθdt,κ2 = g/l e E ´e uma constante arbitr´aria.
Observe que 1/2y2 ´e proporcional `a energia cin´etica do pˆendulo e que κ2(1 − cos x) ´e proporcional `a energia potencial no campo gravitacional do pˆendulo. Conclua que E pode ser interpretada como a energia total do pˆendulo.
(f) Tome E = 2κ2. Mostre que as trajet´orias s˜ao da forma y = ±2κ cos(x/2).
Desenhe essas trajet´orias. Observe que estas trajet´orias entram ou saem dos pontos cr´ıticos da forma (±(2k−1)π, 0), k = 1, 2, 3, . . .. Pode-se mostrar que, se E < 2κ2, ent˜ao as trajet´orias s˜ao fechadas e que, se E > 2κ2, ent˜ao as trajet´orias n˜ao s˜ao fechadas. Use
essa informa¸c˜ao para esbo¸car o plano de fase do pˆendulo n˜ao- amortecido.
12. Os sistemas abaixo podem ser interpretados como modelos para a in- tera¸c˜ao entre duas esp´ecies, x e y, competindo pelo mesmo alimento. Para cada um dos sistemas abaixo
(a) Ache os pontos cr´ıticos
(b) Para cada ponto cr´ıtico, encontre a lineariza¸c˜ao correspondente e calcule os respectivos autovalores e autovetores; classifique cada ponto quanto ao tipo e estabilidade.
(c) Esboce o retrato de fase
(d) Determinar o limite de x e y quando t → ∞ para as poss´ıveis condi¸c˜oes iniciais; interprete o resultado em termos das pop- ula¸c˜oes das duas esp´ecies.
i. dx dt = x(1.5 − x − 0.5y) dy dt = y(2 − y − 0.75x) ii. dx dt = x(1 − x − 0.5y) dy dt = y(2.5 − 1.5y − 0.25x) iii. dx dt = x(1 − x − y) dy dt = y(1.5 − y − x)
(e) Considere a seguinte equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem: y00− (1 − y2)y0+ y − y2 = 0
i. Reescreva esta equa¸c˜ao como um sistema de equa¸c˜oes difer- encias de primeira ordem.
ii. Determine os pontos cr´ıticos do sistema do item anterior. iii. Nas vizinhan¸cas de cada ponto cr´ıtico, encontre um sistema
linear de aproxima¸c˜ao, determine o tipo do ponto cr´ıtico e sua caracter´ıstica de estabilidade.
iv. Esboce o retrato de fase do sistema n˜ao linear. 13. Considere o sistema ( dx dt = 1+tx , dy dt = y 1+t.
Mostre que, apesar do sistema n˜ao ser autˆonomo, as trajet´orias a partir de um ponto (x0, y0), n˜ao dependem do instante t0 considerado.
14. Considere o seguinte sistema n˜ao linear de equa¸c˜oes diferenciais: x0 = −4x − y
y0 = 1
2(25 − x
2)
(a) Determine os pontos cr´ıtico do sistema.
(b) Determine, para cada ponto cr´ıtico, o sistema linear de aprox- ima¸c˜ao, seu tipo, e caracter´ıstica de estabilidade.
(c) Esboce o retrato de fase do sistema, destacando a trajet´oria que passa por (5, −15).
15. Considere o seguinte sistema de equa¸c˜oes diferenciais: x0 = y + x(1 − x2− y2) y0 = −x + y(1 − x2− y2)
Seja r2 = x2+ y2 o quadrado da coordenada polar r (o raio) do ponto (x, y).
(a) Ache uma express˜ao para dtdr2 em termos de r2. Determine para
quais valores de r(t) i. o raio r(t) cresce,
ii. o raio r(t) decresce,
(b) Ache o valor de r tal que o c´ırculo x2+y2 = r2seja uma trajet´oria, e determine o sentido de movimento (hor´ario ou anti-hor´ario). 16. Considere duas esp´ecies com popula¸c˜oes x(t) e y(t) competindo entre
si de acordo com o seguinte sistema dx
dt = x (4 − x − 3y) dy
dt = y (3 − 3y − x)
(a) Determine os pontos cr´ıticos, isto ´e, as popula¸c˜oes em equil´ıbrio. (b) Linearize em torno dos pontos cr´ıticos (pontos de equil´ıbrio) e classifique-os, determinando sua estabilidade ou instabilidade (em cada caso).
(c) Esboce o retrato de fase e determine a esp´ecie x ou y que vai sobreviver.
(d) Ache os pontos de equil´ıbrio do sistema acima e classifique-os quanto ao seu tipo e estabilidade.
(e) Esboce o retrato de fase do sistema. 17. Considere o sistema
x0=(1 − y)x (23)
y0=(α − x)y (24)
onde α > 1
(a) Determine os pontos cr´ıticos do sistema.
(b) Encontre a lineariza¸c˜ao do sistema em torno dos pontos cr´ıticos e classifique-os, determinando estabilidade ou instabilidade. (c) Esboce o retrato de fase do sistema.
(d) Considere f (x, y) = α ln |x| − ln |y| + y − x, x, y 6= 0. Mostre que f (x, y) ´e constante ao longo das curvas integrais do sistema, i.e f ´e uma integral primeira.