3.3 MÉTODOS NUMÉRICOS

Os modelos matemáticos utilizados para o estudo do fluxo da água no solo são classificados como analíticos ou numéricos (Eliasson, 2000). Devido à complexidade do processo de fluxo da água no solo, a solução analítica para a modelagem do mesmo é, muitas vezes, restritiva, demandando simplificações como, por exemplo, a consideração do

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meio como homogêneo e isotrópico (Wang e Anderson, 1982). Para o tratamento mais realístico dessa questão, é geralmente necessário o uso de métodos numéricos para uma melhor solução dos modelos matemáticos de fluxo da água no solo (Bear e Verruijt, 1987). Os métodos numéricos constituem técnicas mediante as quais é possível formular problemas matemáticos de forma que possam ser resolvidos utilizando operações aritméticas (Chapra e Canale, 2003). Segundo Bear e Verruijt (1987), de uma forma geral, os métodos numéricos consistem em certos procedimentos adotados para a transformação de equações diferenciais parciais em equação ou sistema de equações algébricas.

Os métodos numéricos das diferenças finitas e dos elementos finitos são os mais usuais para a solução das equações de fluxo da água no solo sob condições variáveis de saturação (Simpson e Clement, 2003).

3.3.1 - Diferenças finitas

A discretização espacial do domínio no qual será aplicado o método das diferenças finitas é geralmente aproximada por uma malha formada por retângulos. De acordo com a posição onde se colocam os pontos a serem utilizados na análise numérica, a malha pode ser centrada nos vértices das células (mesh-centered nodes) ou no meio das células (block-

centered nodes). Na prática, em relação a estudos do fluxo da água no solo, a malha de

pontos localizados no centro das células é preferida em virtude da maior eficiência na programação computacional (Kinzelbach, 1986). Além disso, a discretização espacial efetuada dessa forma possibilita o cálculo mais aproximado das características médias de cada célula (Cabral e Demetrio, 2000).

Entre as vantagens desse método numérico em relação aos demais, tem-se que, para problemas mais simples, como nos casos de estudos unidimensionais com fluxo permanente em meio poroso isotrópico e homogêneo, sua formulação e implementação computacional é mais fácil de ser compreendida por aqueles sem muita base matemática e computacional. Entretanto, na medida em que os problemas aumentam em complexidade quanto ao formato do sistema e as características do meio, a solução numérica do problema pode requerer maior discretização do domínio com malhas irregulares ou curvas, o que dificulta a aplicação do método das diferenças finitas. Além disso, sendo o meio

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anisotrópico e heterogêneo, o uso do método das diferenças finitas perde em precisão. Nesses casos, o método dos elementos finitos é o mais recomendado (Istok, 1989; Cabral e Demetrio, 2000; Chapra e Canale, 2003).

O programa computacional MODFLOW, desenvolvido pela U.S. Geological Survey, e suas diferentes variantes, constitui a ferramenta mais difundida para a aplicação do método das diferenças finitas no estudo do fluxo da água no solo em até três dimensões.

3.3.2 - Elementos finitos

O método de elementos finitos é uma ferramenta numérica de resolução de problemas em meios contínuos. Ele consiste em dividir a região de estudo em certo número de elementos que são conectados por um conjunto de nós, geralmente posicionados nos vértices ou nos lados dos elementos.

A ideia fundamental do método dos elementos finitos consiste na substituição da solução exata de uma equação diferencial parcial por uma solução aproximada contínua, por partes (Cabral e Demetrio, 2000). Essa é mais uma das características que diferencia o método de elementos finitos e o de diferenças finitas, pois, neste último, a solução não é contínua no espaço, sendo determinada apenas nos nós.

Ainda que existam particularidades, a implementação do método de elementos finitos segue um determinado procedimento padrão. O primeiro passo consiste na divisão do domínio espacial do problema em elementos finitos. O segundo passo é formular uma integral para solucionar a equação diferencial que descreve o fenômeno a ser estudado. Essa formulação do problema na forma de integral resulta em um sistema de equações algébricas que pode ser solucionado para valores de uma variável de campo, em cada nó da malha. No caso de estudos do fluxo da água no solo, essa variável pode ser a carga hidráulica total (H), o potencial matricial da água no solo (h) ou o seu potencial gravitacional (z). Vários são os métodos que podem ser utilizados para a formulação da integral para a solução de equações diferenciais, como o variacional e o dos resíduos ponderados, por exemplo. O método dos resíduos ponderados é o mais utilizado para estudos do fluxo da água no solo (Istok, 1989).

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No método de resíduos ponderados, define-se uma solução aproximada que atenda as condições de contorno e iniciais do problema. Ao substituir esses valores aproximados (θ e H ) na equação diferencial que governa o fenômeno (Equação 3.7), é então gerada uma solução que possui um resíduo (erro) em cada ponto do domínio do problema. Nesse método, força-se a integral dos resíduos a ser igual a zero, conforme apresentado na Equação 3.13.

W x,y,z d = 0 (3.13) em que:

θ e H : valor aproximado da variável; W: função de ponderação espacial;

: domínio espacial do problema (L, L2 _{ou L}3_).

Os valores de θ e H podem ser aproximados, por exemplo, por meio de funções da seguinte forma:

x,y,z = Ni=1nn i x,y,z i (3.14)

H x,y,z = Nni=1n i x,y,z Hi (3.15)

em que:

nn: número total de nós no domínio do problema; Ni: função de interpolação espacial;

θi: valor (desconhecido) de θ no nó i, variável no tempo t; Hi: valor (desconhecido) de H no nó i, variável no tempo t.

Geralmente, adotam-se funções de interpolação (Ni) que sejam iguais a um (1) no nó i e zero (0) em qualquer outro nó do elemento. Contudo, existem outros tipos de funções de interpolação que podem ser utilizadas na formulação da solução aproximada para o valor de θ e H (Istok, 1989).

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Assim como no caso das funções de interpolação (Ni), a forma das funções de ponderação (W) também precisa ser especificada. Dependendo da especificação de W, são identificados os diferentes métodos dos resíduos ponderados, como o do subdomínio, o da colocação e o de Galerkin.

No caso do método do subdomínio, o valor de W é igual a um (1) em uma pequena parcela do domínio do problema que fica no entorno do nó i considerado e igual a zero (0) nos demais locais. O tamanho atribuído a esse subdomínio é, geralmente, igual à metade da distância entre os nós adjacentes. No método da colocação, o tamanho atribuído ao subdomínio em torno do nó é infinitesimal (muito pequeno), de forma que no nó i tem-se W igual a um e, no restante do domínio, igual a zero (Istok, 1989).

Outro método de resíduos ponderados é o de Galerkin, que é o mais utilizado para resolver problemas de fluxo de água e de transporte de solutos no solo (Istok, 1989). Nesse método, a função de ponderação (W) para um determinado nó i é idêntica à respectiva função de interpolação (Ni) definida para gerar a solução aproximada de θ e H (θ e H ).

Uma vez especificadas as formas das funções de interpolação (N) e de ponderação (W), o problema posto (Equação 3.13), após a aplicação da primeira identidade de Green e as respectivas simplificações requeridas, pode ser resolvido por meio de um sistema de equações algébricas representado em sua forma matricial na Equação 3.16 (Istok, 1989).

k H + d d θ _dt = F (3.16) em que:

[k]: matriz global de condutância ou de rigidez; [d]: matriz de capacitância;

{H}: vetor que representa os valores de H nos nós; {θ}: vetor que representa os valores de θ nos nós; {F}: vetor que representa os fluxos nos nós do contorno.

Entre os algoritmos computacionais existentes para a resolução de problemas de fluxo da água no solo utilizando o método numérico dos elementos finitos, podem-se citar os

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seguintes: o AQUIFEM (Wilson et al., 1979); o SSFLO (Koide, 1990); o algoritmo desenvolvido por Silva (1990); o MICROFEM (Hemker e Nijsten, 1996); o SVFlux (SoilVision Systems Ltd., 2006); o HYDRUS (Simunek et al., 1999); e o FEFLOW (Diersch, 2002), cada qual com suas peculiaridades para a resolução matemática dos problemas.