Método dos Elementos Finitos Generalizado

O MEFG é baseado no MPU, originalmente apresentado por Melenk e Babuska (1996a, 1996b) e Babuska e Melenk (1997). Melenk e Babuska (1996a, 1996b) e Babuska e Melenk (1997) apresentaram uma forma de se gerar espaços de aproximação a partir de funções de base quaisquer, através de um procedimento de multiplicação das funções de base por uma Partição da Unidade (PU). O conceito de partição da unidade já era conhecido há bastante tempo (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 2000), mas Melenk e Babuska

(1996a) mostraram que o espaço obtido do MPU era capaz de herdar as propriedades de aproximação do espaço original e as propriedades de conformidade e regularidade da partição da unidade. Posteriormente, Strouboulis et al. (2001) e Babuska et al. (2004) apresentaram o MEFG, que pode ser visto como uma extensão do MPU assumindo que o espaço de aproximação é dado da união do espaço de aproximação do MPU com o espaço de aproximação tradicional do MEF.

Segundo Babuska et al. (2003), diversos métodos são estritamente relacionados ao MEFG, por serem baseados no MPU. Estes métodos são: o Método das Nuvens hp (MN) (DUARTE; ODEN, 1996; ODEN et al., 1998; LISZKA et al., 1996), o Método da Esferas

Finitas (ME) (DE; BATHE, 2001) e o Método dos Elementos Finitos Estendido (MEFE) (DAUX et al., 2000;ABDELAZIZ; HAMOUINE, 2008).

Estes métodos podem ser uma boa alternativa para problemas onde algum comportamento da solução é conhecido a priori ou no caso de problemas regidos por equações diferenciais com coeficientes não suaves (MELENK; BABUSKA, 1996a;BABUSKA et al., 2004; STROUBOULIS et al., 2001). Dois problemas onde o MEFG se mostrou

particularmente eficiente foram o problema da análise de trincas (DUARTE et al., 2001; DUARTE; KIM, 2008; DAUX et al., 2000) e o problema da equação de Helmholtz

(STROUBOULIS et al., 2006). Algumas outras aplicações do MEFG e do MPU são a modelagem de domínios que apresentem furos (STROUBOULIS et al., 2000b), análise não linear de estruturas (BARROS, 2002), estruturas em casca de revolução (MANGINI, 2006), a análise dinâmica (DE BEL et al., 2005; HAZARD; BOUILLARD, 2007; ARNDT, 2009;

ARNDT et al., 2010) e a modelagem de materiais (BELYTSCHKO et al., 2009).

A aplicação do MEFG, do MPU e do MEFE para problemas da análise dinâmica foi apresentada por Arndt (2009), Arndt et al. (2010), Torii e Machado (2012), Hazard e Bouillard (2007), Elguedj et al. (2009), Gravouil et al. (2009), Rozycki et al. (2008) e De Bel et al. (2005).

Arndt (2009) e Arndt et al. (2010) aplicaram o método para a análise modal de estruturas de barras e vigas de Euler-Bernoulli e concluíram que o método é capaz de obter resultados melhores que o MEF e o MC na maioria dos casos. Além disso, Arndt

(2009) e Arndt et al. (2010) propuseram um esquema iterativo que possibilita a avaliação de modos de vibração específicos da estrutura com grande precisão. Por fim, Arndt (2009) realizou um extensivo estudo das taxas de convergência para a aproximação das frequências naturais de vibração, demonstrando que o MEFG possui convergência mais acelerado do que o MEF polinomial de ordem equivalente para as frequências de vibração mais elevadas.

Torii e Machado (2012) aplicaram a formulação proposta por Arndt (2009) e Arndt et al. (2010) para a análise para resposta no tempo de barras e treliças. Os resultados indicam que o MEFG é capaz de obter resultados mais precisos do que o MEF polinomial nos casos onde a participação dos modos com frequências de vibração elevadas sejam importantes para a análise.

O agrupamento da matriz de massa no contexto do MEFE foi discutido em detalhes por Elguedj et al. (2009). No trabalho de Elguedj et al. (2009) foi proposta uma abordagem de agrupamento de massa que permite que passos maiores de tempo sejam utilizados, reduzindo assim o esforço computacional necessário. Esta abordagem foi então utilizada por Gravouil et al. (2009) para propor esquemas explícitos de análise dinâmica cuja estabilidade é dependente de condições clássicas válidas para o MEF padrão. A abordagem resultante proposta por Elguedj et al. (2009) e Gravouil et al. (2009) permite a redução do número de passos de tempo utilizados mantendo um alto grau de precisão, como demonstrado em exemplos relativos à propagação de trincas.

De Bel et al. (2005) apresentaram a aplicação do MPU ao problema da análise dinâmica de placas finas. Neste caso, as funções de base são tomadas como funções trigonométricas que visam reproduzir os modos de vibração de cada elemento. De Bel et al. (2005) propuseram então um algoritmo para melhorar as funções de base iterativamente. Porém, este algoritmo necessita de procedimentos especiais para avaliar os dados necessários, como a utilização de Transformadas Rápidas de Fourier (MEIROVITCH, 1975), o que pode dificultar a sua aplicação a uma gama maior de

problemas. Além disso, De Bel et al. (2005) não abordam o problema do ponto de vista da análise para resposta no tempo. Por fim, De Bel et al. (2005) fazem uso de um método de penalização (CAREY; ODEN, 1983; LIU, 2003) para aplicar as condições de contorno do problema, uma vez que as funções obtidas do MPU interferem nos graus de liberdade nodais.

Hazard e Bouillard (2007) propuseram uma aplicação do MPU ao problema da vibração de placas espessas do tipo sanduíche com camadas viscoelásticas, tomando polinômios como funções de base. Os resultados mostraram-se mais precisos que os obtidos com pacotes de análises comerciais que utilizam uma formulação clássica do problema. Deve-se salientar que a formulação de Hazard e Bouillard (2007) utiliza

funções de base polinomiais com o intuito de enriquecer o espaço de aproximação, mas sem considerar que as funções de base devam representar os modos de vibração locais dos elementos. Além disso, as funções de enriquecimento interferem nos graus de liberdade nodais, o que requer a aplicação de um método de penalização para a aplicação das condições de contorno (HAZARD; BOUILLARD, 2007). Por fim, Hazard e Bouillard (2007) apresentaram exemplos onde diversas características dinâmicas são obtidas, como os modos de vibração, mas não abordaram a análise dinâmica para resposta no tempo.

Uma aplicação do MEFE ao problema da análise dinâmica explícita para resposta no tempo foi apresentado por Rozycki et al. (2008). Segundo Rozycki et al. (2008), domínios complexos podem necessitar de elementos finitos muito pequenos para serem representados adequadamente. Porém, a utilização de elementos finitos muito pequenos implica na utilização de passos de tempo pequenos para que as propriedades de acurácia e estabilidade sejam mantidas (ROZYCKI et al., 2008). Assim, para reduzir a necessidade

da utilização de elementos finitos de dimensão reduzida na modelagem de domínios complexos, Rozycki et al. (2008) utilizaram o MEFE para construir elementos finitos que possuam vazios, o que reduz a necessidade da conformidade da malha utilizada com o domínio. Segundo Rozycki et al. (2008) os resultados obtidos são comparáveis àqueles obtidos pela formulação tradicional do MEF. Deve-se salientar que o MEFE como utilizado por Rozycki et al. (2008) visa modelar os vazios dos elementos sem buscar enriquecer o espaço de aproximação.

Outros trabalhos importantes relacionados ao MPU e ao MEFG foram apresentados por Taylor et al. (1998), Strouboulis et al. (2006), Babuska et al. (2002) e Babuska e Banerjee (2012). Taylor et al. (1998) apresentaram uma formulação do MEFH utilizando o MPU com funções de base polinomiais. Strouboulis et al. (2006) apresentaram estimadores de erros a posteriori que podem ser aplicados ao MEFG. Babuska et al. (2002) apresentaram uma discussão detalhada sobre a seleção das funções de forma para o MEFG. Por fim, Babuska e Banerjee (2012) apresentaram uma modificação do MEFG que possibilita um melhor condicionamento do sistema de equações.

3 FUNDAMENTOS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O MEF pode ser utilizado para se obter soluções aproximadas para problemas de valores de contorno (PVC). Porém, soluções aproximadas são obtidas reescrevendo-se o PVC como um problema de valores de contorno variacional (PVCV), também denominado de forma fraca do PVC.

No MEF, em sua forma mais tradicional, o Método de Galerkin é utilizado para se resolver o PVCV de forma aproximada. As funções utilizadas para construir a aproximação são obtidas encaixando-se funções construídas localmente dentro de subdomínios do problema, denominados elementos finitos.

Neste capítulo são apresentados primeiramente os conceitos básicos referentes a PVCs e PVCVs. Posteriormente é apresentado o Método de Galerkin e suas propriedades básicas. Por fim, o procedimento utilizado no MEF para construir as funções de aproximação é apresentado. Estes conceitos são importantes para este trabalho pois constituem a base do MEFG e do MPU descritos mais adiante.