Nessa classe, a posição da interface é calculada através de interpola- ções entre os pontos (ou marcadores). A vantagem do método é o fato de captar interfaces bem definidas à medida que a mesma é transportada ao
longo da malha, facilitando o cálculo da curvatura da interface, parâme- tro necessário para o cálculo da força de tensão superficial. A seguir, são apresentadas algumas formas de marcação da interface.
2.1.1.1 Partículas na Interface
Nesse método, a interface é definida através de partículas conecta- das que são advectadas em uma malha fixa pelas velocidades locais resul- tantes, conforme ilustrado na Figura 2.1a. Uma vez que estas partículas são acompanhadas ao longo de sua trajetória, esta classe de métodos é também chamada de "acompanhamento Lagrangeano" (do inglês, La-
grangian Interface Tracking). O método possui algumas desvantagens,
como visto em Ubbink (1997), sendo a principal delas o fato da necessi- dade de apagar e criar novas partículas ao longo das iterações, uma vez que as partículas não mantém seu espaçamento ao longo do movimento da interface.
2.1.1.2 Malha Coincidente com a Interface
Nesse método a malha computacional é gerada de forma que as fa- ces dos elementos ou volumes de controle coincidam com a interface, e a posição de seus nós é atualizada a partir da velocidade da mesma. Ubbink (1997) cita alguns trabalhos que utilizam esse método, bem como a razão por sua preferência, sendo elas: i) redução do armazenamento compu- tacional devido a não necessidade do uso de marcadores; ii) facilidade de capturar grandes mudanças de direção na interface e iii) evitar células parcialmente ocupadas (ou vazias no caso de escoamentos livres entre água-ar).
A grande vantagem de sua utilização também está na facilidade e precisão da aplicação das condições de contorno, uma vez que a interface se movimenta com a malha. Por outro lado, no caso de grandes deforma- ções, a malha sofrerá grandes distorções, sendo necessária a criação de novas malhas durante o processo, adicionando complexidade ao método e maior esforço computacional, além de dificultar a conservatividade do método.
2.1.1.3 Método Front-Tracking
De acordo com Faghri & Zhang (2006), essa classe pode ser definida como uma combinação entre o método de superfície e volume, pelo fato de incorporar em parte o conceito do método de partículas na interface e uma função que indica a presença das diferentes fases. Na técnica de- senvolvida por Unverdi & Tryggvason (1992), a interface e sua posição são definidas a partir de pontos marcadores que são transportados pelo campo de velocidades compartilhado entre as duas fases, de forma pare- cida como a mostrada na Figura 2.1a. A partir da posição da interface definida com o auxílio dos pontos marcadores, o domínio físico é dis- cretizado por uma malha computacional fixa e outra móvel, como visto na Figura 2.1b. Como a presença ou não de certa fase em uma deter- minada região do domínio é representada por uma função indicadora, apenas um conjunto de equações governantes precisa ser resolvido. Os valores na interface são computados mediante funções de interpolação e o método não é necessariamente conservativo devido a necessidade de criação/destruição dos pontos que definem a interface em determinadas situações.
2.1.1.4 Método Level-set
Uma função contínua, conhecida como level-set functionΦ é defi- nida em todo o domínio computacional (Osher & Sethian, 1988; Sethian & Smereka, 2003). O valor deΦ representa uma função qualquer, sendo ela
Φ
(x) = d (x) = min xI∈I (|x − xI|) (2.1)em que I representa a interface entre as duas fases,Φ(x) > 0 representa um lado da interface eΦ(x) < 0 o outro. A advecção de Φ não é realizada de maneira conservativa, ou seja, o volume dentro da curva ou superfície de nível (Φ=0) não é conservado. Essa é uma das maiores desvantagens do método e formas de contornar esse problema são propostas em Olsson & Kreiss (2005), Sussman & Puckett (2000) e Yang & Mao (2002).
da interface é dada pela função de Heaviside H(Φ): (
H(
Φ
) = 0,Φ
< 0 H(Φ
) = 1,Φ
> 0(2.2)
Para os cálculos computacionais, em função da dificuldade de se reproduzir a descontinuidade entre as fases, é proposta uma função de Heaviside modificada, como em Olsson & Kreiss (2005)
Hm(
Φ
) = 0,Φ
< −ε 1 2+ Φ 2ε+ 1 2πsin πΦ ε , − ε <Φ
< ε 1,Φ
> ε (2.3)em queε corresponde à metade de uma espessura artificial da interface, haja visto que por definição ela não possui volume e massa.
Nesse método, uma propriedade material qualquerη da mistura é uma função deΦ. Para uma mistura bifásica (k = 1, 2), tem-se:
η(
Φ
) = η1+ (η2− η1)Φ
(2.4)As direções normais ˆn e curvaturasκ são facilmente obtidas nesse método de captura de interface, através de
ˆ n= ∇Φ |∇Φ| (2.5) e κ = −∇ · ∇Φ |∇Φ| (2.6)
Assumindo que a interface é advectada por um campo de velocida- des u, ou seja, para cada ponto x da interface tem-se
d x
d t = u(x). (2.7)
longo do domínio é (Osher & Sethian, 1988),
∂ Φ
∂ t + u · ∇
Φ
= 0 (2.8)Para um escoamento incompressível (∇ · u = 0), e a Equação (2.8) torna-se,
∂ Φ
∂ t + ∇ · (
Φ
u) = 0 (2.9)Após algumas iterações,Φ não mais será uma função de distância (|∇Φ| 6= 1), mesmo que a interface avance com a velocidade correta u. Assim, passada algumas iterações, é necessário reinicializar os valoresΦ. Uma das formas geralmente utilizadas para realizar a reinicialização deΦ é (Sussman et al., 1994),
∂ Φ
∂ τ = sign(
Φ
0)(1 − |∇Φ
|), (2.10)em queΦ0é a função level-set no tempo computacional (Φ0(x) = Φ(x,τ = 0)), τ é um tempo virtual de reinicialização e sign é a função sinal. Utili- zando essa abordagem, à medida que|∇Φ| se afasta de 1, os valores de Φ0 próximos da interface são alterados eΦ se tornará novamente uma função de distância.
Entretanto, na reinicialização o método torna-se não conservativo, sendo necessário algumas ações para conservar a área da interface (ou volume para um caso tridimensional) delimitada por−ε < Φ < ε. Yang & Mao (2002) utilizam a Equação (2.10) em conjunto com equações de con- servação de área para resolver o problema. Já Sussman & Puckett (2000), apresentam o coupled level set/volume-of-fluid (CLSVOF) que utiliza o uso das propriedades conservativas do VOF e a facilidade das aproxima- ções das curvaturas e normais do level-set.