Método da transformada de Kutta-Zhukovsky

O método de Kutta-Zhukovsky está dentre os métodos utilizados para o projeto do VANT agrícola do presente trabalho. Dentre vários métodos para se traçar perfis aerodinâmicos, o método de Kutta-Zhukovsky é o mais simples e clássico de todos, sendo este a base de toda aerodinâmica moderna. Ressalta-se que este é um método puramente analítico que traz resultados com uma aproximação adequada. Desta forma, no presente tópico se explana as equações que serão utilizadas no projeto.

Assim sendo, deve-se realizar um mapeamento conformal (ou transformação conformal que, por meio de equações paramétricas, mapeiam os pontos) visando à transformação entre planos complexos de uma variável complexa no Plano z para um potencial complexo no Plano ζ, sendo que a transformação é feita entre planos (Plano z  Plano ζ), sendo os planos (ISMAIL, 2009):

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

𝜁 = 𝜉 + 𝑖𝜂  (3.2.1)

Onde, i é o número imaginário, sendo:

𝑖 = √−1 → 𝑖 = −1 → 𝑖 = −𝑖 → 𝑖 = 1 (3.2.2) E x e y são as coordenadas cartesianas do Plano z. As coordenadas cartesianas do Plano ζ são ξ e η. Ou seja, para cada ponto no Plano z haverá um, e apenas um, ponto correspondente no Plano ζ, ou seja, cada ponto em um plano deve cair no outro plano por um ponto apenas. Sendo assim, a transformada de Zhukovsky é (ISMAIL, 2009):

𝜁 = 𝑧 +

Domínio: 0 < b < 𝑎

  (3.2.3)

Em que a é o raio do círculo maior e b é o raio do círculo menor. Em verdade, o que foi descrito até este momento deste tópico (3.2) é apenas a última transformação de Kutta-Zhukovsky, pois são feitas, no mínimo (por exemplo), três transformações entre quatro planos para se traçar um aerofólio simétrico (Plano w  Plano z1  Plano z2  Plano ζ);

pode-se realizar o número de transformações forem necessárias. No Plano w está contido o fluxo uniforme com as linhas de corrente ψ e as linhas equipotenciais φ, ou seja, Plano w está relacionado com o campo de velocidade de escoamento; no Plano z1 (com x1 e y1) está contido

o círculo de raio “a” imerso no fluxo e causando sua interferência no mesmo, no Plano z2

(com x2 e y2) estão contidos os círculos de raio a e de raio b imersos no fluxo e causando

interferência no mesmo e, por fim, Plano ζ está contido o aerofólio que, por sua vez, causa a sua influência sobre o fluxo. A Figura 53 ilustra esta transformação. Cabe-se salientar, de

forma complementar (caso de se lidar com as variáveis complexas) que a transformação de Kutta-Zhukovsky é realizada por meio de uma equalização da componente real com a componente real e, de forma separada, da equalização da componente imaginária com a componente imaginária (ISMAIL, 2009).

De alguns conceitos base da mecânica dos fluidos nunca se pode abrir mão, como a definição que estabelece que linhas de corrente não permitam que haja nenhuma velocidade normal, apenas tangencial, e a outra definição, bastante utilizada, é a que impõe que as linhas de corrente são sempre perpendiculares às linhas equipotenciais (ISMAIL, 2009).

Figura 53: Escoamento em torno de um aerofólio simétrico (ISMAIL, 2009).

Equacionamento das três transformações realizadas na Figura 53 (ISMAIL, 2009):

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑧 = − 𝑤 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑚 𝜁 = 𝑧 +   (3.2.4) 𝑏 = 𝑎 − 𝑚 (3.2.5)

Em que m nas Equações (3.2.4) e (3.2.5), é o valor de deslocamento ou, de maneira mais detalhada, é o quanto o centro do círculo de raio a foi deslocado em relação à origem, neste caso do perfil simétrico apenas houve deslocamento no eixo das abscissas. Ressalta-se que o círculo de raio b possui o seu centro na origem tanto para perfis simétricos quanto assimétricos (ISMAIL, 2009).

Para um perfil assimétrico, desloca-se o centro de raio a tanto no eixo das abscissas quanto das ordenadas. O equacionamento para tanto é (ISMAIL, 2009):

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑧 = − 𝑤 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑚𝑒 𝜁 = 𝑧 +   (3.2.6)

Na segunda equação do conjunto de Equações (3.2.6) e é o número de Euler, que está elevado pelo número imaginário vezes o ângulo δ com vértice no ponto o (e este ângulo é formado entre os segmentos de reta 𝑜𝑛 e 𝑜𝑐); os demais detalhes estão descritos na Figura 54 (ISMAIL, 2009).

Figura 54: Detalhes da transformação para um aerofólio assimétrico (ISMAIL, 2009).

De forma prática utilizam-se as expressões, para se traçar um perfil assimétrico (ISMAIL, 2009):

𝑐 = 4𝑏 (3.2.7)

𝑎 = 𝑏(1 + 𝑒) (3.2.8)

𝑅𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 =

á = 1,3𝑒 (3.2.9)

Coordenada do centro do círculo de raio a (ISMAIL, 2009): 𝑥 = 𝑏𝑒 𝑦 = sen(𝛽) ∗ 𝑎 = ℎ  (3.2.10) 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = ∗ 100% (3.2.11) 𝑘 = 4𝜋𝑎𝑈 sen(𝛼 + 𝛽) (3.2.12) 𝐶 = 2𝜋(1 + 𝑒) sen(𝛼 + 𝛽) (3.2.13) 𝑙 = 𝜌𝑈𝑘 (3.2.14) 𝑙 = 𝜌𝑈 𝐶 (4𝑏) (3.2.15)

Para a Equação de (3.2.7) até a Equação de (3.2.15), e indica excentricidade, sendo o segmento de reta 𝑜𝑛 igual ao valor de b multiplicado por esta excentricidade e. O valor de e é relativo e deve ser um valor pequeno (em torno de e < 0,2, para manter-se classificado como um aerofólio fino); quanto maior for e mais rombudo e arqueado será o

perfil, e menor será a precisão do método (aumentando o valor de erro). Desta forma, tanto o valor de arqueamento quanto o da espessura devem ser pequenos (ISMAIL, 2009).

Um corpo rombudo é caracterizado por comprimentos equiparados nas três dimensões cartesianas: x, y e z. Em mecânica dos fluidos, são considerados corpos rombudos aqueles com formas esféricas. De uma forma geral, os corpos rombudos se diferem dos esbeltos ou finos, por serem menos aerodinâmicos. Já, quanto ao arqueamento, pode-se exemplificar com o caso das turbinas a gás cujas suas pás são muito arqueadas, tornando-as aerodinamicamente ineficientes, mas como são muitas (sendo um conjunto de várias pás por turbina), aumenta-se o valor de empuxo gerado e consequentemente a potência da máquina em questão (ISMAIL, 2009).

Algumas outras observações são importantes, sendo estas: quando o perfil é simétrico, e é diferente de zero e β é nulo; quando se tratar de um arco-circular, e é nulo e β é diferente de zero; quando o perfil é assimétrico, tanto β quanto e são diferentes de zero. Na segunda equação do conjunto de duas Equações (3.2.10), o seno de β é aproximadamente igual a β podendo-se simplificar a equação, quanto se trabalha com o valor de β em radianos e este for um pequeno ângulo (ISMAIL, 2009).

Quando se trabalha com o valor do ângulo em radianos e se tratar de um ângulo pequeno, pode-se utilizar a seguinte aproximação (ISMAIL, 2009):

sen(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) ≈ tg(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) ≈ â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 (3.2.16)

Nas Equações (3.2.14) e (3.2.15) 𝑙 é igual à força de sustentação por unidade de envergadura (também denominada por sustentação unitária, que é dada em Newton por metro, N/m). Deste modo, quando se multiplaca 𝑙 pelo valor de uma envergadura finita (em metros, m) chega-se ao valor de força de sustentação total (em Newton, N), para uma asa finita retangular (área de projeção da asa), o downwash ou qualquer outro valor de arrasto não são considerados. Os efeitos do arrasto serão analisados em tópicos apresentados posteriormente (ISMAIL, 2009).