Definição 1.96 (Λ-Módulo Livre Graduado). Por um Λ-módulo livre graduado que- remos dizer um Λ-módulo graduado M = {Mp}p∈J tal que cada Mp é livre.
Definição 1.97 (Λ-Módulo Finitamente Graduado). Um Λ-módulo finitamente gra- duado M é tal que valem as seguintes condições:
(i) M = {Mp}p∈J é um Λ-módulo livre graduado.
(ii) Cada Mp é finitamente gerado.
(iii) Mp é trivial exceto para um número finito de inteiros p.
Sejam M = {Mp}p∈J um Λ-módulo finitamente graduado e h : M −→ M um Λ-
morfismo de grau zero, então faz sentido definirmos o traço de h por T r(h) =X
p∈J
T r(hp).
Recordando o morfismo de sinal alternante h definido em 1.87, vamos então definir: Definição 1.98 (Número de Lefschetz de h). O número de Lefschetz L(h) do mor- fismo h é tal que
Capítulo 2
Complexos Simpliciais
2.1
Conceitos Introdutórios
Definição 2.1 (Poligonal). Uma poligonal é uma figura plana formada por uma sequên- cia de pontos P1, P2, . . . , Pn e pelos seguimentos P1P2, P2P3, . . . , Pn−1Pn. Os pontos são
os vértices da poligonal e os segmentos são os seus lados .
Definição 2.2 (Polígono). Um polígono é uma poligonal em que as seguintes 4 condições são satisfeitas:
i) Pn= P1;
ii) Os lados da poligonal se interceptam somente em suas extremidades; iii) Cada vértice é extremidade de dois lados;
iv) Dois lados com mesma extremidade não pertencem a uma mesma reta;
Exemplo 2.3. Vejamos alguns exemplos de polígonos e de figuras que não são polígonos:
Tabela 2.1: Polígonos.
Tabela 2.2: Figuras que não são Polígonos.
Não é um polígono, pois Não é um polígono, pois
não vale a condição i) da definição2.2. não vale a condição ii) da definição 2.2.
Não é um polígono, pois Não é um polígono, pois
não vale a condição iii) da definição2.2. não vale a condição iv) da definição2.2.
Definição 2.4 (Região Triangular). Uma região triangular , figura 2.1, é um conjunto de pontos do plano formado por todos os segmentos cujas extremidades estão sobre os lados de um triângulo. O triângulo é chamado de fronteira da região triangular. O conjunto de pontos de uma região triangular que não pertencem a sua fronteira é chamado de interior da região triangular.
Figura 2.1: Região Triangular.
Definição 2.5 (Região Poligonal). Uma região poligonal é a união de um número finito de regiões triangulares que duas a duas não têm pontos interiores em comum, figura 2.2.
Figura 2.2: Região Poligonal.
Definição 2.6 (Ponto Interior a uma Região Poligonal). Um ponto é interior a uma região poligonal se existe alguma região triangular contida na região poligonal e contendo o ponto no seu interior. O interior da região poligonal é o conjunto dos pontos que lhe são interiores. A fronteira da região poligonal é constituída pelos pontos da região que não pertencem ao seu interior.
Figura 2.3: P é ponto interior a região e Q é ponto de fronteira.
Definição 2.7 (Região Poligonal determinada por um Polígono). A região poligonal determinada por um polígono é a região poligonal cuja fronteira é o polígono.
Exemplo 2.8. Dado o polígono L abaixo, figura 2.4, quem será a região poligonal R determinada por L?
Figura 2.4: Polígono L.
Pela definição 2.7, temos que R será a região poligonal cuja fronteira é L, e pela definição 2.5, temos que R será a união de um número finito de regiões triangulares que duas a duas não têm pontos interiores em comum, ou seja, como a fronteira de R é L e R é uma união finita de regiões triangulares sem pontos interiores em comum, duas a duas, então R está na região do plano que é interior à fronteira L e a interseção entre regiões
triangulares de R é não vazia, pois caso contrário a fronteira de R não seria apenas L, logo toda a região interior à fronteira L é preenchida e formada por uma união finita de regiões triangulares sem pontos interiores em comum, duas a duas. Vejamos como isso se configura geometricamente:
Desse modo temos várias possibilidades de representação para R, vejamos duas dessas possibilidades:
Tabela 2.3: Possibilidades de representar a região poligo- nal R.
Possibilidade 1, para representar R. Possibilidade 2, para representar R.
Mas ainda, pela definição2.6, temos que os pontos interiores de R são todos os pontos que não pertencem a fronteira L tais que existem regiões triangulares contidas em R contendo tais pontos em seus interiores, ou seja, a região R é o conjunto de todos os pontos interiores às regiões triangulares que já a formam, mais todos os pontos de fronteira destas regiões tal que a interseção destes com a fronteira L é vazia.
Portanto, desse modo, podemos omitir a coleção finita de regiões triangulares que formam a região R representando-a apenas de maneira “cheia”, com seus pontos interiores e sua fronteira o polígono L.
Figura 2.5: Região poligonal R determinada pelo polígono L.
Sejam L o polígono da figura2.4e R a região poligonal determinada por L, figura 2.5. Podemos extrair de L uma coleção Lg contendo seus vértices e arestas. Mais explicita-
mente:
A menos de ordem, considerada dos vértices para as arestas, essa coleção Lg é dada
por
Lg = {P1, P2, P3, P4, P5, P6, P1P2, P2P3, P3P4, P4P5, P5P6, P6P1}.
De maneira análoga, podemos extrair da região poligonal R uma coleção Rg contendo
seus vértices, arestas e suas regiões triangulares, já que por definição R é uma soma finita de regiões triangulares que duas a duas não tem pontos interiores em comum, ver definição
2.5. Nesse momento poderá surgir uma questão: Essa coleção Rg que queremos extrair da
região poligonal R é única? A resposta é evidente, não. Como visto no exemplo anterior, exemplo2.8, pelas figuras 2.3, possibilidade 1 e 2, temos dois exemplos de como podemos representar a mesma região poligonal R por meio de regiões triangulares. Então para o nosso interesse neste momento, escolhemos, por exemplo, a coleção Rg de vértices, arestas
e regiões triangulares que podemos extrair da região poligonal R determinada por L tendo em vista a representação da mesma pela figura2.3possibilidade 1. Explicitamente temos: A menos de ordem, considerada dos vértices para as arestas e para as regiões triangu- lares, temos
Rg = {P1, P2, P3, P4, P5, P6, P1P2, P2P3, P3P4, P4P5, P5P6, P6P1, P6P2,
P6P3, P6P4, ∆P1P2P6, ∆P2P3P6, ∆P3P4P6, ∆P4P5P6}.
Onde, ∆PiPjPk representa a região triangular de vértices Pi, Pj e Pk.
Ainda, observemos também que fixado um plano α e dados os pontos (vértices) P1, P2, . . . , P6 em α, podemos, a partir dos elementos de Lg (ou respectivamente Rg),
reconstruir o polígono L (ou respectivamente região poligonal R). Este processo de re- construir a figura a partir de uma coleção Kg, nós indicaremos por |Kg|. No caso em
questão, temos |Lg| = L e |Rg| = R.
Quando introduzirmos o conceito de K -Simplexo, veremos que os Complexos Simpli- ciais Geométricos são generalizações para a criação destas coleções, ou seja, é uma coleção Kg de vértices, arestas, triângulos e outros K -Simplexos, obedecendo determinadas con-
dições.
Podemos ainda formar uma outra coleção considerando apenas os conjuntos dos índices {i} dos pontos Pi, os conjuntos dos índices {i, j} das arestas PiPj, os conjuntos dos índices
{i, j, k} das regiões triangulares ∆PiPjPk, e assim por diante. Vejamos, para o polígono
L temos:
Para a região poligonal R temos:
Ra= {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 1}, {6, 2}, {6, 3},
{6, 4}, {1, 2, 6}, {2, 3, 6}, {3, 4, 6}, {4, 5, 6}}.
Os conjuntos La e Ra, obtidos de L e R respectivamente, são subconjuntos das partes
do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} e são chamados de Complexos Simpliciais Abstratos.
As coleções La e Ra estão intimamente relacionadas com as coleções Lg e Rg respecti-
vamente. No entanto, recuperar o polígono L ou a região poligonal R enfocando apenas La ou Ra respectivamente é bem mais difícil. Por exemplo, pela definição2.25 temos que
o elemento 1 de La é apenas um símbolo e o elemento P1 de Lg é um ponto do plano,
portanto mais geométrico.
Nos tópicos seguintes vamos precisar essas coleções Kg, Ka, o espaço K e além disso
quando dados um deles obter os outros dois.