Método de Ajuste Vetorial (Vector Fitting Routine)

Conforme ilustrado nas figuras 3.5.1.1 e 3.5.1.2, a admitância do transformador de potência, quando visto dos seus terminais, apresenta um comportamento variante na frequência, com picos ressonantes. Esta admitância, por sua vez, pode ser sintetizada por uma rede de elementos RLC, passivos e concentrados. Esta síntese produz um modelo “caixa- preta” para o transformador, sendo obtido dos ensaios de resposta em frequência do equipamento.

O ensaio de resposta em frequência pode ser tabelado em um arquivo ASCII (American Standard Code for Information Interchange), sendo suas colunas as frequências, magnitudes e ângulo de fase da admitância, conforme apresentado na tabela 3.5.2.1.

Tabela 3.5.2.1 - Admitância terminal de ensaio de resposta em frequência - extrato de pontos – Arquivo ASCII em forma de colunas.

Frequência [Hz] Magnitude de Y [Siemens] Fase de Y [°] 10 0,0052 -87,61 . . . . . . . . . 1003 0,000023 102,29 . . . . . . . . . 100.526 0,002208 88,73 . . . . . . . . . 2.000.000 0,020401 40,87

Da tabela 3.5.2.1, nota-se que os valores dessa matriz n x 3, dependem da quantidade de medições (n) realizadas para um conjunto de frequências que, a título de exemplo pode variar de 10 Hz até 2 MHz.

Normalmente, esse conjunto de medidas é feito de modo a representar o intervalo desejado. No caso do ensaio de resposta em frequência do transformador a ser utilizado nesse trabalho, a matriz possui ordem 400 x 3, onde alguns dos seus elementos são apresentados na tabela 3.5.2. De posse desses dados, é possível sintetizar uma rede RLC, que represente com razoável fidelidade a função resposta em frequência obtida no ensaio realizado, ou seja, que possua a mesma resposta em frequência do transformador. Este circuito RLC pode ser implementado nos programas tipo EMTP, para simulações no domínio do tempo. Essa transferência do ensaio de resposta em frequência do transformador para a rede RLC, a ser implementada no programa ATP, é realizada de acordo com a teoria de aproximação racional (ajuste de curvas), e sua aplicação envolvendo altas frequências em transformadores foi proposta por Morched et al. em 1993 (MORCHED; MARTÍ, OTTEVANGERS, 1993), para uso no EMTP.

Essa teoria aproxima uma imitância (impedância ou admitância) por uma função polinomial de acordo com a equação 3.5.2.1:

Uma realização no espaço de estados é utilizada para se obter a função de transferência, resolvendo um sistema linear na forma da equação 3.5.2.2:

[ ] [ ][ ] O vetor constitui as entradas do sistema, o vetor constitui a saída e a matriz é a realização no espaço de estados, ou seja, a admitância que relaciona entrada e saída. No espaço de estados têm-se as expressões 3.5.2.3 e 3.5.2.4.

̇ Utilizando a transformada de Laplace no sistema acima, obtêm-se as equações 3.5.2.5 e 3.5.2.6.

̂ ̂ ̂ Isto implica nas equações algébricas apresentadas em 3.5.2.7 e 3.5.2.8.

̂ _̂ ̂ _{̂ ̂} Como as condições iniciais no transformador são nulas, a equação 3.5.2.8 pode ser transformada em 3.5.2.9.

̂ [ _{] ̂} Portanto, a realização para o espaço de estados com condições iniciais nulas se torna a admitância do sistema que se deseja modelar (CHEN, 1999) e é apresentada na equação 3.5.2.10.

̂ [ _] Essa realização foi proposta por Gustavsen e Semlyen (GUSTAVSEN; SEMLYEN, 1999), com um método denominado “Vector Fitting”. Um pouco depois, no ano de 2002, Gustavsen (GUSTAVSEN, 2002) programou um código computacional para esses ajustes da matriz admitância dependente da frequência, ao qual possui domínio público, e é usado nesse trabalho para obter uma rede RLGC de elementos passivos diretamente em formato de cartão para o ATP. Essa implementação computacional se torna a resolução da aproximação racional dada por (3.5.2.11).

∑

Sendo c os resíduos do ajuste que são dependentes do elemento i da matriz a ser ajustada, e a são os polos da função racional. é a ordem da função a ser ajustada, e é o número de elementos da matriz . A resolução em equações de estado toma a forma de 3.5.2.12.

Existe uma semelhança entre as equações 3.5.2.9 e 3.5.2.12. As dimensões das matrizes são:

Onde, é a dimensão da matriz a ser ajustada (após empilhamento utilizando a rotina do método Vector Fitting), e é a ordem de aproximação. O código computacional completo proposto consiste em cinco rotinas, acionadas conjuntamente para obtenção do ajuste. O usuário do código proposto deve utilizar como parâmetro de parada do ajuste o erro médio quadrático da aproximação (denominado rmserr no código). Valores na casa de 10-6 provêm um bom ajuste para o ensaio de resposta em frequência em questão.

O código então é resolvido em dois estágios: o primeiro deles é a identificação dos polos iniciais que segundo estudos realizados por Gustavsen (GUSTAVSEN, 2006), sugerem polos complexos conjugados, o segundo estágio seria a identificação dos resíduos que determina quando haverá parada no programa, normalmente determinado pelo número de iterações na resolução da aproximação e que é especificada pelo usuário.

Em 2004, Gustavsen (GUSTAVSEN, 2004) apresenta resultados de um ensaio em um transformador real, e os ajustes efetuados através da aplicação da rotina Vector Fitting. Finalmente, após utilização dessa rotina, obtém-se a rede RLGC passiva de acordo com as equações 3.5.2.13 a 3.5.2.18 (GUSTAVSEN, 2002): [ ] [ _]

As equações do tipo 3.5.2.14 são os polos reais na forma de ramos RL. As equações 3.5.2.16 a 3.5.2.18 representam os pares de polos complexos conjugados obtidos por ramos RLGC na forma da equação 3.5.2.19 (GUSTAVSEN, 2002).

A rede RLGC de elementos passivos é sintetizada em forma de rede elétrica de acordo com a figura 3.5.2.1.

Figura 3.5.2.1 - Rede elétrica de ramos RLGC. Fonte: Gustavsen (2002).

Nota-se que a rede da figura 3.5.2.1 se parece com as redes mostradas nas figuras 3.5.1 a 3.5.3. Isso torna esse método próximo da realidade física do transformador.

Existem outros métodos na literatura para obtenção de funções racionais aproximadas que são mostradas em (LIMA; FERNANDES; CARNEIRO JR., 2005), porém, o ajuste vetorial (Vector Fitting) se mostra o mais eficaz devido à sua rápida convergência e erros absolutos de baixo valor. O livro mais recente sobre modelagem (MARTINEZ- VELASCO, 2010), já traz o Vector Fitting como método consagrado para ajuste de curvas de resposta em frequência. Apesar disso, no cálculo dos elementos da rede RLGC, pode-se introduzir imprecisões em função do arrendondamento nos valores dos elementos R, L, G e C. Adicionalmente, as representações dos elementos no programa ATP possuem uma precisão finita, definida pelo formato do cartão. Aumentando-se a precisão (número de casas decimais da entrada do cartão ATP), os desvios da resposta em frequência da rede RLGC, em

relação à função originalmente ajustada, diminuem consideravelmente (LIMA; GUSTAVSEN; FERNANDES, 2007).

Na próxima seção, a representação da descarga atmosférica em computador digital é apresentada. Essa forma de representação é de fundamental importância para estudos de transitórios de frente rápida.