Métodos Estatísticos Monte Carlo

Esta seção começa com uma breve revisão do desenvolvimento histórico e conceitual dos métodos estatísticos conhecidos como Monte Carlo. Na seqüência são enfatizadas as principais características destes métodos com particularidade aos geradores de números aleatórios.

2.2.4.1 Aplicação do Método Monte Carlo

Métodos Monte Carlo são utilizados em ciência para a solução aproximada de uma variedade de problemas. Com o advento do computador, estes métodos estatísticos se tornaram extremamente úteis não apenas para simulação de fenômenos de natureza estocástica como também de natureza determinística, quando de difícil solução analítica.

Quando se utilizam métodos determinísticos na solução de um dado problema, geralmente, é preciso resolver explicitamente equações diferenciais parciais ou ordinárias que descrevem o sistema físico ou matemático estudado. Por outro lado, os métodos Monte Carlo não requerem a solução de tais equações, pois o sistema é descrito por uma função densidade de probabilidade (fdp) (JOHNSON et al., 1994). Quase sempre a modelagem desta fdp é possível já que se pode dispor de bons geradores de números aleatórios (GNAs) na literatura (BUSTOS; FRERY, 1992; MARSAGLIA, 2004; VIEIRA, 2001).

Uma vez conhecida a fdp, a simulação Monte Carlo pode ser executada em um computador utilizando um GNA uniforme e uma transformação apropriada para a fdp conhecida. Múltiplas “tentativas” ou “histórias” podem ser geradas e o resultado desejado é tomado como uma média sobre o número de observações. O diagnóstico deste resultado é apresentado através do erro estatístico (coeficiente de variância) em relação ao valor médio. A validação ou não da simulação depende do valor deste erro estatístico. Assim, o número de histórias da simulação deve ser fixado, a priori, em função deste erro (CRIBARI; FRERY, 2002). Num caso, por exemplo, de simulação de partículas, obtêm-se respostas simulando partículas individuais e registrando alguns aspectos do seu comportamento comum. O comportamento comum de partículas no sistema físico é deduzido então (usando o teorema de limite central) do comportamento comum das partículas simuladas (BRIESMEISTER, 2000).

As técnicas de Monte Carlo podem ser utilizadas em medicina nuclear para estimar a distribuição de dose em uma dada região de interesse dos pacientes submetidos a exames desta área, já que é praticamente impossível medir de forma direta a dose absorvida em regiões internas do paciente.

2.2.4.2 Características dos Métodos de Monte Carlo

A idéia geral da análise do método Monte Carlo é desenvolver um modelo que seja tão similar quanto possível ao sistema real de interesse, criando interações dentro deste sistema baseadas em probabilidades conhecidas de ocorrência, com amostragens aleatórias da função densidade de probabilidade (ZAIDI, 2003). A partir de dados experimentais de eventos que ocorrem em um dado sistema, é possível propor uma fdp. Com base nesta função, pode-se

gerar aleatoriamente amostras para simulação do sistema real. Os principais componentes de um método Monte Carlo são:

(i) Função densidade de probabilidade (fdp): o sistema físico deve ser descrito por uma ou mais fdps.

(ii) Geração de números aleatórios: uma fonte de números aleatórios confiável. Usualmente o GNA é baseado em uma distribuição uniforme no intervalo [0,1]. Se a fdp não for a uniforme, pode-se, através de transformação da seqüência uniforme gerada, conseguir a distribuição pretendida (por exemplo, distribuição Gaussiana, Exponencial, parabólica, etc.).

(iii) Regras de amostragem: devem-se especificar claramente os critérios da fdp, isto é, os critérios da amostra coletada.

(iv) Contadores: os resultados devem ser acumulados em variáveis no formato de vetores ou matrizes indexadas para controle das quantidades de interesse.

(v) Estimativa de erro: uma estimativa do erro estatístico deve ser determinada como uma função do número de tentativas.

(vi) Técnicas de redução de variância: Quando possível, métodos para redução de variância que não comprometam o resultado final, podem ser implementados.

(vii) Paralelização e Vetorização: Quando o tempo computacional for um problema na simulação, podem ser usados algoritmos de paralelização e vetorização que permitam uma eficiente implementação dos métodos de Monte Carlo em avançadas arquiteturas computacionais.

2.2.4.3 Características de um Gerador de Números Aleatórios

Os GNAs são baseados em algoritmos matemáticos específicos. Portanto, uma seqüência de números gerada por tais algoritmos é pseudo-aleatória, já que pode ser reproduzida. Neste trabalho o termo aleatório estará vinculado a uma seqüência pseudo- aleatória. O método Monte Carlo faz intensivo uso de números aleatórios para controlar o processo de tomada de decisão, quando o evento físico tem mais de um resultado possível. O

GNA é uma sub-rotina fundamental em qualquer código de simulação baseado em métodos Monte Carlo. Uma simulação típica usa de 107 a 1012 números aleatórios, e correlações sutis entre estes números podem levar a erros significativos. Matematicamente, a seqüência de números aleatórios usada em um modelo Monte Carlo deve possuir as seguintes propriedades (ZAIDI, 2003):

(i) Sucessões não correlacionadas: nas sucessões de números aleatórios, um dado número deve ser independente dos seus vizinhos.

(ii) Longo período: idealmente, o gerador não deveria repetir um dado número, porque, uma vez repetido um valor, toda a seqüência anterior se repetira, já que o GNA é um algoritmo matemático. Na prática, é suficiente que o período do GNA seja maior do que o número de histórias necessárias em uma dada simulação.

(iii) Uniformidade: quase sempre, o problema se resume na geração de uma seqüência de números aleatórios uniforme, pois, através de transformações com base na fdp do problema, podem ser geradas ocorrências com a tendência desejada.

(iv) Reprodutibilidade: quando necessária, a repetição de uma simulação, resultados iguais devem ser obtidos, mesmo se tratando de diferentes máquinas.

(v) Velocidade: esta característica é função direta do código do GNA e da máquina utilizada na simulação. O ideal é sempre dispor de um código de implementação rápido e que dependa o mínimo possível da máquina.

(vi) Paralelização: computadores com esta arquitetura de hardware permitem uma geração de números aleatórios com mais eficiência.

As técnicas Monte Carlo descritas acima serão usadas no Código de Transporte de Radiação EGS4 (Electron Gamma Shower, versão 4) (NELSON et al., 1985) para simular a fonte radioativa, isto é, o estado inicial do sistema, acompanhar o transporte da radiação ao longo da geometria, decidir sobre o fenômeno que ocorre na interação da radiação com a matéria e avaliar a energia depositada por voxel.