Método da Zona Plástica

Neste caso, a rótula punctual que representa o aparecimento da plastificação, é substituída por uma região tridimensional da barra, onde tensões iguais ou superiores às de escoamento são atingidas (dependendo do diagrama de comportamento do material da barra

σ

ε

No caso da zona plástica é possível modelar o encruamento, o que leva aos diagramas tensão-deformação chamados: bi-linear, tri-linear e o de Ramberg-Osgood modificado, como mostrado na Fig. 2.28a. O diagrama tri-linear tem sido adotado por alguns pesquisadores como Vogel (1985) e Clarke (1994), (pode-se ver os dados do diagrama tri-linear da AS4100 (1990), para o ASTM A 36 ou similar, no Apêndice E). Isso corresponde a um diagrama de tensões normais na seção similares aos da Fig. 2.28b, onde aparecem tensões superiores a σy.

Neste método procura-se monitorar o comportamento de pontos da seção, para se conhecer as tensões atuantes, se determinarem as partes com escoamento, se avaliar as deformações plásticas correspondentes, e assim corrigir as propriedades e a geometria usadas no modelo iterativamente, baseando-se nesses resultados.

Os resultados obtidos através do método ZP têm sido usados na verificação de teorias e outros métodos. Já foram desenvolvidas várias aproximações, tanto para modelos 2D (Owen e Hinton, 1980), como para modelos 3D (Teh e Clarke, 1999), de se avaliar a zona plástica.

y y t d t y y N Bi-linear Ramberg-Osgood Tri-linear E E_t st ult

(a) Diagramas tensão-deformação (b) Plastificação da seção

No contexto do MEF, este método subdivide longitudinalmente a seção em vários subelementos denominados de fatias, nos quais se monitora as tensões e deformações em cada passo incremental.

Para se avaliar esse comportamento e se obter as tensões e deformações necessárias, bem como conhecer os esforços solicitantes internos, são usadas diversas formulações, que permitem acompanhar o movimento do EF, que são normalmente as formulações Lagrangianas e/ou corrotacionais, e empregam processos de integração diversos também, entre os quais a quadratura de Gauss e a regra de Simpson.

O método da ZP aparece pela primeira vez com Ojalvo e Lu em 1961, seguido por Bernstiel e Michalos em 1963, Moses e depois Sapp em 1964, conforme Alvarez e Bernstiel (1969). Posteriormente, diversos pesquisadores como Vinnakota (1974), Kasar (1975), Chen e Atsuta (1977), Kanchanalai (1977), Swanger e Emkin (1979), El-Zanaty et al. (1980), Vogel (1985), Owen e Hinton (1988), White (1988), Chan e Kitipornchai (1988) , Ziemian (1990), Meek e Loganathan (1990), Al-Bermani et al. (1988, 1992), Clarke (1994); Teh e Clarke (1998), Folley e Vinnakota (1999), Torkamani e Sonmez (2001) e Folley (2001), utilizaram este método.

A Fig. 2.29 ilustra a estrutura deformada, na qual onde apareceriam RPs concentradas punctuais existe uma região com plasticidade ao longo dos EFs, embora tenha sido representada a forma unifilar apenas, o que não é uma representação muito adequada, como se verá no capítulo 6.

Y

X

Região Plástica

A plasticidade pode assim ser acompanhada ao longo dos EFs (e barras), por todo o processo incremental, permitindo estabelecer deslocamentos, esforços, tensões e deformações com muita precisão.

A modelagem e a formulação adotadas pelos pesquisadores são bastante variáveis, porém usualmente aplicam estratégias de iteração usando Newton-Raphson.

Cook e Gerstle (1985) utilizaram apenas 9 fatias nas seções dos EFs e aplicaram o módulo secante para cada EF, em cada passo de carga.

Meek e Loganathan (1990) mostraram como a análise inelástica, no sentido de encontrar tanto o fator de carga limite como também o fator de carga de ruína final (após o fator de carga limite, na trajetória de descida), e a trajetória pós-crítica, têm apresentado dificuldades aos pesquisadores. Eles utilizaram seções de tubos retangulares e circulares (SHS e CHS, respectivamente), aplicaram o método do segmento finito com hipóteses de Bernoulli-Euler e adotaram a técnica de comprimento do arco (Ramm, 1981 e Crisfield, 1991) e a regra de Simpson para realizar as integrais de tensões e propriedades. Não consideraram, entretanto, o deslocamento do centro linear da parte remanescente elástica (!).

Torkamani e Sonmez (2001) usaram tensores de Green e teoria de viga de Timoshenko, sendo o equilíbrio formulado baseado no princípio do incremento dos deslocamentos virtuais de Bathe e Bolourch em 1979. Eles empregaram 20 fatias (6 em cada aba e 8 na alma) em seus modelos.

Avery e Mahendran (2000), fizeram modelos com EF casca HKS do Abakus, entre outros programas comerciais (Adina e Nastran), consideraram a teoria do fluxo plástico associado, adotaram superfície de escoamento de von Mises e material elástico- plástico perfeito ou com encruamento isotrópico, reproduziram bons resultados de exemplos de calibragem de Vogel (1985), incluindo ensaios experimentais.

Folley e Vinnakota (1999) usaram um modelo com 66 fatias (27 em cada aba e 12 na alma) em seus exemplos, aplicando o princípio da mínima energia potencial e o método de Rayleigh-Ritz para desenvolver seu EF, usando algoritmo do passo simples de Euler e trabalho constante, e consideraram o deslocamento do centro linear da parte remanescente elástica. O mesmo modelo foi adotado posteriormente por Folley (2001).

Teh e Clarke (1999) aplicaram o princípio dos trabalhos virtuais e a teoria do fluxo plástico para desenvolver um EF de Bernoulli-Euler com tensores de Green, numa

formulação corrotacional não Lagrangiana em 3D.

O método ZP é um processo muito sofisticado, mais próximo do real, e por isso mesmo exige mais recursos computacionais, para a sua aplicação.

De maneira geral, devido a sua capacidade de representar corretamente o comportamento da estrutura, o método ZP é considerado o método “exato”, sendo suas soluções usadas para gabaritar todos os demais métodos. Essa é uma das justificativas para adoção desse método também nesta dissertação.

Além da qualidade dos resultados e precisão, no caso das colunas inferiores de grandes estruturas bem como em prédios com ligações semi-rígidas em grande quantidade, o método da zona plástica consegue mostrar pontos potenciais de flambagem local e determinar as deformações adequadamente. Porém, Torkamani e Sonmez (2001) apontaram duas falhas comuns no emprego deste método, que os pesquisadores de certa forma agora procuram corrigir:

a. não ser acurado na descrição da não-linearidade do material (plasticidade); b. incapacidade de capturar grandes deformações.

Eles indicaram ainda que a formulação de Hall e Challa (1994), usada extensivamente na prática, não retém as equações de equilíbrio numa configuração atualizada, o que significa o aparecimento de forças artificiais de movimento de corpo rígido e rotação. Havendo também algum debate sobre o uso de formulações Lagrangianas e corrotacionais, com relação à qualidade dos resultados.

Outra dificuldade resulta no tempo de processamento, na quantidade de memória e informações manipuladas pelo computador. Sem dúvida, a aplicabilidade para estruturas maiores (uso comercial) ainda é limitada.

Porém, Folley (2001) aponta para o futuro, no sentido de que o excessivo tempo de processamento, característico de problemas com zona plástica, pode ser resolvido por vetorização, subestruturação, condensação e processamento paralelo. Esse pesquisador conseguiu empregando uma estação Cray Y-MP 90 com 10 PCs Penthium 200 MHz calcular uma estrutura de um prédio de andares múltiplos com 15906 nós, 16200 EFs, 47700 GDLs e tendo realizado 937 incrementos de carga, gastou um pouco mais de 3 horas apenas (!).

Z Z 0,5 1,0 y M /M P M/Mp 1,0 do escoamento real perfil I flexão z-z Superfície de plastificação Superfície de início F at or d e ca rg a Deslocamento colapso crítico p e lim ZP Análise inelástica de segunda ordema inelástico N /N y

(a) Gráfico do dimensionamento (b) Gráfico do comportamento

Figura 2.30 Resultado da análise com zona plástica.

Destaca-se ainda que o diagrama de dimensionamento atinge a superfície de plastificação real do perfil (e não uma função aproximada, como a equação de interação), como representado na Fig. 2.30a.

Na Fig. 2.30b se mostra a trajetória de equilíbrio, que define claramente o ponto limite, com muita precisão, sendo tangente a horizontal do λlim.