Neste capítulo, vamos tratar das noções de método de decisão e de procedimento ou processo mecânico. Para tanto, vamos apresentar, também, definições e resultados relativos às funções recursivas (bem como aos predicados recursivos e recursivamente enumeráveis e às funções recursivas parciais) e introduzir a Tese/Definição de Church de função calcu- lável. Lembremos que, na Definição 1.5.11, utilizamos a noção de método de decisão para definirmos quando uma teoria de primeira ordem T é decidível, isto é, quando existe um método de decisão para determinar se uma fórmula A qualquer de T é, ou não, teorema de
T. Porém, para que esta definição seja mais precisa e utilizável, é necessário que tornemos
mais precisa a noção de método de decisão. Mais ainda, tal determinação, do que vem a ser um método de decisão, é essencial para mostrar que um determinado problema é indecidí- vel, pois, caso contrário, como poderíamos concluir que não há, para ele, método de deci- são possível ? Determinar, então, a noção de método de decisão é primordial e foi uma das motivações de Church para propor a sua tese/definição de função calculável (Birabem
1996, p.32), que, também, comentaremos mais adiante. Por fim, a partir da Tese/Definição
de Church veremos ainda, como a noção de procedimento ou processo mecânico se encon- tra relacionada à noção de função recursiva parcial, mesmo para processos que envolvam acaso.
Comecemos a discussão sobre métodos de decisão listando algumas características gerais sobre esta noção.
A primeira característica que parece poder ser afirmada, sem perda de generalidade, sobre qualquer método de decisão M, é que ele sempre equivale a determinar se elementos de um dado conjunto C possuem, ou não, uma certa propriedade P. Com efeito, vimos que as relações e funções podem ser definidas como conjuntos de n-uplas ordenadas (início do Capítulo 2); assim, esta característica também se aplica a sabermos se elementos dados sa- tisfazem determinada relação e qual o resultado de uma dada função.
Uma segunda propriedade que um método de decisão M parece ter é que, dado o conjunto C de elementos, sobre os quais ele deve poder decidir se satisfazem, ou não, a propriedade P, o método de decisão M deve se aplicar a todos os elementos de C. Com efeito, se existisse algum elemento c de C para o qual o método M não retornasse a infor- mação se c tem, ou não, a propriedade P, então M não decidiria sobre o elemento c, e, por- tanto, não seria um método de decisão para C.
Uma terceira propriedade que um método de decisão M deveria ter, seria a de que seus procedimentos, para decidir se um certo elemento c de C tem, ou não, a propriedade P, seriam mecânicos. Isto nos leva às características da noção de mecânico.
3.0.1. Observação. Ressaltemos que a noção de mecânico que será discutida aqui, é
relativa a um sentido abstrato e ideal, o que significa dizer que vamos exibir características
gerais de um procedimento mecânico, que toda máquina, inclusive uma máquina real, deve
ter, sendo que, porém, algumas características dessas “máquinas abstratas e ideais” não terão, necessariamente, correlatos no mundo real. Por exemplo, uma máquina, como a con- siderada aqui, poderá funcionar indefinidamente, o que não parece ser o caso para uma má- quina real; além disso, esta máquina pode ter uma memória potencialmente infinita na qual ela pode guardar todas as informações produzidas pelo o seu funcionamento.
Vejamos então as características de um processo mecânico.
A primeira característica que uma máquina parece ter é que ela processa certos ele- mentos, chamados de entrada, que resulta em outros elementos, chamados de saída. Even- tualmente, pode não haver elementos de entrada, ela simplesmente, através de seu proces- samento, sem elementos de entrada, produz elementos de saída. Não consideraremos má- quinas sem saídas, já que temos em vista os métodos de decisão: neste caso, não podemos ter uma máquina muda. Assim, podemos considerar um conjunto E dos elementos de entra- da de um processamento mecânico, eventualmente vazio, e um conjunto não-vazio S de seus elementos de saída.
Uma segunda característica de uma máquina é ter um processo para determinar, pa- ra cada elemento e de entrada, um elemento s de saída. Este processo pode ser considerado uma função do conjunto E no conjunto S (Definição 2.2.7), que associa um elemento s de saída a um elemento e de entrada. Temos, então, que o processo, ou procedimento, de uma máquina determina um conjunto de pares ordenados (e, s), no qual s é o elemento de saída, correspondente ao elemento e de entrada.
Um processo pode determinar infinitos pares ordenados, como no caso, por exem- plo, de uma máquina que produz o sucessor de um número natural dado: ela determina infi- nitos pares (n, m) no qual m é o sucessor de n. Porém, como uma máquina deve ter um nú-
mero finito de elementos e relações que a constituem, não é qualquer conjunto de pares ordenados, no qual, para cada elemento de entrada, exista um, e apenas um, elemento de saída, determina um procedimento mecânico. Com efeito, para que este procedimento seja considerado mecânico, este conjunto deve poder ser gerado a partir de um número finito de elementos e relações, como, por exemplo, por regras ou leis de formação, que chamamos
programa ou algoritmo, sendo, ainda, finito, o número de regras que compõe um programa
ou algoritmo. Assim, dado o conjunto de entradas e saídas, temos que: determinar, abstra- tamente, as máquinas, ou os mecanismos, possíveis significa determinar os algoritmos pos- síveis. Quais seriam então os algoritmos possíveis ? Como veremos, esta questão nos leva à Definição/Tese de Church (veremos mais adiante, porque escrevemos definição/tese). Po- rém, para enunciá-la, necessitamos do conceito de função recursiva, que é o que vamos introduzir na seção seguinte.