Métodos probabilísticos

A técnica empregada com intenção de obter o valor aproximado da confiabilidade da estrutura passa pela aplicação dos métodos probabilísticos. Assis et al. (2012) definem métodos probabilísticos como as ferramentas que permitem a avaliação de uma variável aleatória dependente a partir de sua função de desempenho e das características estatísticas das suas variáveis aleatórias independentes.

É interessante comparar os resultados entre diferentes métodos tendo assim uma ideia dos erros e aproximações envolvidos em cada um, já que um método por si só não apresenta resultados fixos e indubitáveis. Neste item são descritos dois dos mais empregados métodos para determinar a confiabilidade de obras geotécnicas.

2.1.3.1 Simulação de Monte Carlo Simples

A simulação de Monte Carlo (MCS - Monte Carlo Simulation) é um método computacional puramente probabilístico, que atribui um conjunto de valores aleatórios às variáveis de entrada do problema a ser estudado. Esses valores aleatórios são obtidos de acordo com a distribuição probabilística de cada variável aleatória. Com cada amostra de valores de entrada, uma interação (cálculo da função de estado limite)

é realizada e seu resultado (variável de interesse) é armazenado. Com o conjunto de resultados calculam-se seus momentos estatísticos e probabilidade de falha considerando o valor limite (crítico) para a análise.

A MCS pode lidar com funções de desempenho não regulares e não lineares. Por essa razão é um método bastante utilizado na solução de problemas complexos e na verificação de soluções analíticas aproximadas. Uma vez que não oferece limite para o número de variáveis aleatórias ou para a complexidade do modelo, a MCS resolve problemas com muitas ou poucas variáveis com a mesma capacidade (Beck, 2015).

A MCS não aplica nenhuma aproximação e por essa razão a geração de muitas interações torna-se necessária para que haja convergência do resultado e diminuição dos erros. Isso faz com que, apesar de sua simplicidade conceitual, um grande esforço computacional seja necessário para obter resultados com boa acurácia. A Equação 2.8 traz o valor de segundo o cálculo frequentista.

Em que é o número de avaliações de g(x) e o número de avaliações em que g(x) < 0, ou seja, que estão no domínio de falha.

A simulação de Monte Carlo converge para o valor exato de probabilidade de falha quando . No entanto, como vai se trabalhar com um conjunto de tamanho finito tem-se um erro estatístico decorrente do número de amostras (Beck, 2015). Esse erro estatístico é matematicamente representado pelo C.V. de dado segundo a Equação 2.9:

√

√

A Equação 2.9 mostra que para um mesmo quanto menor a ordem de grandeza da probabilidade de falha o número de avaliações vai aumentando até se tornar impraticável. Dessa forma, trabalha-se com um número adequado de avaliações da função de desempenho que conduza a mais pontos no domínio de falha, uma menor variância de e um tempo de avaliação de g(x) praticável.

Esse valor de para a solução do problema por Monte Carlo pode ser obtido por tentativas, avaliando através de um gráfico a convergência do valor de através do aumento de , assumindo um determinado nível de confiança. Como observa Beck (2015), pela Equação 2.9, uma da ordem de com demanda

aproximadamente um número de simulações . Assis et al. (2012) trazem a Equação 2.10 como uma estimativa das avaliações necessárias.

(

)

Em que é o número de variáveis aleatórias independentes, é o erro (tolerância) admitida na simulação de Monte Carlo e ⁄ é um parâmetro de

confiabilidade tabelado que depende do nível de confiança adotado. Por exemplo, para um igual a 5%, o nível de confiança é de 95% e ⁄ é 1,96 (Assis et al. , 2012).

Para verificar a qualidade das simulações de Monte Carlo utiliza-se um gráfico de convergência que mostra a precisão de seu resultado pela variação continua do valor médio de e de seu intervalo de confiança à medida que se aumenta o número de avaliações da função de estado limite.

Conceitualmente a simulação de Monte Carlo não fornece o valor do índice de confiabilidade . No entanto, supondo que os resultados da simulação podem ser ajustados por uma distribuição normal de média e desvio padrão , juntamente com o valor limite escolhido para o critério de falha da análise, tem-se que o aproximado será:

2.1.3.2 Aproximação de Hasofer-Lind (FORM)

Conhecido também pela sigla FORM (First Order Reliability Method), esse método foi proposto por Hasofer e Lind (1974). Para o FORM foi atribuída uma definição diferente para o . O pode ser interpretado de forma geométrica como a

distância “d” entre o pico da distribuição das variáveis aleatórias e a função que define a condição de ruptura em um espaço adimensional. A Figura 2.4 mostra essa definição.

Figura 2.4 – Variáveis aleatórias adimensionais (S’ e R’) mostrando a definição de segundo o FORM. Fonte: Baecher e Christian (2003). Adaptado.

No método FORM não é necessário encontrar a distribuição da função de desempenho g(x), podendo a mesma ter qualquer forma, desde que seu critério de ruptura seja linear. A equação de estado limite g(x) é linearizada pela expansão de primeira ordem de Taylor. O método inicia com a amostra das variáveis aleatórias independentes de g(x) com seus valores médios. Os valores dessa amostra são então aproximados, pela transformação Iso-probabilística T, de seu espaço físico original para um espaço normal padrão U.

A análise procede com a procura do ponto de projeto ou ponto de maior probabilidade (MPP, Most Probable Point), que representa o ponto com maior densidade de probabilidade. Esse é o ponto da função de estado limite (função de desempenho) mais próximo da origem do espaço padrão. Nesse ponto de projeto os valores das variáveis aleatórias são aqueles que causariam a ruína da obra segundo o critério estabelecido caso fossem alcançados.

O FORM é um método de otimização, em que o resultado de uma interação é utilizado para determinar os novos valores de entrada para as variáveis aleatórias na

interação seguinte. O índice de confiabilidade pode ser negativo ou positivo, baseado no fato de que os valores médios das variáveis no espaço padrão estejam centralizados dentro do domínio de falha ou não.