Antes de passar a explicitar os métodos de estimação e simulação cabe ressaltar que ambos são baseados em estatísticas de dois pontos, modelo de variograma, que carece de ser calculado e posteriormente ajustado um modelo teórico (e.g. Remy et al., 2009). O variograma é um parâmetro geostatístico que mede a continuidade lateral e vertical, isto é, modela a estrutura (Goovaerts, 1997; Journel & Huijbregts, 1978; Matheron, 1970 apud Remy et al., 2009) (Equação 5). O semi-variograma é metade do variograma (Equação 6). Serve de medida estatística de heterogeneidade geológica. Se um fenômeno espacial exibe continuidade é esperada melhor correlação entre os pontos mais próximos. Serve de base de modelo operacional para que seja conduzida uma análise estrutural geostatística (e.g. Deutsch, 2002).
2𝛾(𝒉) = 𝐸 {[𝑍(𝒖𝑖+ 𝒉) − 𝑍(𝒖𝑖)]2} (5) 𝛾(𝒉) = 1 2𝑛(𝒉)∑[𝑍(𝒖𝑖+ 𝒉) − 𝑍(𝒖𝑖)]2 𝑛(𝒉) 𝑖=1 (6) Onde: 𝛾(𝒉) – semi-variograma 𝒉 – distância entre as amostras
𝑛(𝒉) – número de pares de pontos para a distância ℎ 𝒁 – variável aleatória
𝒖 – ponto (x,y,z) a estimar
A simulação sequencial é considerada como sendo uma alternativa para modelar a realidade. Trata-se de um algoritmo bastante conhecido e utilizado em um amplo espectro de trabalhos (Johnson, 1987; Journel, 1989 apud Goméz-Hernandéz & Journel, 1993). Enquanto a Krigagem objetiva segurança, minimizando a variância em cada ponto, tentando errar o menos possível, a simulação prioriza o realismo, priorizando a variabilidade natural. Pode ainda ser vista como a realização do fenômeno honrando os dados (hard data) (Journel & Deutsch, 1993 apud Remy et
al., 2009). Permite reproduzir as heterogeneidades, isto é, as versões do modelo geológico. São métodos capazes de gerar realizações equiprováveis com várias características. Adicionalmente, honram os valores amostrais nas suas coordenadas (Deutsch, 2002). Informação mais detalhada e explicitada poderá ser encontrada em diversos trabalhos de referência (e.g. Journel, 1986; Isaaks, 1990; Chilès & Delfiner, 1999 apud Remy et al., 2009).
2.6.1. Co-Krigagem Co-localizada
A co-krigagem co-localizada (CCKO) é um método de co-estimativa que surge como uma possível solução na presença de uma segunda variável com uma densidade amostral maior que a da primeira variável (Myers, 1982; Xu et al. 1992; Wackernagel, 1995; Goovaerts, 1997 apud Remy et al., 2009). É conhecido como um método muito simples e rápido de operar em termos de esforço computacional. Utiliza dois modelos de Markov que faz uma simplificação ao recorrer apenas ao variograma de uma variável (Almeida & Journel, 1994; Rivoirard, 2004; Chilès & Delfiner, 1999 apud Remy et al., 2009). Oferece a vantagem de utilizar uma segunda variável correlacionada. Comporta apenas algumas restrições. O modelo de Markov (Journel & Zhu, 1990 apud Verly, 1993) mais relevante é o que considera que a variável secundária tem que ocorrer, abundantemente, em todas as localizações da primeira variável, com a vantagem de não causar instabilidade pela elevada redundância (Journel, 1999 apud Remy et al., 2009) (Equação 7).
𝐸{𝑍1(𝒖)|𝑍2(𝒖); 𝑍2(𝒖 + 𝒉)} = 𝐸{𝑍1(𝒖)|𝑍2(𝒖)} (7)
Onde:
𝐸 – estimador co-krigagem segundo o modelo de Markov ℎ – distância entre as amostras
𝑍1𝑒 𝑍2 – variável aleatória primária e secundária, respectivamente.
2.6.2. Simulação Sequencial Gaussiana
A simulação sequencial gaussiana (SGS), conhecida por solução teórica, paramétrica, por se adotar uma distribuição normal de parâmetros média = 0 e variância = 1 (Isaaks, 1990; Verly, 1991; Journel, 1994 apud Verly, 1993). Assim, é necessário uma transformação da função de distribuição inicial não-paramétrica (desconhecida) em uma função distribuição paramétrica, gaussiana conhecida, normal (Journel & Huijbregts, 1978 apud Remy et al., 2009).
As realizações são feitas para que honrem os dados condicionantes locais, o histograma global, os padrões de correlação espacial e o variograma inicial (Goovaerts, 1993 apud Remy et al., 2009). Trabalha com uma transformação dos dados em distribuições gaussianas, e no fim do processo transforma a variável de volta à distribuição não-paramétrica (Journel, 1980; Deutsch & Journel, 1998 apud Remy et al., 2009). Os dados condicionantes acima mencionados podem ser, os dados de poço (hard data) e os anteriormente simulados, uma vez que é baseada em simulação sequencial (Dimitrakopoulos & Luo, 2004). O SGS é um algoritmo estocástico, robusto, da biblioteca de geostatística GSLib (Deutsch & Journel, 1998), utilizado comumente em conjuntos de dados esparsos e de variáveis contínuas (Deutsch, 2002). Na sua operação, primeiro transforma a função de distribuição, em seguida vai a cada localização efetuar uma krigagem para obter a estimativa e a variância correspondente 𝜎𝑆𝐾2 (𝑢). Por fim atribui um resíduo aleatório que
segue uma distribuição normal e adiciona a estimativa krigada 𝑍∗(𝑢) e o residual 𝑅(𝑢) para obter
o valor simulado (e.g. Ripley, 1987 apud Dimitrakopoulos & Luo, 2004) (Equações 8 a 10). 𝑍∗(𝒖) = ∑ 𝜆 ∝(𝒖) 𝑛(𝒖) ∝=1 𝑍(𝒖∝) (8) 𝜎𝑆𝐾2 (𝒖) = 𝐶(0) − ∑ 𝜆 ∝(𝒖) 𝑛(𝒖) ∝=1 𝐶(𝒖, 𝒖∝) (9) 𝑍𝑠(𝒉) = 𝑍∗(𝒖) + 𝑅(𝒖) (10)
2.6.3. Simulação Sequencial da Indicatriz
A simulação sequencial da indicatriz (SIS) é conhecida como sendo a solução não-teórica, ou free model definida por André Journel em 1983 (Journel, 1983). Trata-se assim de uma solução não-paramétrica e estima diretamente a probabilidade sem recorrer a uma distribuição para o efeito (Alabert, 1987; Journel & Alabert, 1988; 1989; 1990 apud Verly, 1993). É muito semelhante à SGS, contudo passa diretamente à probabilidade via krigagem da indicatriz, da variável discreta ou categórica, que não necessariamente provém de uma variável numérica, podendo até ser textual, por exemplo, fácies (Goovaerts, 1997; Chilès & Delfiner, 1999 apud Remy et al., 2009). Assim a esperança de uma Indicatriz (𝐼𝐴) é igual à proporção de uma Fácies A (𝐹𝐴) (Equação 11).
𝐼(𝐹𝐴;𝑥) = {1 𝑠𝑒 𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑔𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑥 ∈ 𝐹0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝐴} (11)
Este algoritmo é utilizado para modelagem de fácies sem uma forma e distribuição específica, isto é, que possa ter alguma aleatoriedade na sua distribuição areal e sem um limite claramente conhecido. Isto porque numa fase inicial de projeto a arquitetura de fácies pode não ser claramente conhecida (e.g. Maharaja, 2004). O algoritmo SIS não permite determinar os corpos geológicos, permitindo apenas inferir a direção de maior extensão de canais, por exemplo.
Para analisar a distribuição de litofácies desenvolveram-se curvas de proporção vertical (Ravenne & Beucher, 1988; Ravenne & Galli, 1995; Ravenne et al., 2002). Esta curva materializa um histograma acumulado das proporções de cada fácies calculada em cada camada paralelamente a uma superfície de referência, topo do reservatório, na maioria dos casos.
A CPV pode ser definida como um método que permite investigar a distribuição vertical de todas as fácies nas zonas ou intervalos definidos. (e.g. Ravenne, 2002b; Remacre, 2008). Este método torna possível a correlação de heterogeneidades de reservatórios a cenários geológicos.
A CPV como dado de entrada para a execução do algoritmo SIS (Ravenne et al., 2002). Segundo Remacre et al. (2008) quantificam a evolução sequencial ou temporal das litofácies. Serra & Abbott (1980) definem eletrofácies como um conjunto de comportamentos e formas dos perfis que individualizam cada camada, diferenciando-a das restantes.
2.7. Método de Quantificação da Heterogeneidade Vertical