O método do comprimento de arco baseia-se na adição de mais uma incógnita e equação aos sistemas adotados pelo método de NR e NRM. Através dessa incógnita, chamada de fator de carga (Λ), a carga e os deslocamentos são incrementados ao mesmo tempo.
De acordo com Riks (1979), criador do “método de Riks”, uma importante vantagem dessa estratégia é que o conjunto de equações se torna singular apenas nos pontos de bifurcação, o que faz com que seu domínio seja muito maior que os modelos convencionais de NR.
Segundo Lacerda (2014), apesar de métodos alternativos também terem sido desenvolvidos, métodos de comprimento de arco se tornaram os preferidos para determinação de trajetórias de equilíbrio.
Neste trabalho é utilizado a restrição de hiperplano fixo, conforme proposto inicialmente por Riks (1972), por ser uma estratégia simples. É considerado um fator de escala de carga nulo, conforme indicado por Lacerda (2014), e como método de convergência é utilizado NRM.
O sistema que governa o método de Riks para a situação descrita é expresso pela Equação 116.
{ 𝒇𝒊− Λ𝒇𝒇 = 𝟎
(𝚫𝒖[1])𝑇𝛿𝒖 = 𝟎 Equação 116
Onde Λ𝒇𝒇 é o produto do fator de carga (Λ) por uma carga fixa aplicada a estrutura (𝒇𝒇), 𝚫𝒖[1] é o incremento dos deslocamentos calculado antes do processo iterativo, e 𝛿𝒖 é o sistema dado pela Equação 117, que se trata do incremento dos deslocamentos para uma iteração.
{
𝛿𝒖[𝑖] = 𝛿𝒖𝑹[𝑖]+ 𝛿Λ[𝑖]𝛿𝒖𝑭[𝑖]
𝛿𝒖𝑹[𝑖] = − (𝑲𝒕[𝒊])−1𝒓𝒆𝒔[𝒊]
𝛿𝒖𝑭[𝑖] = (𝑲𝒕[𝒊])−1𝒇𝒇
Equação 117
Onde 𝛿𝒖𝑹[𝑖] corresponde aos deslocamentos provocados pelo resíduo (𝒓𝒆𝒔) do método de NR, enquanto 𝛿𝒖𝑭[𝑖] é utilizado para ajustar os deslocamentos para satisfação das restrições do comprimento de arco.
Da combinação da Equação 116 e Equação 117 encontra-se a Equação 118.
𝛿Λ[𝑖]= −(𝚫𝒖[1])𝑇 𝛿𝒖𝑹[𝑖]
(𝚫𝒖[1])𝑇 𝛿𝒖𝑭[𝑖] Equação 118 O incremento de deslocamento em uma iteração é dado pela Equação 119.
𝚫𝐮[i] = 𝚫𝐮[i−1]+ 𝛿𝒖[𝑖] Equação 119 Da mesma forma, o incremento de carga correspondente a uma iteração pode ser escrito como ΔΛ𝒇𝒇, tal que o escalar seja dado pela Equação 120.
ΔΛ[i] = ΔΛ[i−1]+ 𝛿Λ[𝑖] Equação 120
A força interna (Equação 121) e o resíduo (Equação 122) são obtidos de forma similar ao método de NRM.
𝒇𝒊[𝑖] = 𝒇𝒊(𝒖{𝑛−1}+ 𝚫𝒖[𝑖]) Equação 121
𝒓𝒆𝒔[𝑖] = 𝒇𝒊[𝑖]− (Λ{𝑛}+ ΔΛ[i])𝒇𝒇 Equação 122 Obtendo-se a convergência em uma iteração, o próximo incremento de carga é dado pelo sistema da Equação 123.
{𝒖{𝑛+1}= 𝒖{𝑛} + 𝚫𝐮
Λ{𝑛+1} = Λ{𝑛}+ ΔΛ Equação 123
A Figura 23 traz um incremento do método de Riks-Wempner (comprimento de arco hiperplano fixo) para um grau de liberdade não linear, onde o termo Δ𝐿 é chamado de comprimento de arco.
Figura 23 - Comprimento de arco hiperplano fixo para um grau de liberdade utilizando NR.
Fonte: adaptado de Crisfield (1991) e Lacerda (2014).
O comprimento de arco para um incremento 𝑛 pode ser dado pela Equação 124, onde 𝑁𝑑 é o número de iterações desejáveis (usualmente entre 3 e 5), 𝑁𝑛−1 é o número de iterações do incremento 𝑛 − 1, e ζ é um parâmetro de correção à ser escolhido para minimização do segundo fator do produto, podendo ser adotado como ζ = 0,5 (LACERDA, 2014).
Deve ser definido o valor inicial de Δ𝐿 dependendo da estrutura analisada, sendo que, Miyazaki, Souza e Martins (2020) utilizam valores iniciais de comprimento de arco variando entre 0,01 e 110, enquanto Souza (2017) utiliza valores menores que 0,5.
Segundo Crisfield (1991) também é interessante estabelecer um comprimento de arco máximo e mínimo, de forma que a solução sempre ocorra. Também pode-se
Δ𝐿{𝑛} = Δ𝐿{𝑛−1}( 𝑁𝑑 𝑁𝑛−1)
𝜁
Equação 124
adotar um comprimento de arco constante, tal que não seja maior que os valores de variação de deslocamento e carregamentos máximos desejados.
5.3.1 Preditor
Para calcular o primeiro incremento dos deslocamentos (𝚫𝒖[1]), expresso pela Equação 125, é utilizada a solução preditora, que é a primeira estimativa de deslocamentos de um incremento, dada pela direção da reta tangente ao caminho de equilíbrio, tal que satisfaça a Equação 126.
Seu cálculo é necessário para garantir que o algoritmo acompanhe a direção do caminho de equilíbrio, prevenindo o retorno para a direção contrária, ainda tangenciando a trajetória.
𝚫𝐮[1] = ΔΛ[1]𝜹𝒖𝑭 Equação 125
{
ΔΛ[1] = Δ𝐿
‖𝜹𝒖𝑭‖ 𝑠𝑒 (𝚫𝐮{𝒏−𝟏})𝑇𝜹𝒖𝑭 > 0 ΔΛ[1] = − Δ𝐿
‖𝜹𝒖𝑭‖ 𝑠𝑒 (𝚫𝐮{𝒏−𝟏})𝑇𝜹𝒖𝑭 < 0
Equação 126
5.3.2 Grau de Não-linearidade
O Parâmetro de Rigidez Atual (Current Stiffness Parameter – CST), dado em sua forma não normalizada pela Equação 127 e Equação 128, é uma ferramenta eficiente para fornecer o grau de linearidade e indicar pontos limites de um sistema não linear de equações (MENIN, 2006).
Segundo Bergan (1980), conforme o carregamento ocorre, cada componente de deslocamento tem sua evolução, e dado que esse histórico pode variar consideravelmente de um grau de liberdade para outro, o CST é uma forma de caracterizar a não linearidade do sistema como um todo.
𝑪𝑺𝑻 =𝒔{𝑛}
𝒔{1} Equação 127
𝒔{𝑛} = 𝒇𝒇𝑇 (𝜹𝒖𝑭){𝑛}
(𝜹𝒖𝑭𝑇){𝑛} (𝜹𝒖𝑭){𝑛} Equação 128 Segundo Menin (2006), o CST tende a zero em pontos limites de carga e deslocamento, todavia, o mesmo não ocorre em bifurcações, para quais o parâmetro não apresenta valor característico.
5.3.3 Algoritmo para o Comprimento de Arco de Riks-Wempner
O Algoritmo 5 apresenta o algoritmo do comprimento de Arco de Riks-Wempner, de maneira similar aos apresentados para o método de NR e NRM.
O critério de convergência é dado pela Equação 129.
‖𝒓𝒆𝒔‖
‖Λ𝒇𝒇‖< 𝑡𝑜𝑙 Equação 129
A tolerância é um valor que deve ser definido pelo analista. Miyazaki, Souza e Martins (2020) utilizam valores de tolerância menores que 10−8, já Souza (2017) utiliza valores menores que 10−5.
Os valores para 𝑖𝑚𝑎𝑥 e 𝑛𝑚𝑎𝑥 podem ser escolhidos e ajustados a vontade do projetista, para obter o balanço desejado entre o custo computacional, velocidade de análise e precisão dos resultados.
Existem outros métodos de comprimento de arco que modificam a ordem de convergência ou até mesmo superam pontos de dificuldade do algoritmo de Riks-Wempner, podendo ser citado o Método de Crisfield (comprimento de arco hiperesférico) e Método de Ramm (comprimento de arco hiperplano atualizado) (CRISFIELD, 1991).
Algoritmo 5 - Algoritmo para o comprimento de Arco de Riks-Wempner
5.3.4 Problemas de Convergência do Método de Riks-Wempner
Segundo Watson e Holzer (1983), uma das vantagens do comprimento de arco de Riks-Wempner, é traçar toda a trajetória de equilíbrio sem perda de eficiência.
Todavia, os autores ressalvam que a convergência é garantida somente se o primeiro passo de um incremento junto a tangente não seja grande demais. Logo, podendo haver mudanças abruptas no comportamento da trajetória, não é garantido a convergência para um comprimento de arco qualquer.
Watson e Holzer (1983), também mostram pelo exemplo do domo de Lamella que bifurcações são causas de instabilidade na convergência quando há menos exatidão na posição nodal. De acordo com Crisfield (1991), bifurcações causam mudanças de sinais nos pivôs da matriz de rigidez triangularizada, e localizá-las pode ser importante para interceptação do caminho pós instabilidades.
Ainda segundo Crisfield (1991), os algoritmos de comprimento de arco podem oscilar em torno de bifurcações e divergir, sendo que após esses pontos, sempre é preferível a tomada do caminho mais estável.
Neste trabalho, é adotada uma estratégia para escolha de caminhos de equilíbrio após bifurcações e correções de divergências baseada no mínimo comprimento de arco desejado e mudança no vetor de forças internas (𝒇𝒊).
Quando um incremento do método de Riks-Wempner atinge o número máximo de iterações e não converge, é voltado início do último incremento em que houve convergência, utilizando o comprimento de arco mínimo desejado pelo usuário (buscando evitar tangentes muito longas), e o vetor de forças 𝒇𝒊 é então calculado pela Equação 130 e Equação 131, como utilizado por (SILVA, 2016) em seu processo iterativo de NR (buscando evitar problemas de bifurcações e tolerância).
𝒇𝒊{𝑛}[0] = 𝒇𝒊{𝑛−1}+ 𝑲𝒕(𝒖){𝐧}𝚫𝒖{𝒏}[𝟎]
Antes do processo iterativo Equação 130 𝒇𝒊[𝑖]= 𝒇𝒊[𝑖−1]+ 𝑲𝒕(𝒖){𝒏}𝜹𝒖[𝒊]
Durante o processo iterativo Equação 131 Esse processo faz com que a trajetória de equilíbrio tenha um comportamento muito próximo do linear para o incremento que não houve convergência, facilitando a resolução das equações de equilíbrio e, devido ao baixo valor de comprimento de arco adotado, não se afastando da trajetória real.
6 METODOLOGIA
A primeira etapa do trabalho é o estudo do estado da arte da análise não linear de treliças pelo MEF, sendo desenvolvidas as equações de rigidez e força dos elementos para diferentes medidas de deformação, sua junção nas matrizes e vetores da estrutura, com aplicação das condições de contorno, assim como apresentado as equações constituintes dos materiais que podem ser utilizados e métodos para a resolução das equações de equilíbrio.
A etapa seguinte é a criação de um algoritmo concomitantemente com o desenvolvimento de um código na linguagem de programação MATLAB, que tem por objetivo final a caracterização dos deslocamentos nodais de uma estrutura de treliça qualquer que poderá ser definida pelo usuário, e que obedeça às condições previamente necessárias para análise.
Finalmente, resultados obtidos pelo código desenvolvido são comparados com resultados de análises semelhantes já desenvolvidas por outros autores, através de valores de deslocamentos nodais.