CAPÍTULO 3 ANÁLISE DINÂMICA
3.4 MÉTODOS DE ANÁLISE DINÂMICA
As análises dinâmicas podem ser realizadas no domínio do tempo ou no domínio da frequência, sendo que o presente trabalho será restrito apenas à análise no domínio do tempo.
A solução de um problema dinâmico consiste em obter as respostas do sistema (deslocamentos, velocidades, acelerações, esforços, etc.) em função do tempo, a partir de certo instante inicial para o qual se conhecem as configurações.
Em geral, não é simples obter soluções analíticas para problemas de análise dinâmica, principalmente com múltiplos graus de liberdade, devendo-se recorrer a procedimentos numéricos de integração das equações diferenciais do movimento ao longo do tempo. Estes procedimentos fornecem as soluções para valores discretos do tempo t0, t1, ...tn
A integração discreta no tempo pode ser feita através de algoritmos explícitos ou implícitos. Os algoritmos explícitos permitem encontrar a solução no tempo t+Δt em função apenas de valores calculados no tempo t. Já os algoritmos implícitos incluem em sua formulação informações em algum ponto depois do tempo t. Neste trabalho serão implementados algoritmos implícitos de Newmark e Wilson-Theta (Bathe, 1982).
Os métodos de análise dinâmica mais utilizados, métodos da superposição modal e integração direta, se diferem em função de se obter ou não transformações das matrizes envolvidas, antes de se iniciar o processo de solução. Os métodos chamados diretos se caracterizam por trabalhar com as matrizes em sua forma original. Diferentemente, o método de superposição modal trabalha com a transformação das matrizes envolvidas, através de uma mudança de coordenadas, de forma a se obter equações desacopladas que podem ser resolvidas mais facilmente. A solução individual de cada equação pode então ser obtida através de integração direta (com um grau de liberdade) ou através da interação numérica da equação de Duhamel (para múltiplos graus de liberdade), que serão apresentadas nas próximas seções.
3.4.1 Método da Superposição Modal
O Método da Superposição Modal é um dos métodos mais utilizados para solucionar problemas de dinâmica, em que o objetivo principal é promover a transformação de um sistema de n equações em um sistema de um grau de liberdade.
A técnica da superposição modal corresponde a uma transformação das coordenadas dos deslocamentos nodais (geométricos) para as coordenadas modais ou generalizadas. Essa transformação é possível devido à propriedade de ortogonalidade dos modos de vibração (autovetores). Os modos de vibração são linearmente independentes, formando então uma base no espaço n-dimensional, o que significa que qualquer vetor neste espaço n-dimensional pode ser expresso como uma combinação linear dos n vetores linearmente independentes.
A propriedade de ortogonalidade dos modos de vibração é a base do método da superposição modal. Devido à ortogonalidade dos modos de vibração, têm-se os produtos , e resultando em matrizes diagonais, ou seja, matriz de massa diagonal e na matriz de rigidez diagonal, respectivamente.
A matriz de amortecimento C, no método da superposição modal, é considerada através das taxas de amortecimento em cada modo normal, sendo considerada válida a hipótese de ortogonalidade da matriz de amortecimento. A determinação da matriz de amortecimento, assim como das matrizes de rigidez e massa, será feita no Capítulo 4.
A equação de movimento do problema em coordenadas nodais é dada por: ̈( ) ̇ ( ) ( ) ( )
A mudança de base para coordenadas modais ou generalizadas é feita utilizando a seguinte equação:
( ) ( ) ( ) Logo, a derivada primeira e segunda da Equação 3.11 é:
̇( ) ̇( ) ( ) ̈( ) ̈( ) ( )
onde,
⟶ matriz modal (Equação 3.26);
( ) ⟶ vetor de deslocamentos em coordenadas modais de ordem n (função do tempo); ̇( ) ⟶ vetor de velocidades em coordenadas modais de ordem n (função do tempo); ̈( ) ⟶ vetor de acelerações em coordenadas modais de ordem n (função do tempo).
A equação do movimento em termos das coordenadas generalizadas fica então da seguinte forma:
̈( ) ̇ ( ) ( ) ( ) onde , e são respectivamente as matrizes de massa, amortecimento e de rigidez generalizadas e ( ) é o vetor de cargas generalizadas, dados por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) As matrizes de massa e de rigidez são matrizes diagonais, o que garante o desacoplamento das equações. Portanto, desacoplando as equações, têm-se um conjunto de n equações independentes (i=1..n), em coordenadas modais, dado por:
̈( ) ̇( ) ( ) ( ) ( ) onde
( ) e
sendo que são as frequências naturais. Portanto,
̈( ) ̇( ) ( ) ( ) ( ) Resolvendo a Equação 3.39, encontram-se os valores dos deslocamentos, velocidades e acelerações em coordenadas modais em cada tempo ti, substituindo os
respectivos valores nas Equações 3.28, 3.29 e 3.30, determinando respectivamente os deslocamentos, as velocidades e as acelerações nas coordenadas modais.
A Equação 3.20, denominada equação modal, será resolvida de forma numérica, obtendo assim a solução do problema em coordenadas modais. Neste presente trabalho será resolvido utilizando a Integral de Duhamel ou as técnicas de integração direta, métodos que serão descritos melhor a seguir.
A matriz de amortecimento que será considerada neste trabalho é a matriz de amortecimento proporcional (Amortecimento de Rayleigh). No capítulo 4 será apresentada a formulação da matriz de amortecimento proporcional.
3.4.1.1 Integral de Duhamel
A Integral de Duhamel para sistemas amortecidos é dada por:
( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) onde e são a massa generalizada e a frequência circular amortecida para cada grau de liberdade e ( ) é o carregamento.
Desenvolvendo a Equação 3.40, obtêm-se a forma incremental da Integral de Duhamel, como sendo:
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) As integrais incrementais para sistemas não-amortecidos, A(t) e B(t), são dadas pelas seguintes equações:
( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) onde, ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) [( ) ] ( ) ( ) Aplicando as Equações 3.42 e 3.43, para cada tempo ti, na Equação 3.41,
encontram-se os deslocamentos ( ) em cada tempo ti. Sendo assim, as acelerações
̈( ), em cada tempo ti, são dadas pela derivada segunda da Equação 3.41 no tempo.
Quando se desconsidera o amortecimento, ou seja, :
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) onde é a frequência natural para cada grau de liberdade e as integrais incrementais para sistemas não-amortecidos, A(t) e B(t), são dadas pelas seguintes equações:
( ) ( ) [ ( ) ] ( ( ) ( ))
{[ ( ) ( )]
( ) ( ) [ ( ) ] ( ( ) ( ))
{[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]} ( )
3.4.2 Métodos de Integração Direta
Na integração direta, as equações são integradas usando processos numéricos passo a passo, sendo que o termo, “direta” significa que as equações são integradas no tempo, antes que aconteça alguma transformação das equações em outra forma diferente. A integração direta é baseada em duas ideias. Primeiramente, ao invés de resolver a equação do movimento a qualquer tempo t, busca-se solucioná-la a intervalos Δt discretos, separadamente. Isto significa que o equilíbrio dinâmico que inclui os efeitos de inercia e amortecimento, é tomado em pontos discretos dentro do intervalo de solução. A segunda ideia é a discretização do tempo em intervalos Δt, de forma que os deslocamentos, velocidades e acelerações são determinados para cada tempo t+Δt.
Para a aplicação dos métodos de integração direta, são determinadas as matrizes K, M e C, sendo inicialmente aplicadas condições iniciais no tempo zero, denotadas , ̇ e ̈ . Na solução o tempo total T é subdividido em n intervalos, implicando em Δt=T/n, encontrando-se a solução nos tempos 0, Δt, 2Δt, 3Δt, ..., t, t+Δt,..., T.
A seguir são apresentados os dois métodos de integração direta utilizados neste trabalho, sendo eles: Método de Newmark e Método de Wilson θ.
3.4.2.1 Método de Newmark
Na análise através do Método de Newmark, impondo-se as condições iniciais, adota-se um passo de tempo Δt qualquer e os parâmetros α e δ, sendo que:
( ) ( ) ( )
Para este trabalho foi utilizado , o que implica .
Tendo-se adotado os parâmetros anteriores (Δt, α e δ), calculam-se as constantes de integração a serem utilizadas, dadas por:
( ) ( ) ( ) Tendo sido calculadas as constantes de integração, calcula-se a forma efetiva da matriz de rigidez, dada por:
̂ ( ) Para a análise linear pelo método de Newmark, é usual triangularizar a matriz de rigidez efetiva, obtendo-se
̂ ( ) Para cada passo de tempo é calculado o vetor das cargas efetivas no tempo t+Δt: ̂ ( ̇ ̈ ) ( ̇ ̈ ) ( )
Calcula-se os deslocamentos no tempo t+Δt, dados por:
̂ ( )
Tendo obtido os deslocamentos no tempo t+Δt, calculam-se as acelerações e as velocidades no tempo t+Δt, dados respectivamente por:
̈ ( ) ̇ ̈ ( )
̇ ̇ ̈ ̈ ( )
3.4.2.2 Método Wilson θ
Este método é essencialmente uma extensão do método da aceleração linear, em que uma variação linear da aceleração é assumida de um tempo t até t+Δt. No método
de Wilson θ, a aceleração na equação do movimento é assumida como linear do tempo t até t+θΔt, onde , sendo que usualmente é utilizado .
Similarmente ao método de Newmark, são calculadas as constantes de integração, da seguinte forma:
( ) ( ) Assim como no método de Newmark, é calculada a matriz de rigidez efetiva e a sua triangularização, utilizando as mesmas formulações (Equações 3.54 e 3.55).
Para cada passo de tempo é calculado o vetor das cargas efetivas no tempo t+θΔt:
̂ ( ) ( ̇ ̈ )
( ̇ ̈ ) ( ) Calculam-se os deslocamentos no tempo t+θΔt, dados por:
̂ ( )
Tendo obtido os deslocamentos no tempo t+θΔt, calculam-se as acelerações, as velocidades e os deslocamentos no tempo t+Δt, dados respectivamente por:
̈ ( ) ̇ ̈ ( )
̇ ̇ ( ̈ ̈ ) ( ) ̇ ( ̈ ̈ ) ( )