A hipótese de corpo esbelto nos permite imaginar na possibilidade de tratarmos um problema tridimensional aproximado a uma série de problemas bidimensionais estudados em planos transversais que foi o desenvolvido por SALVESEN [7] . Em decorrência deste resultado, esta forma de estudo é chamada de teoria das faixas. A hipótese de corpo esbelto significa que as relações entre boca–comprimento (B/L) e calado-comprimento (T/L) são pequenas e que:
Sendo assim, o cosseno diretor na direção x é desprezível comparado com as outras componentes e podemos aproximar a equação de Laplace tridimensional pela sua expressão bidimensional.
Entretanto, a integral para determinação da parte hidrodinâmica das forças apresenta uma derivada em x como pode ser visto a seguir:
Isto significa que temos que resolver um problema de valor de contorno tridimensional para obtermos o potencial tornando inviável a aproximação do problema tridimensional por uma série de problemas bidimensionais. Assim é conveniente aproximar esta integral da seguinte forma:
Com isso podemos determinar as propriedades hidrodinâmicas em cada seção do corpo e posteriormente proceder a derivação.
A única simplificação feita até agora foi a de corpo esbelto, porém para a aplicação desta teoria o corpo deve ser considerado como um corpo rígido, flutuando na superfície de um fluido ideal, este homogêneo, incompressível, irrotacional, sem viscosidade e livre de tensões na superfície. É assumido que o problema dos movimentos do corpo flutuante é de pequenas amplitudes e pode ser linearizado, como discutido anteriormente.
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Para o uso da teoria das faixas é assumido que a frequência das ondas incidentes é alta com comprimento de onda da mesma ordem que a boca do navio. Assim, temos que as ondas radiadas e difratadas terão pequenos comprimentos de onda e se propagarão paralelamente ao eixo longitudinal do navio.
Reunindo todas as hipóteses citadas temos as seguintes modificações das equações apresentadas para o problema de valor de contorno:
1. A equação de Laplace tridimensional pode ser aproximada pela sua expressão bidimensional:
2. o cosseno diretor na direção x é desprezível comparado com as outras componentes:
Assim, na condição de contorno na superfície do corpo, podemos utilizar o vetor unitário no plano x constante e igual a zero de tal forma que:
E a condição de contorno sobre cada seção fica reduzia a: Onde:
3. A condição de contorno na superfície livre em z=0 fica reduzida a:
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Reunindo as pressões das forças hidrostáticas, hidrodinâmicas e do peso e aplicando a segunda lei de Newton temos então a equação do movimento:
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4 M
ÉTODO
B
IDIMENSIONAL
XM
ÉTODO TRIDIMENSIONAL
A determinação teórico-numérica do comportamento do navio no mar tem evoluído consideravelmente nos últimos 50 anos. Atualmente temos duas linhas de métodos para a determinação da resposta do navio em mar, o método bidimensional e o método tridimensional.
O método bidimensional, referenciado como teoria das faixas [7] foi a primeira metodologia a descrever adequadamente os movimentos de navios esbeltos. Porém, o efeito da tridimensionalidade dos navios não foi adequadamente representado por essa teoria.
O método tridimensional permite capturar melhor a influencia da geometria do navio. Para o método tridimensional existem algumas variações em relação ao tratamento
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matemático do problema que foram surgindo ao longo do tempo. A formulações tridimensionais podem ser divididas em dois grupos: as que são baseadas na função de Green e as baseadas nas fontes de Rankine.
A fim de comparar os dois métodos propostos para a resposta de um corpo rígido sujeito a forças de excitação do mar achou-se conveniente plotar as respostas (RAO) a partir dos dois métodos para uma mesma embarcação e fazer uma análise crítica das mesmas.
Para o método tridimensional usou-se do software comercial WAMIT, baseado na teoria potencial tridimensional. No caso do cálculo pela teoria das faixas, será utilizado um código de avaliação dos movimentos de heave e pitch de um navio em ondas regulares, desenvolvido internamente, a partir de códigos abertos publicados na literatura.
Neste sentido, o gráfico abaixo apresenta uma comparação de RAOs levantados a partir dos dois códigos citados:
Gráfico 2 - RAO método bidimensional x Método tridimensional
Como podemos observar as duas curvas se comportam de forma igual ao observarmos o trecho compreendido pelas baixas e altas frequências:
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 0 0,5 1 1,5 2 R A O (M /M ) FREQUÊNCIA(RAD/S)
RAO HEAVE
2D
3D
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Gráfico 3 - RAO método bidimensional x Método tridimensional - Faixa de Frequências
O comportamento em altas frequências similar ao método 3D já era esperado, pois como discutido quando abordado a teoria das faixas, assumimos que as frequência das ondas incidentes é alta com comprimento de onda da mesma ordem que a boca do navio, assim, o resultado da teoria das faixas para altas frequências é bastante satisfatório.
O comportamento em baixas frequências é explicado a partir da equação do movimento:
Ao tratarmos então de baixas frequências, os 2 primeiros termos da equação tendem a zero:
Restando apenas a parcela hidrostática da força:
Temos assim:
Como a parcela hidrostática da força é, praticamente, precisamente calculada pela teoria das faixas, temos bons resultados para baixas frequências com o uso do método bidimensional.
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Assim, para obtermos resultados acurados para todas as frequências e poder capturar a tridimensionalidade do casco, visto que o estudo de caso objetiva observar a influencia da geometria do casco nos seus movimentos verticais, iremos usar o método tridimensional para o nosso estudo.
Uma ressalva a ser feita nessa seção é que a prática comum da hidrodinâmica é comparar resultados teóricos à experimentais a fim de fazer a validação de uma teoria, entretanto, o método baseado na teoria potencial tridimensional implementado no software comercial WAMIT, há anos apresenta bons resultados ao tratar da hidrodinâmica de corpos flutuantes.
Outra discussão sobre o confronto entre o método bidimensional e tridimensional é em relação à velocidade de avanço. Ao inserirmos a velocidade de avanço no potencial de velocidades, como discutido anteriormente, temos o seguinte potencial:
Sendo o potencial – o potencial representativo do efeito da velocidade de avanço e é potencial de velocidade quando o corpo é forçado a oscilar na frequência de encontro. Usando a integral da equação de Euler, desconsiderando o termo de pressão hidrostática, e mantendo os termos do potencial de velocidades linearizados, temos que a pressão atuando no corpo é:
A parcela da pressão proporcional à velocidade de avanço U gerará termos de massa adicional e amortecimento dependentes da velocidade de avanço. A condição de contorno da superfície do corpo também sofre alterações pela presença da velocidade de avanço, como visto.
Assim, uma análise de corpos com velocidade de avanço pelo método tridimensional é complicada. Para fins práticos, o uso da teoria das faixas é recomendado quando se trata de corpos com velocidade de avanço e em muitos casos a mesma mostra uma boa concordância com resultados experimentais.
5 E
STUDO DE CASO
Como mencionado no início deste trabalho, o estudo de caso proposto pretende analisar a influencia da geometria em dois tipos de embarcações diferentes em seus movimentos verticais, uma de grande porte, que chamaremos de Petroleiro, e outra de médio porte, que chamaremos de PSV.
Para o estudo do comportamento dinâmico do petroleiro de grande porte serão analisadas duas concepções de geometrias do corpo de proa, o estudo pretende comparar os movimentos de verticais do navio com proas com bulbo e sem bulbo. O estudo dos
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movimentos da embarcação de apoio offshore (PSV) também será feito a variação da geometria com polpa bulbosa e do navio sem bulbo, porém, também serão avaliados os movimentos verticais do mesmo com a proa com geometria X-BOW.
Para a modelagem dos bulbos em ambas embarcações utilizou-se as recomendações feitas por KRATCH [1] em sua publicação “Design of Bulbous Bow”. Já para modelagem da proa do tipo X-Bow para o PSV, utilizou-se das recomendações e de imagens disponíveis da ULSTEIN [2].
Após termos todas as geometrias feitas, foram geradas as malhas a serem analisadas no WAMIT e por fim levantados sistematicamente RAOs para todas as embarcações. A apresentação e discussão dos resultados obtidos podem ser vistas nas duas próximas seções deste trabalho.
A partir dos RAOs plotados e feita a discussão particular sobre a variação da geometria das duas embarcações partiu-se então para uma comparação entre as respostas obtidas para o Petroleiro com as respostas obtidas para o PSV. A fim desta comparação plotou-se as respostas obtidas em relação à razão comprimento do navio por comprimento de onda para poder observar se as duas embarcações se comportavam de forma parecida após feita uma adimensionalização dos seus comprimentos em relação ao comprimento de onda.
A faixa de frequências e os comprimentos utilizados para o estudo podem ser vistos a seguir:
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Figura 4 - Ondas do Estudo
Tendo definido a frequência e o comprimento de onda, temos então o mar ao qual vamos estudar o comportamento das embarcações em questão.
De acordo com JOURNÉE [8] as ondas harmônicas podem ser vistas sobre duas perspectivas:
a. A primeira perspectiva em que o perfil de onda é tratado em função do seu comprimento ao longo da direção de propagação em um instante fixo no tempo. A expressão para o perfil de onda visto por esta perspectiva é:
b. A segunda perspectiva é um registro ao longo do tempo do perfil de onda. A expressão para o perfil de onda visto por esta perspectiva é dada por:
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Figura 5 – Perfis de Onda
Ainda de acordo com JOURNÉE [8] uma onda se movendo ao longo da direção x, pode ter seu perfil descrito em função da direção x e do tempo t da seguinte forma:
A partir da definição do mar de estudo vamos então discutir as equações do movimento que estão envolvidas em nosso problema. Como estamos interessados nos movimentos verticais das embarcações iremos apresentar portanto as equações acopladas de Heave e Pitch que estão envolvidas em nossa análise, são estas:
Sendo os movimentos e as forças de excitação harmônicas temos que:
Assim as equações de Heave e Pitch podem ser escritas da seguinte forma:
Escrevendo a equação na forma matricial e cortando os termos a fim de retirar a dependência do tempo das equações temos:
40 Ou: Sabendo que a força de excitação de acordo com SPHAIER [6] pode ser escrita como:
Sendo: é a função de transferência entre a onda e a força sobre o corpo é a amplitude da onda Temos então: Chegamos então ao operador de resposta de amplitude (RAO) de Heave e Pitch: Resolvendo esta expressão para diversas frequências podemos então plotar os RAOs de Heave e Pitch. A fim de se observar os movimentos e acelerações verticais no corpo de proa das embarcações em questão, o mesmo foi generalizado pelo movimento de um ponto situado na proa das embarcações, visto que não há razão para que pontos em sua vizinhança tenham movimentos discrepantes do mesmo. A expressão que permite o cálculo dos movimentos e acelerações verticais deste ponto situado no corpo de proa é a seguinte:
Como estamos trabalhando com pequenos deslocamentos demos que:
E a aceleração na proa é obtida por:
Ou:
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5.1 OP
ETROLEIROAntes de apresentarmos os resultados obtidos pelo WAMIT vamos primeiramente apresentar as geometrias e respectivas malhas geradas para o petroleiro com bulbo e sem bulbo. Estas podem ser vistas a seguir:
Petroleiro sem Bulbo
Figura 6 - (A) Forma gerada Petroleiro Sem Bulbo (B) Malha Petroleiro sem Bulbo
Petroleiro com Bulbo
Figura 7 - (A) Forma gerada Petroleiro Com Bulbo (B) Malha Petroleiro Com Bulbo
Após a geração das malhas foi possível então usar o WAMIT para gerar os RAOs de Heave e Pitch a fim de se observar o influência do bulbo no petroleiro em seus movimentos verticais.
Foram levantados RAOs para o Centro de Gravidade de embarcação e para um ponto situado na proa da embarcação a fim de observar os movimentos verticais do corpo de proa, para simplificação do estudo generalizamos os movimentos verticais deste ponto situado no corpo de proa para o corpo inteiro, visto que não há razão para que pontos em sua vizinhança tenham movimentos discrepantes do mesmo. Vale também a ressalva que
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os movimentos angulares deste ponto não são apresentados, simplesmente pelo fato de um simples ponto não apresentar deslocamento angulares.
Para fins do estudo foram plotados RAOs para aproamento de ondas de 180º e 135º
Figura 8 - Aproamentos Estudados
Os resultados e as discussões sobre os RAOs e os ângulos de fase levantados estão apresentados a seguir:
Heave e Pitch para o centro de gravidade
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Gráfico 5 – Ângulos de Fase da reposta no CG para Aproamento de 135º
Gráfico 6 - RAO de Heave e Pitch no CG para Aproamento de 180º
Gráfico 7 – Ângulos de Fase da reposta no CG para Aproamento de 180º
Como podemos ver nos gráficos acima, para os dois aproamentos estudados, o petroleiro com bulbo e sem bulbo apresentam deslocamentos angulares e lineares praticamente idênticos, tendo, o petroleiro com bulbo uma pequena diferença no deslocamento angular na frequência natural de pitch, esta por sua vez pouca significativa, não transmitindo uma vantagem.
Em relação à fase dos movimentos concordância entre o petroleiro com bulbo e o petroleiro sem bulbo porém, é valido atentar que para as ondas com ângulo de incidência de 180º e 135º observamos uma mudança de fase dos movimento de heave para altas frequências. Em altas frequências, o comprimento da onda começa a se aproximar do
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comprimento do bulbo, assim este começa a interferir na fase das ondas ocasionando uma mudança de fase.
A coincidência entre os deslocamentos no centro de gravidade, principalmente os angulares de pitch, refletem na igualdade dos deslocamentos verticais do corpo de proa, como podemos ver a partir dois gráficos a seguir:
Heave para o Corpo de Proa
Gráfico 8 – RAO de Heave no corpo de proa para Aproamento de 135º
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Gráfico 10 – RAO de Heave no corpo de proa para Aproamento de 180º
Gráfico 11 – Ângulos de Fase da reposta na proa para Aproamento de 180º
Como previsto os deslocamentos verticais do corpo de proa tanto para o petroleiro com bulbo quanto para o sem são praticamente idênticos para toda a faixa de frequência estudada.
Ao contrário do que se pensava no início deste trabalho o bulbo em uma embarcação de grande porte não é vantajoso para minimizar os movimentos verticais da mesma. Como mencionado no inicio do trabalho, embarcações de grande porte possuem baixo número de Froude e de acordo com KRATCH [1], o bulbo não se apresenta vantajoso em embarcações com a fim de minimizar o empuxo requerido para propelir a embarcação.
Entretanto, como estudado o bulbo em uma embarcação de grande porte, também não é vantajoso em relação ao comportamento dinâmico da mesma. O volume deslocado pelo bulbo no corpo de proa da embarcação não é suficiente para mudar significativamente a inércia do mesmo em relação ao corpo total de proa, a inércia longitudinal do petroleiro não é alterada significativamente e consequentemente as amplitudes dos movimentos de pitch também não, para os casos do petroleiro com e sem o bulbo não modificando assim os deslocamentos verticais do corpo de proa visto que a força de restauração do mesmo não sofre significativas modificações.
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5.2 OPSV
As geometrias e respectivas malhas geradas para o estudo do PSV podem ser vistas a seguir:
PSV sem Bulbo
Figura 9 - (A) Forma gerada PSV sem Bulbo (B) Malha PSV sem Bulbo
PSV com Bulbo
Figura 10 - (A) Forma gerada PSV com Bulbo (B) Malha PSV com Bulbo
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Figura 11 - (A) Forma gerada PSV X-Bow (B) Malha PSV X-Bow
Analogamente ao estudo feito do Petroleiro, após a geração das malhas foi utilizado o WAMIT para gerar os RAOs de Heave e Pitch e observar a influência das geometrias propostas nos movimentos verticais da embarcação. Foram levantados RAOs para o centro de gravidade e para a proa da embarcação, os movimentos desta generalizados a partir de um ponto situado na mesma.
Como feito para o Petroleiro, foram considerados aproamentos de ondas de 180º e 135º.
Os resultados e as discussões sobre os RAOs levantados estão apresentados a seguir:
Heave e Pitch para o centro de gravidade
Gráfico 12 - RAO de Heave e Pitch no CG para Aproamento de 135º
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Gráfico 14 - RAO de Heave e Pitch no CG para Aproamento de 180º
Gráfico 15 – Ângulos de Fase da reposta na proa para Aproamento de 180º
Ao contrario do estudo feito para o Petroleiro, no PSV observar algumas modificações nos deslocamentos lineares e angulares quando se varia a forma da proa. Como o deslocamento das embarcações é praticamente o mesmo, o motivo destas variações não pode ser devido à diferença entre as forças de restauração, por isso buscou- se na literatura indicações de parâmetros de forma (que não as dimensões principais da embarcação, visto que todas possuem as mesmas dimensões) que influenciam nos movimentos verticais de embarcações.
A partir dos gráficos plotados acima podemos ver uma concordância entre os RAOs do PSV sem bulbo e do PSV X-Bow. Esta concordância era de se esperar visto que a única significativa diferença entre estas duas geometrias é devido ao ângulo de entrada da proa na linha d’água. O PSV X-Bow possui um ângulo de entrada menor do que a PSV sem Bulbo. A comparação entre os ângulos pode ser vista abaixo:
COMPARAÇÃO ENTRE OS ANGULOS