No Capítulo 2, foram apresentados os métodos da Interseção Normal à Fronteira e Análise Relacional de Grey e os conceitos necessários para o desenvolvimento de uma metodologia de otimização multiobjetivo que considere a dimensionalidade do problema, a correlação e o sentido de otimização entre as funções objetivo e de restrição, ao mesmo tempo que seja capaz de incluir e atender os alvos estabelecidos para as restrições multivariadas. O tratamento adequado dessas características é fundamental para o desempenho dos resultados otimizados pelo NBI.
Neste sentido, considerando o problema e os objetivos de pesquisa, este Capítulo 3 apresenta o desenvolvimento do Método NBI-GRA com restrições multivariadas para problemas de otimização multiobjetivo. Este método permite que grandes grupos de respostas correlacionadas sejam otimizados simultaneamente aplicando-se o Método NBI. Além de permitir a redução de dimensionalidade do problema original empregando-se apenas dois eixos fatoriais independentes para uma Fronteira de Pareto, o método permite também a inclusão de um terceiro grupo de respostas, também representado por um fator, na forma de uma restrição.
3.1. Caracterização da metodologia proposta
O método NBI-GRA caracteriza-se, como uma abordagem de otimização multiobjetivo, uma vez que aplica o método NBI assistido por GRA a problemas com múltiplos objetivos correlacionados e restrições multivariadas, cujos valores alvo são definidos pelo método dos Mínimos Quadrados Parciais (Partial Least Squares - PLS).
O método da Interseção Normal à Fronteira é proposto como método de otimização por ser comprovadamente uma alternativa mais viável na resolução de problemas multiobjetivos. No entanto, em problemas de dimensões elevadas ou que apresentam respostas multicorrelacionadas, o NBI pode obter soluções dominadas ou irreais e tornar-se extremamente complexo.
Neste caso, para tratar da correlação entre as respostas e da dimensionalidade do problema de otimização por NBI, a Análise Fatorial é a abordagem multivariada mais indicada. A fim de normalizar a direção de otimização das funções objetivo e de restrição, considerar a matriz de correlação e os alvos estabelecidos para cada característica de interesse e ainda,
diminuir a dimensionalidade do problema de otimização, a Transformação Sinal Ruído de Taguchi foi utilizada em conjunto com a Análise Fatorial.
Considerando que o problema apresenta restrições multivariadas, o método dos Mínimos Quadrados Parciais foi proposto para definir os valores alvo para essas funções. Dado que o PLS considera a matriz de correlação entre os dados, os valores alvo definidos por esse método serão mais reais e prováveis de serem alcançados. Uma visão geral da metodologia proposta pode ser vista na Figura 6.
Figura 6- Metodologia NBI-GRA.
Primeiro Passo - Planejamento experimental, modelagem e seleção das respostas Etapa 1: Definir o processo de estudo, planejar e executar os experimentos e mensurar
as respostas do processo.
Etapa 2: Transformar o arranjo L16 de Taguchi para superfície de respostas e desenvolver os modelos de superfície de resposta para as características de interesse.
Segundo Passo – Analisar a matriz de correlação
Analisar a correlação entre as características de interesse. Caso não seja identificada correlação significativa entre pelo menos duas respostas, pode-se otimizar o processo usando outros métodos de otimização. Caso contrário, a abordagem NBI-GRA deve ser aplicada de acordo com as etapas descritas nos próximos Passos.
Terceiro Passo – Desenvolver a Análise Fatorial
Etapa 1: Na aplicação da FA deve-se verificar se como as funções objetivos que
representam as respostas serão separadas nos fatores. Há a possibilidade de fazer a FA com e sem rotação e obter diferentes resultados, e ambos devem ser testados. Primeiramente deve-se aplicar a FA sem rotação sobre as respostas originais, observar as correlações e os sentidos de otimização entre elas e os fatores extraídos. Caso as respostas não estejam separadas adequadamente nos fatores, deve-se repetir a análise com rotação e verificar novamente a separação das respostas nos fatores. Caso seja satisfatória deve-se partir para a Etapa 3.
Caso ainda haja algum conflito de interesse entre os fatores e as respostas originais, deve-se seguir a Etapa 2.
Etapa 2: Aplicar a transformação SNR de Taguchi, que visa resolver os conflitos nos
sentidos de otimização das respostas. Após essa transformação deve-se repetir a Etapa 1.
Etapa 3: Uma vez definidas as funções objetivo, extrair os fatores usando a matriz de
correlação. Definir os fatores das funções principais (e da função de restrição) e armazenar seus respectivos escores. Analisar a relação entre os autovalores e as respostas em cada fator selecionado. Os fatores selecionados formarão: (a) o bloco de funções objetivo que representarão os eixos da fronteira de Pareto e (b) o bloco de restrições do problema de otimização.
Quarto Passo – Aplicar o método NBI
Etapa 1: Desenvolver os modelos de superfície de resposta para os fatores e avaliar a
significância estatística dos modelos e sua adequação às respostas obtidas.
Etapa 2 – Calcular os valores de Utopia ( fU) e Nadir ( f N) das funções objetivo, pela otimização individual, tal como 𝑓𝑈(𝐹𝑖) = 𝑀𝑖𝑛𝐱∈Ω[𝐹𝑖𝑈(𝐱)] e 𝑓𝑈(𝐹𝑖) = 𝑀𝑎𝑥𝐱∈Ω[𝐹 𝑖𝑁(𝐱)], respectivamente. Com base nestes valores, calcular a matriz Payoff (Φ ). Para um problema biobjetivo, a Φ pode ser obtida pela (28.
Φ ̅̅̅̅ = [𝐹2 𝑈(𝐱) 𝐹 2𝑁(𝐱) 𝐹3𝑁(𝐱) 𝐹3𝑈(𝐱)] (28)
Em seguida, as funções dos fatores são normalizadas, usando os respectivos valores de Utopia e Nadir, Equação 29.
𝑓̅(𝐱) = { 𝑓̅1(𝐱) = 𝐹̅2(𝐱) =𝐹2(𝐱) − 𝐹2 𝑈 𝐹2𝑁− 𝐹2𝑈 𝑓̅2(𝐱) = 𝐹̅3(𝐱) = 𝐹3(𝐱) − 𝐹3𝑈 𝐹3𝑁− 𝐹 3𝑈 } (29)
Etapa 3 – Uma vez definidos os valores para 𝑓𝑖(𝐱) = 𝐹𝑖(𝐱), 𝑓𝑈 = 𝐹𝑖𝑈(𝐱) e𝑓𝑁 = 𝐹𝑖𝑁(𝐱), aplicar o algoritmo GRG, disponível na rotina do Solver®, sobre a Equação 30, a fim de identificar os pontos de ótimo obtidos pelo problema de otimização.
𝑀𝑖𝑛 𝑓̅1(𝐱) = ( 𝐹2(𝐱) − 𝐹2𝑈(𝐱) 𝐹2𝑁(𝐱) − 𝐹2𝑈(𝐱)) s.t.: 𝑔1(𝐱) = ( 𝐹2(𝐱)−𝐹2𝑈(𝐱) 𝐹2𝑁(𝐱)−𝐹2𝑈(𝐱)) − ( 𝐹3(𝐱)−𝐹3𝑈(𝐱) 𝐹3𝑁(𝐱)−𝐹3𝑈(𝐱)) + 2𝑤 − 1 = 0 𝑔2(𝐱) = 𝑋𝑇𝑋 ≤ 𝜌2 𝑔3(𝐱) = 𝑍1𝐿𝑇 ≤ 𝐹1(𝐱) ≤ 𝑍1𝑈 (30)
onde, XT X ρ2é o conjunto de restrições convexas da região experimental, em que f, V e I são os parâmetros do processo de usinagem a laser. Para esse arranjo de Taguchi transformado em superfície de resposta a escolha de
=
é adequada, onde α é a distância axial do arranjo experimental. Ressalta-se que a restrição g1( )
x assegura que o ponto x será mapeado da fronteira para um ponto na normal, enquanto a restrição g2( )
x assegura a viabilidade de x com respeito ao conjunto de restrições no problema original NBI. Já a notação matemática 𝒁𝟏𝑳𝑻≤ 𝑭𝟏(𝐱) ≤ 𝒁𝟏𝑼 representa as restrições do problema em termos de F1, definidas pelo PLS e asseguram que os valores estabelecidos para as respostas originais classificadas como restrição sejam atendidas dentro dos intervalos de previsão.O problema representado pelo sistema de (30) pode ser resolvido iterativamente para diferentes valores de pesos (𝒘𝒊), o que cria, por conseguinte, uma fronteira de Pareto equiespaçada. Uma escolha comum para os pesos consiste em fazer 𝒘𝒋 = 𝟏 − ∑𝒏𝒊=𝟏𝒘𝒊, com espaçamento de 5%, de forma que 21 soluções serão obtidas.
Quinto Passo –Aplicar a Análise relacional Grey para a escolha do melhor ponto da fronteira de Pareto.
Uma vez construída a fronteira de Pareto deve-se encontrar o melhor ponto dentre as 21 soluções ótimas encontradas. A GRA é uma técnica de otimização multiobjectivo utilizada na otimização de processos discretos. Nesse caso, a classificação final do Grau Grey possibilitará a escolha do melhor ponto dentre os 21 pontos ótimos da fronteira de Pareto.
Desta forma, o método NBI-GRA pretende reduzir a dimensionalidade e ser eficaz na otimização de processos com características multivariadas. Todos os passos do método NBI- GRA serão apresentados a seguir.