Para finalizar este capítulo sobre a convergência do método simplex, vamos descre- ver o método das perturbações introduzido em (Charnes, 1952) o qual, embora seja equivalente ao método lexicográfico 4
, se apresenta (como usualmente) numa forma distinta. Com este método, supondo que a matriz básica inicial é a matriz identidade e que esta matriz ocupa as primeiras colunas do quadro simplex completo que lhe corresponde, sempre que exista mais que uma linha candidata a pivotal os termos in- dependentes são (perturbados) substituídos pelos polinómios em ǫ indicados no quadro a seguir (com ¯bi= (B−1b)i, para 1 ≤ i ≤ m), onde ǫ denota uma quantidade positiva,
suficientemente pequena, tal que ǫj< ǫise j > i. 2
Com efeito, q ∈ JBs+r é o índice que sai da base, k ∈ J1 ⊇ JBs é o índice que entra
para JBs+r+1e os restantes índices de JBs+r+1, que por hipótese pertencem a J1⊇ JBs, são
precisamente os índices que em JBs+rcomplementam q. 3
Deve observar-se que ∀s, Bs6= Bs+1. 4
5.3 Método das perturbações 87 x1 xk xn xB1 y11 . . . y1k . . . y1n ¯b1 .. . ... ... ... ... ... ... xBq yq1 . . . yqk . . . yqn ¯bq .. . ... ... ... ... ... ... xBm ym1 . . . ymk . . . ymn ¯bm z1− c1 . . . zk− ck . . . zn− cn ↓ x1 . . . xk . . . xn xB1 y11 . . . y1k . . . y1n ¯b1+ Pn j=1y1jǫ j .. . ... ... ... ... ... ... xBq yq1 . . . yqk . . . yqn ¯bq+Pnj=1yqjǫj .. . ... ... ... ... ... ... xBm ym1 . . . ymk . . . ymn ¯bm+Pnj=1ymjǫj z1− c1 . . . zk− ck . . . zn− cn
Com a perturbação introduzida, no pressuposto de que a coluna pivotal é a k-ésima, tem-se a garantia de que o
min
1≤i≤m{
¯bi+Pnj=1yijǫj
yik
: yik> 0}
é único, deixando, nestas condições, de haver indecisão quanto à escolha da linha pivo- tal. Com efeito, suponha-se que existem duas linhas, a p-ésima e a q-ésima, candidatas a pivotal, i.e., ¯bp+Pnj=1ypjǫj ypk =¯bq+ Pn j=1yqjǫj yqk , donde vem que
¯bp ypk − ¯bq yqk + n X j=1 (ypj ypk −yqj yqk )ǫj= 0.
Contudo, para que esta esta função polinomial em ǫ seja identicamente nula, é neces- sário que se verifiquem as igualdades ¯bp
ypk− ¯bq yqk = 0 e ypj ypk− yqj yqk = 0, para j = 1, . . . , n.
Tal, porém, é absurdo, dado que, sendo xjp e xjq as variáveis básicas associadas, res-
pectivamente, à p-ésima e à q-ésima linha, da leitura do quadro decorrem as igualdades: ypjp ypk −yqjp yqk = 1 ypk − 0 yqk ypjq ypk −yqjq yqk = 0 ypk − 1 yqk .
88 Estudo da Convergência do Método Simplex
Exemplo 5.4. Vamos aplicar o método das perturbações na resolução do exemplo de Beale.
Solução. Tendo em conta o Exemplo 5.1 e considerando as variáveis que definem a identidade posicionadas à esquerda (em sintonia com a regra lexicográfica), obtém- se o quadro simplex completo a seguir indicado, onde os termos independentes são modificados de acordo com o método das perturbações,
x5 x6 x7 x1 x2 x3 x4
x5 1 0 0 1/4 -8 -1 9 0 + ǫ + (1/4)ǫ4− 8ǫ5− ǫ6+ 9ǫ7
x6 0 1 0 1/2 -12 -1/2 3 0 + ǫ2+ (1/2)ǫ4− 12ǫ5− (1/2)ǫ6+ 3ǫ7
x7 0 0 1 0 0 1 0 1 + ǫ3+ ǫ6
0 0 0 3/4 -20 1/2 -6 0
e (a partir dele) os quadros:
x5 x6 x7 x1 x2 x3 x4 x5 1 -1/2 0 0 -2 -3/4 12 0 x1 0 2 0 1 -24 -1 6 0 x7 0 0 1 0 0 1 0 1 0 -3/2 0 0 -2 5/4 -21/2 0 x5 x6 x7 x1 x2 x3 x4 x5 1 -1/2 3/4 0 -2 0 15/2 3/4 x1 0 2 1 1 -24 0 6 1 x3 0 0 1 0 0 1 0 1 0 -3/2 -5/4 0 -2 0 -21/2 -5/4
Um dos problemas não totalmente resolvidos associado às situações de dege- nerescência, diz respeito ao que se designa por “stalling”, que significa a ocorrên- cia de um número exponencial de operações de pivotação em função da dimensão do problema (número de variáveis n e de restrições m) antes de se abandonar o vértice degenerado. Deve observar-se que o “staling” pode ocorrer mesmo com a aplicação da regra de Bland, conforme se prova em (Cunninghan, 1983).
Uma outra questão que ainda continua em aberto é a de saber se a regra lexicográfica munida do critério de Dantzig para a escolha da coluna pivotal, admite ou impede o “stalling” em programas lineares gerais, uma vez que, no caso de programas lineares com estrutura de rede (os quais serão abordados na disciplina de Optimização em Redes e Não Linear) ficou provado em (Orlin, 1985) que a regra lexicográfica munida do critério de Dantzig para a escolha da coluna pivotal, previne a ocorrência de “stalling”.
Relativamente à existência de programas lineares de pequena dimensão sus- ceptíveis de provocarem a entrada em ciclo quando resolvidos pelo métodos simplex, em (Marshall and Suurballe, 1969) provou-se que o P L(A, b, c) de me- nor dimensão tem m = 2 e n = 6 e apresenta um ciclo de comprimento 6.
5.4 Exercícios 89
5.4
Exercícios
Exercício 5.1. Considere o conjunto de vectores:
U ={[0, 0, 1, 2, 3, 1], [0, 2, 3, 1, 4, 2], [1, 1, 1, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 0, 0]}. 1. Determine o mínimo lexicográfico do conjunto U .
2. Indique o vector ou vectores de U lexicograficamente positivos.
3. Escreva os vectores de U segundo uma ordem lexicograficamente crescente. Exercício 5.2. Considerando que durante a aplicação do método simplex, com utilização da regra lexicográfica, à resolução de um dado programa linear de minimização na forma padrão, P L(A, b, c), se obtiveram os quadros simplex completos consecutivos: x xB Y B−1b cBB−1A− cT cBB−1b x xB′ Y′ B′−1b cB′B′−1A− cT cB′B′−1b
onde Y = B−1A e Y′= B′−1A, prove cada uma das afirmações: 1. Se [B−1b, Y ] >
LEX0, então [B′−1b, Y′] >LEX0 e [cB′B′−1A− cT] <LEX [cBB−1A− cT].
2. Se a condição descrita na alínea anterior se mantém, ao longo dos su- cessivos quadros simplex, então as matrizes básicas associadas são todas distintas.
Exercício 5.3. A partir do quadro simplex reduzido, a seguir apresentado, x1 x2 x3 x4
x5 0.5 -5.5 -2.5 9 0
x6 0.5 -1.5 -0.5 1 0
x7 1 0 0 0 1
10 -57 -9 -24
determine o quadro simplex óptimo (supondo que o problema é de minimização) 1. por aplicação da regra de Bland;
2. por aplicação da regra lexicográfica; 3. pele método das perturbações.
90 Estudo da Convergência do Método Simplex Exercício 5.4. A partir da resolução do Exercício 5.3-1, evidencie a proprie- dade de monotonicidade da regra de Bland enunciada no Teorema 5.4.
Exercício 5.5. Resolva o exemplo de Beale com a aplicação da regra lexicográ- fica.
Exercício 5.6. Se os sucessivos quadros simplex obtidos durante a resolução de um programa linear, produzem termos independentes distintos, prove ou refute (justificadamente) cada uma das seguintes conclusões:
1. então, nenhum dos quadros produz uma solução básica degenerada; 2. então, não existe a possibilidade do método simplex entrar em ciclo. Exercício 5.7. Dado um programa linear de minimização (maximização) na forma padrão P L(A, b, c), prove que se este problema é consistente e c ≥ 0 (c≤ 0), i.e., se o conjunto de soluções admissíveis é não vazio e os coeficientes do gradiente da função objectivo são todos não negativos (não positivos), então o problema não tem direcções extremas favoráveis à função objectivo.
Sugestão. Utilize uma técnica semelhante à adoptada na prova da propri- edade de monotonicidade da regra de Bland (Teorema 5.4), para demonstrar a impossibilidade de existência de uma coluna candidata a pivotal cujas compo- nentes sejam (todas) não positivas. Para tal, tenha em conta que qualquer que seja a base B, sendo yj= B−1aj,
cByj− cj> 0 (cByj− cj< 0) ⇒ cByj > 0 (cByj < 0).
Exercício 5.8. Prove que, com a aplicação do método das perturbações, não existe mais do que uma linha candidata a pivotal.
Exercício 5.9. Resolva o exemplo de Beale e o problema apresentado no Exer- cício 5.3 por aplicação do método das perturbações.
Exercício 5.10. Prove a equivalência entre a regra lexicográfica e o método das perturbações.
Capítulo 6
Algumas Variantes do
Método Simplex
Em certas situações, a elevada dimensão do problema a resolver ou mesmo a sua estrutura particular, justificam que se introduzam algumas alterações tendo em vista aumentar a eficiência da aplicação do método simplex. Essas alterações dão origem a diferentes versões, das quais vamos analisar as que se designam, respectivamente, por método simplex para variáveis limitadas e o método de decomposição de Dantzig-Wolfe . Mais adiante, após a introdução da dualidade em programação linear, ainda abordaremos os métodos dual simplex e primal- dual.