G X é uma função linear das variáveis aleatórias X então ( ) i também é
2.10 Funções de estado limite implícitas
2.10.2 Métodos probabilísticos de elementos finitos
A análise de fiabilidade é facilitada quando a função de estado limite é dada de forma explícita. No entanto, para funções de estado limite implícitas é necessário utilizar abordagens apropriadas. Uma das hipóteses é utilizar métodos probabilísticos de elementos finitos (do inglês SFEM). Estes são utilizados quando se quer aplicar o método dos elementos finitos que tem em conta as incertezas nas propriedades geométricas e/ou dos
materiais de um sistema estrutural, assim como das cargas aplicadas. Normalmente, essas incertezas estão distribuídas espacialmente ao longo da estrutura sendo modeladas através de campos aleatórios. Estes métodos são uma ferramenta muito poderosa, sendo muito utilizados em variadíssimas áreas, como por exemplo na análise de sistemas estruturais. Os primeiros trabalhos limitavam-se a estruturas com comportamento linear ou não linear mas traduzido por relações simplistas. O interesse nestes métodos aumentou a partir do momento em que se percebeu que em algumas estruturas a resposta é bastante sensível às propriedades dos materiais, e que mesmo pequenas oscilações podem afectar severamente a fiabilidade estrutural principalmente em problemas onde há grande não linearidade (Der Kiureghian, 1985; Vanmarcke et al., 1986; Nakagiri et. al., 1987; Benaroya e Rehak, 1987; Shinozuka e Deodatis, 1988; Yamazaki et al., 1988; Der Kiureghian e Ke, 1988; Spanos e Ghanem, 1989; Bjerager, 1990; Brenner, 1991; Shinozuka, 1991; Der Kiureghian et al., 1991; Kleiber e Hien, 1992; Frangopol et al., 1996; Schueller, 1997; Matthies et. al., 1997; Ghanem, 1999; Frangopol e Imai, 2000; Haldar e Mahadevan, 2000a; Sudret e Der Kiureghian, 2002; Ghanem e Spanos, 1991, 2003). Estes métodos foram desenvolvidos de forma a incorporarem as incertezas dos parâmetros estruturais, como por exemplo o efeito aleatório na matriz de rigidez e nos vectores das forças (Chaudhuri e Chakraborty, 2006). Em seguida vai apresentar-se uma pequena revisão sobre métodos de avaliação da segurança estrutural identificando algumas áreas, dentro da imensa vastidão que existe hoje em dia, que requerem alguma atenção.
A maior parte das investigações e aplicações dentro da área dos métodos probabilísticos de elementos finitos têm sido limitadas a estruturas lineares elásticas. No entanto, alguns autores estudaram os efeitos das incertezas nas propriedades de materiais com comportamento não linear, como por exemplo, Zhang e Ellingwood (1996), Liu e Der Kiureghian (1991a) e Teigen et al. (1991a, 1991b). Métodos de simulação em campos aleatórios foram revistos por Shinozuka e Deodatis (1991, 1996). Já na área da avaliação da segurança contra sismos Der Kiureghian (1996) apresenta uma revisão de métodos para a avaliação da fiabilidade estrutural. Os artigos apresentados por Ibrahim (1987), Casciati
et al., (1997), Manoharand e Ibrahim (1999) e Di Paola et al. (2004) fornecem alguns
progressos que foram surgindo em problemas de dinâmica estrutural com incertezas nos parâmetros assim como alguns algoritmos de aplicação. Rackwitz (1998) apresenta algumas técnicas computacionais de fiabilidade relacionadas com combinações de cargas
com aplicações em problemas com variações ao longo do tempo. Rackwitz (2000) apresenta uma discussão com exemplos que indiciam possíveis falhas em alguns métodos de análise de fiabilidade. Yao (1985) e Melchers (2001) apresentam alguns desenvolvimentos na análise de fiabilidade de estruturas existentes e referem a necessidade de continuar a investigação dentro desta área. Os trabalhos realizados por Cheng e Yang (1993) e Schueller (1997) abordam aspectos teóricos assim como a evolução em termos computacionais na área da mecânica estrutural. Aliás, tal como noutros ramos da engenharia e não só, o aparecimento, nos últimos anos, de computadores cada vez mais rápidos tem influenciado bastante os desenvolvimentos ocorridos nesta área (Johnson et
al., 2001). Outros factores que também contribuíram para esse desenvolvimento são o
aumento da disponibilidade de dados sobre fenómenos naturais raros e/ou aleatórios como por exemplo os sismos e os recentes desenvolvimentos da tecnologia de sensores no campo da monitorização.
2.10.2.1 Métodos para discretização de campos aleatórios
Tal como já foi referido, a variabilidade espacial das propriedades geométricas e mecânicas de um sistema estrutural assim como a intensidade das cargas podem ser representadas através de campos aleatórios. O conceito de campo aleatório é muitas vezes utilizado para modelar a variabilidade espacial dos parâmetros de um problema (Vanmarcke, 1988). Como consequência do facto de ser um modelo contínuo, um campo aleatório necessita de uma discretização apropriada (Zeldin e Spanos, 1998). Além disso, devido à natureza discreta do método dos elementos finitos um campo aleatório deve ser discretizado em variáveis aleatórias. Assim, em todos os métodos a natureza aleatória de um problema é transformada numa estrutura equivalente com um número finito de variáveis aleatórias. Desta forma, um campo aleatório pode ser visto como uma extensão espacial de uma variável aleatória, sendo definido pela sua média e covariância. Foram desenvolvidos vários processos para a discretização de campos aleatórios utilizados com os SFEM. Na literatura estão disponíveis muitos estudos que permitem passar de um campo aleatório para um conjunto de variáveis aleatórias (Vanmarcke, 1983, 1988; Vanmarcke et al., 1986; Yamazaki et al., 1988; Li e Der Kiureghian, 1993; Liu et al., 1986, 1995; Ditlevsen, 1996; Matthies et al., 1997).
Seja H X um campo aleatório que modela a variabilidade da propriedade de um ( ) material, da geometria ou da quantidade de carga de uma estrutura no espaço. Diz-se que um campo aleatório é univariado ou multivariado dependendo se H X , que está ( ) relacionado com o ponto X, é uma variável aleatória ou um vector aleatório. Normalmente, assume-se que H X é Gaussiano pois dessa forma ele pode ser completamente definido ( ) através da sua função média μH ( )X , variância σH2 ( )X e coeficiente de correlação
(
)
HH X , Xi j
ρ . Além disso H X é homogéneo, como na prática normalmente se assume, ( ) se as funções média e variância são constantes e ρHH( )⋅ é apenas função de Xj −Xi. Estas propriedades simplificam a modelação de campos aleatórios.
Um dos primeiros aspectos a ter em conta quando se analisa um modelo matemático é a sua consistência, não só do modelo em si mas também com a realidade que representa. Assim, embora a utilização de campos Gaussianos seja conveniente, não é consistente assumir que, por exemplo, o módulo de elasticidade E ou a área A de um elemento estrutural possam ser representados por um campo aleatório Gaussiano. Se tal for considerado algumas das realizações dessas variáveis não terão solução e além disso os resultados terão variância infinita (Ditlevsen, 1995). Para descrever essas variáveis é necessário a utilização de modelos não Gaussianos. Para contornar essa dificuldade Yamazaki et al. (1988) e Wall e Deodatis (1994) restringiram a variação das amostras de campos Gaussianos da seguinte forma:
( )
1 ε f x 1 ε ; 0 ε 1
− + ≤ ≤ − < < . (2.77)
A limitação é realizada de forma a obter uma simetria nas variações em torno dos valores determinísticos. Aproximações a campos aleatórios Gaussianos semelhantes a esta utilizando distribuições com amplitudes limitadas foram apresentadas também por Iwan e Jensen (1993). Uma forma mais sistemática de obter campos aleatórios não Gaussianos é através transformações não lineares. Isto pode ser conseguido considerando
( )
[
( )]
w x =T u x , onde T é uma função não linear e ( )u x um campo Gaussiano (Grigoriu, 1984; Der Kiureghian e Liu, 1986; Der Kiureghian, 1987; Yamazaki e Shinozuka, 1988). Este tipo de transformações permite caracterizar w x( ) em função da média e covariância de ( )u x . Uma destas transformações é a distribuição de Nataf que é referida no capítulo 3,
secção 3.5.3., sendo muito utilizada para modelar campos não Gaussianos. Se w x( ) é um campo não Gaussiano com média μw( )x , covariância Cww
(
x, x′ e função distribuição)
(
)
w
F w, x , de acordo com o modelo de Nataf a transformação:
( ) 1
(
)
w
u x = Φ ⎣− ⎡F w, x ⎤⎦ (2.78)
é Gaussiana. Assim, ( )u x tem média zero, variância unitária e covariância C x, x′ dada
(
)
pela equação:(
)
w1[
( )( )]
w( ) w1[
( )( )]
w( )(
)
ww w w F t x F s x C x, x t, s,C x, x dtds x x μ μ φ σ σ +∞ +∞ − − −∞ −∞ ′ Φ − Φ − ′ = ⎡⎣ ′ ⎤⎦ ′∫ ∫
(2.79)onde φ[ ]⋅ representa a função densidade de probabilidade conjunta de
(
T , S .)
Normalmente Cww(
x, x′)
≤ C x, x(
′)
e embora para a maior parte das transformações(
)
(
)
ww
C x, x′ ≈C x, x′ Der Kiureghian et al. (1991) apresentam um conjunto de fórmulas empíricas que relacionam C x, x′ com
(
)
Cww(
x, x′ para algumas das distribuições mais)
utilizadas. Manohar et al. (1999) apresentou um conjunto de problemas onde as propriedades dos materiais têm variabilidade espacial e a informação disponível sobre essa variabilidade se resume apenas à média, amplitude e covariância dos campos aleatórios. Outros trabalhos desenvolvidos por alguns autores sobre modelos de campos aleatórios não Gaussianos para as propriedades dos materiais podem ser vistos em Elishakoff et al. (1995) e Sobczyk et al. (1996). Também Grigoriu (1995) apresentou um trabalho bastante extensivo sobre dados não Gaussianos, modelos matemáticos que geram campos não Gaussianos assim como classes de campos não Gaussianos. Schevenels et al. (2004) apresentam uma adaptação do SFEM para calcular a resposta de sistemas não Gaussianos. A qualidade de uma discretização depende do número de variáveis aleatórias introduzidas na formulação do problema (este aspecto está directamente relacionado com o esforço computacional) assim como do tamanho da malha de elementos finitos. O problema relacionado com a selecção e refinamento do tamanho da malha de elementos finitos para a discretização de campos aleatórios em problemas de fiabilidade foi analisado e apresentado por Liu e Liu (1993).Os métodos de discretização podem ser divididos em métodos de discretização pontual, métodos de discretização média ou métodos de discretização por expansão em séries. Em seguida vão apresentar-se oito métodos para representar campos aleatórios em função de variáveis aleatórias. A aplicação do método da média espacial e dos dois primeiros métodos de expansão em série estão limitados a campos aleatórios Gaussianos. Os métodos do ponto médio, dos pontos nodais, da expansão de caos homogénea e da expansão em série de Taylor são numericamente estáveis e podem aplicar-se a todos os tipos de campos aleatórios.
2.10.2.1.1 Métodos de discretização pontual
Os métodos de discretização pontual são utilizados para representar as incertezas de um campo aleatório, H X , através de valores situados em um ou mais pontos específicos ( ) (Matthies et al., 1997). Para um campo aleatório H X , o valor discretizado num ( ) determinado ponto i é dado por:
( )
i i
H =H X (2.80)
onde X representa as coordenadas do ponto i. i