Método de decomposição no domínio da frequência

O método de decomposição no domínio da frequência (FDD), apresentado e utilizado pela primeira vez no contexto de identificação modal estocástica em 1982 [61, 78], é tido como uma extensão do método BFD, uma vez que o seu funcionamento se sustenta nas funções de densidade espectral da resposta do sistema estrutural. A designação FDD só veio a ser utilizada a partir do ano 2001, quando os fundamentos do método são apresentados de forma mais clara e sistematizada [11].

O método FDD resolve as duas maiores limitações do método BFD, nomeadamente a incapacidade de identificar modos com frequências próximas e boas estimativas dos coeficientes de amortecimento modais.

2.4. IDENTIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 25 Na versão base deste método, apenas é possível identificar as frequência naturais e avaliar as configurações modais do sistema estrutural. No entanto, foi desenvolvida uma versão melhorada [9], com a qual é possível estimar os coeficientes de amortecimento modal.

No método FDD é introduzida uma operação de diagonalização da matriz de função de densidade espectral de resposta, com o objectivo de decompô-la nas combinações modais que, em cada frequência, influenciam de forma significativa a resposta estrutural. Essa operação de diagonalização consiste na aplicação de algoritmos de decomposição em valores próprios ou em valores singulares.

Versão base do método FDD

Ao aplicar-se o algoritmo de decomposição em valores singulares à matriz de funções de densidade espectral no método FDD, está-se a decompor as funções de densidade espectral de um conjunto de sistemas de 1GDL, cada um correspondente a um modo de vibração do sistema.

Importa referir que, para se obter bons resultados com a implementação do método FDD, é importante que os requisitos que se seguem estejam obedecidos:

• a excitação é um ruído branco;

• o amortecimento da estrutura é baixo;

• os modos de vibração com frequências próximas são ortogonais.

Tal como já foi referido, o método FDD sustenta-se na já mencionada matriz de função de densidade espectral de potência da resposta estrutural, que uma vez estimada em qualquer frequência discreta, é então decomposta aplicando o algoritmo (SVD - Singular Value Decomposition).

Se os picos de ressonância identificados estiverem bem separados, então o primeiro valor singular contém, na vizinhança destes picos, os seguimentos relevantes o osciladores de 1GDL, com o qual se avalia a resposta da estrutura, sendo todos os outros valores singulares pouco representativos no comportamento do sistema estrutural.

No caso de modos com frequências bastante próximas, a matriz SVD da função de densidade espectral apresenta, na vizinhança dessas frequências, tantos valores singulares com valores significativos, quanto os modos correspondentes, permitindo desta forma a sua identificação de forma imediata.

Versão melhorada do método FDD

A versão melhorada do método FDD é designada como EFDD - Enhanced

Frequency Domain Decomposition, designação esta que é adoptada no programa ARTeMIS Extractor [86]. No ano 2000 foram feitas as primeiras referências deste

26 CAPÍTULO 2. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS

método [12], mas só uns anos mais tarde é que o método foi apresentado de uma forma mais clara e sistematizada [9].

Geralmente, este método é dividido em duas partes, em que a primeira corresponde ao método FDD [78]:

i) a avaliação das funções de densidade espectral da resposta;

ii) decomposição em valores singulares da matriz de funções de densidade espectral;

iii) análise dos espectros de valores singulares para selecção dos picos de ressonância correspondentes aos modos de vibração;

iv) avaliação das configurações modais segundo os graus de liberdade observados, através dos vectores singulares.

Uma vez terminada a primeira fase do método EFDD, segue-se-lhe uma segunda fase que contempla [61]:

i) a introdução de um procedimento (utilizando o coeficiente MAC), que permite estimar as funções de densidade espectral associadas a cada modo de vibração, a partir dos espectros de valores singulares;

ii) o ajuste da configuração modal do oscilador, através de uma média ponderada, que contabiliza o contributo de cada vector singular, afectado do correspondente valor singular;

iii) a transformação, para o domínio do tempo, das funções de densidade espectral associadas a cada modo de vibração, aplicando-lhes a inversa da transformada discreta de Fourier, obtendo-se as funções de auto-correlação da resposta dos vários osciladores de 1 grau de liberdade;

iv) a avaliação do coeficiente de amortecimento através do decremento logarítmico das funções de auto-correlação;

v) o ajuste da estimativa da frequência do oscilador, através dos instantes de passagem por zero das funções de auto-correlação;

A estimativa das funções de densidade espectral para cada um dos modos de vibração é feita computacionalmente através do coeficiente MAC (modal

assurance criterion), o qual mede a correlação entre duas configurações modais

analíticas e/ou experimentais [1]: M AC =  ΦT_{i · Φ}j   2 ΦT i Φi
·  ΦT j Φj  (2.16)

onde Φi e Φj são dois vectores coluna que contêm as configurações modais a

2.4. IDENTIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 27 O coeficiente MAC ∈ [0, 1], em que valores próximos da unidade mostram que existe uma boa correlação entre os vectores; por contraposição, valores próximos de zero denunciam que a correlação é muito baixa.

A estimativa ajustada das frequências e coeficientes de amortecimento é conseguida a partir das funções de auto-correlação que, por sua vez, são obtidas com base na transformação das funções de densidade espectral dos sistemas de um grau de liberdade para o domínio do tempo, através do algoritmo da inversa da transformada discreta de Fourier (IFFT - Inverse fast Fourier transform).