MÉTODO DE CONFIABILIDADE DE PRIMEIRA ORDEM (FORM)

O método FORM (First Order Reliability Method) fornece uma estimativa da probabilidade de falha da estrutura através da linearização da função de estado limite no ponto de projeto no espaço normal padrão. A linearização se faz através de um hiper-plano tangente à superfície de falha no ponto de projeto. O método de primeira ordem não fornece estimativas para o erro cometido com a linearização da equação de estado limite. No entanto, esse erro pode ser avaliado com base na Figura 6.6.

Na Figura 6.6 destaca-se que a precisão da aproximação de primeira ordem depende do grau de não linearidade da equação de estado limite no ponto de projeto. A área hachurada nessa figura entre a superfície de falha e a superfície de falha aproximada corresponde ao conteúdo de probabilidade negligenciado e, portanto, corresponde ao erro da aproximação. Ao se interpretar esta figura, deve-se lembrar de que o maior conteúdo de probabilidades no domínio de falha está nas proximidades do ponto de projeto. Ressalta-se ainda que a

aproximação de primeira ordem é assintótica, isto é, ela melhora a medida que β aumenta (DU, 2005; BECK, 2012).

Figura 6.6 - Representação gráfica do método FORM Fonte: Du, 2005 - adaptado.

O método FORM parte da construção de uma função conjunta de distribuição de probabilidades fX (x), utilizando as distribuições de probabilidades marginais (distribuições de probabilidades de cada uma das variáveis aleatórias do problema) e uma matriz de correlação formada pelos coeficientes de correlação entre pares de variáveis (GOMES, 2010). Nessa construção, as distribuições marginais originais são transformadas em distribuições normais equivalentes (conjunto de variáveis aleatórias correlacionadas), são determinados os coeficientes de correlação equivalentes para as distribuições marginais normais e em seguida a correlação é eliminada, ou seja, incorporada às distribuições marginais. Dessa forma, a função fX (x) é transformada em uma distribuição normal padrão multivariada fY (y).

Este processo envolve a transformação do vetor de variáveis aleatórias X, com média e desvios-padrão qualquer, em um conjunto Y de variáveis aleatórias normais com média nula e desvio-padrão unitário. Essa operação é feita por meio da chamada transformação de Hassofer e Lind, conforme Equação 6.25.

𝑌_𝑖 = 𝑋𝑖− 𝜇𝑋𝑖

Aplicando-se a transformação às variáveis aleatórias R e S do problema de confiabilidade fundamental, obtém-se as variáveis transformadas Y1 e Y2. A margem de segurança pode ser reescrita por meio da Equação 6.26.

𝑚(𝑦₁, 𝑦₂) = 𝑅 − 𝑆 = 𝑦₁𝜎_𝑅+ 𝜇_𝑅 − 𝑦₂𝜎_𝑆− 𝜇_𝑆 (6.26)

Para m(y1, y2) = 0 obtém-se y2 em função de y1:

𝑦₂ = 𝑦1𝜎𝑅+ 𝜇𝑅 − 𝜇𝑆

𝜎_𝑆 (6.27)

O quadrado da distância entre um ponto qualquer (y1, y2) e a origem é dado por dist² = y1² + y2². Derivando essa equação em relação a y1 e igualando a zero (condição de mínimo), obtém-se a coordenada 𝑦₁∗ do ponto sobre a equação m(y1 , y2) = 0 mais próximo da origem, conforme apresentado na Equação 6.28.

𝑦₁∗ = −𝜎𝑅(𝜇𝑅− 𝜇𝑆) 𝜎_𝑅2_{+ 𝜎}

𝑆2

(6.28)

Derivando o quadrado da distância em relação a y2 e igualando a zero, obtém-se a respectiva coordenada 𝑦₂∗

𝑦₂∗ = −𝜎𝑆(𝜇𝑅− 𝜇𝑆) 𝜎_𝑅∗_{+ 𝜎}

𝑆∗

(6.29)

Substituindo o chamado ponto de projeto (𝑦₁∗, 𝑦₂∗) na expressão dist² = y1² + y2², encontra-se a expressão para a mínima distância entre a equação m(y1 , y2) = 0 e a origem.

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑚𝑖𝑛 =

𝜇_𝑅 − 𝜇_𝑆 𝜎_𝑅∗+ 𝜎_𝑆∗

(6.30)

Observa-se que o índice de confiabilidade β é igual a distmin, ou seja, corresponde à mínima distância entre a equação de estado limite e a origem do espaço normal padrão. A

solução do problema de confiabilidade via FORM envolve a solução de um problema de otimização para busca do ponto de projeto. A seguir é descrito superficialmente um método que foi desenvolvido especificamente para solução do problema de otimização em confiabilidade estrutural, denominado HLRF (Hassofer, Lind, Rackwitz e Fiessler).

6.8.1 Algoritmo para o cálculo do índice de confiabilidade

Na maioria dos métodos utilizados para análise da confiabilidade, é necessário um algoritmo de otimização para encontrar o ponto de projeto (y*). Nesses métodos, a otimização é utilizada para encontrar a mínima distância entre um ponto sobre a superfície de falha e o centro do sistema de coordenadas no espaço normal padrão não correlacionado.

O algoritmo conhecido como algoritmo de Hassofer, Lind, Rackwitz e Fiessler, ou HLRF, foi desenvolvido especificamente para a solução do problema de otimização em confiabilidade estrutural Esse algoritmo está baseado na aproximação de um ponto, y, a superfície de falha, G(y) = 0, e na perpendicularização entre o vetor posição, y, e a superfície de falha, G(y) = 0 (HASOFER e LIND, 1974 apud BECK, 2012).

Esse algoritmo pode ser descrito nos seguintes passos:

1. Escolha do ponto inicial, geralmente, a origem do espaço normal padrão {yi0} = 0.

2. Cálculo da função de estado limite no ponto {yik} = 0, Gk = G(y1k, y2k, ..., ynk). 3. Cálculo do vetor gradiente da função de estado limite, {∇𝐺_𝑖𝑘}, e de sua respectiva norma, ∥ ∇𝐺 ∥𝑘_.

4. Cálculo do vetor de cossenos diretores, {αik_{} e do índice de confiabilidade β}k_{, por} meio das seguintes relações:

 

 

   



6. Os passos 2 a 5 devem ser repetidos até a convergência, ou seja, até que a diferença do índice de confiabilidade entre duas iterações consecutivas seja menor que determinada tolerância.

6.9 CONFIABILIDADE DE SISTEMAS

A análise de confiabilidade de um sistema estrutural aborda a definição dos vários estados limites possíveis assim como o cálculo da probabilidade de se atingir um desses estados limites, usualmente definidos como falha (NEVES, 2004).

Um sistema estrutural pode ser classificado em série ou em paralelo (BECK, 2012). Em série, quando a falha de um componente caracteriza a falha da estrutura. Por isso, sistemas em série são conhecidos como sistemas de correntes (Figura 6.7), para os quais a falha acontece no elo mais fraco (weakest link system).

Figura 6.7 - Sistema em série Fonte: Arquivo pessoal.

A probabilidade de falha deste sistema é, então, definida pelo evento união das probabilidades de falha individuais de todos os componentes, Ei, conforme Equação 6.33.

𝑃𝑓 = 𝑃(𝐸1∪ 𝐸2∪ 𝐸3∪ 𝐸4∪ 𝐸5) (6.33)

No sistema em paralelo (Figura 6.8), apenas a falha de todos os componentes em paralelo caracteriza a falha da estrutura. Segundo Neves (2004), em estruturas estaticamente indeterminadas, com muitas seções possíveis de falha, não há o colapso total até que várias dessas seções se encontrem em uma situação limite.

Figura 6.8 - Sistema em paralelo Fonte: Arquivo pessoal.

A probabilidade de falha do sistema em paralelo é definida pela intersecção entre os eventos de falha individuais dos componentes. Assim:

𝑃_𝑓 = 𝑃(𝐸₁∩ 𝐸₂∩ 𝐸₃∩ … ∩ 𝐸_𝑛) (634)

De acordo com Nogueira (2010), sistemas em paralelo são também chamados de redundantes do tipo ativa ou passiva. Na redundância ativa todos os elementos contribuem simultaneamente para o desempenho da estrutura, mesmo em pequenas intensidades de carregamento; na redundância passiva, um determinado elemento só passa a contribuir depois que outro falhe, ficando dessa forma em caráter de espera até que sua presença seja necessária para o funcionamento da estrutura.

A probabilidade de falha de cada função de estado limite pode ser calculada usando o método FORM, sendo depois avaliada a probabilidade do sistema falhar como um todo, considerando a contribuição de todos os modos como demonstrado na Figura 6.9.

Neste trabalho, a probabilidade de falha foi avaliada para cada equação de estado limite considerada, assimo como para equações associadas em um sistema em série.

Figura 6.9 - Definição de sistemas em série e paralelo na análise de confiabilidade de estruturas pelo método FORM

7 RESULTADOS DE CONFIABILIDADE ESTRUTURAL

Neste capítulo são apresentados e discutidos os resultados obtidos nas análises estatísticas da variável erro de modelo e de confiabilidade. As análises foram feitas para cada código de projeto e para o modelo teórico de previsão da carga de ruptura de lajes lisas de concreto armado considerados nesta pesquisa.

7.1 ANÁLISE DE ERRO DE MODELO

Como visto no Capítulo 6, a variável aleatória erro de modelo (Em) relaciona a carga de ruptura experimental da laje (Vexp) com o valor dessa carga estimado por códigos normativos ou modelos teóricos (Vteo), ou seja, Em = Vexp/Vteo. Neste trabalho, o valor de Vteo foi calculado para 249 lajes lisas por meio dos códigos de projeto EUROCODE 2 (2004),ACI 318 (2014) e ABNT NBR 6118 (2014). Para a norma CEB-FIP/MC (2010), a estimativa dessa variável foi feita para 237 lajes (apenas lajes quadradas contidas na Base de Dados).

No modelo de Marques (2018), o valor de Em foi avaliado de duas formas distintas: a primeira, com o valor de r1 (seção crítica de ruptura externa) determinado computacionalmente e a segunda, com r1 = 1,35d, conforme previsto originalmente no método de Gomes (1991). Para o primeiro caso, pelas restrições do método, o valor de Vteo foi determinado para 171 lajes lisas, sendo elas quadradas e com pilares também quadradros. No segundo caso, avaliou-se a relação Vexp/Vteo das lajes desta pesquisa e das lajes ensaiadas por Gomes (1991), totalizando 21 lajes. Em ambos os casos, as estimativas das cargas de ruptura das lajes foram obtidas por meio do programa PunCalc, deselvolvido neste trabalho.

Para a determinação de Vteo, foram adotados os valores médios de resistência dos materiais e sem a consideração dos coeficientes parciais de segurança. O Apêndice E contém os valores estimados para cada modelo de cálculo.

Os resultados das análises estatísticas foram obtidos por meio programa R 2017 (R Core Team), que trata-se de um software livre para análise de dados.

7.1.1 Análise estatística da variável erro de modelo

Os resultados apresentados nas Figuras 7.1 a 7.4 avaliam os desempenhos dos códigos e do modelo teórico em prescrever a resistência última à punção das lajes lisas de