M´etodo de Busca Direta

M´etodos de busca direta (ou procura direta), em oposic¸˜ao aos tradicionais m´etodos de otimizac¸˜ao, s˜ao comumente chamados de m´etodos de otimizac¸˜ao sem gradiente. Esses m´etodos n˜ao necessitam de informac¸˜oes do gradiente ou de derivadas de maior ordem da func¸˜ao objetivo para encontrar a soluc¸˜ao ´otima. Assim sendo, os m´etodos de busca direta podem ser utiliza- dos para resolver problemas de otimizac¸˜ao n˜ao-cont´ınuos, n˜ao-diferenci´aveis, com m´ultiplos m´ınimos locais.

O trabalho de Henrion (2006) procura reapresentar, de uma forma atual, a potencialidade dos m´etodos de busca direta para a ´area de controle. O objetivo do trabalho ´e mostrar a capaci- dade do m´etodo de busca direta em achar soluc¸˜ao para o problema da estabilizac¸˜ao de diferentes sistemas testes considerados desafio na ´area de controle. A estrutura de controle escolhido ´e a de realimentac¸˜ao est´aticas de sa´ıdas.

A escolha do projeto por realimentac¸˜ao est´aticas tem por objetivo aumentar a dificuldade do projeto, pois, nesse caso, n˜ao h´a margem de escolha para os p´olos e zeros do controlador. Diferentes algoritmos s˜ao apresentados e seu desempenho ´e testado com os diferentes sistemas teste. Destaca-se, entretanto, que os sistemas testes utilizados s˜ao de pequeno porte, quando comparado a sistemas el´etricos.

Na ´area de sistemas de energia, esse m´etodo vem sendo aplicado para a soluc¸˜ao do pro- blema do despacho econˆomico, que tem como objetivo central reduzir o custo total de gerac¸˜ao, enquanto satisfaz v´arias restric¸˜oes de igualdade e desigualdade. Na referˆencia Chen e Chen (2001), o m´etodo de busca direta ´e aplicado para resolver o problema do despacho econˆomico considerando restric¸˜oes de capacidade de transmiss˜ao. Os autores relatam que o algoritmo ´e uma abordagem eficiente para determinar o despacho ´otimo para os geradores. No trabalho Al-Sumait et al. (2007), os autores aplicam o m´etodo para o mesmo problema, considerando agora o efeito de abertura de v´alvulas em m´aquinas t´ermicas. O objetivo principal do trabalho ´e comparar o m´etodo de busca direta com t´ecnicas de algoritmos gen´eticos. Os autores rela- tam um n´umero menor de iterac¸˜oes e a conseq¨uente reduc¸˜ao do tempo computacional quando o m´etodo de busca direta ´e utilizado. Como desvantagem, destaca-se a alta dependˆencia deste m´etodo das condic¸˜oes iniciais, fato que pode lev´a-lo a encontrar um m´ınimo local pr´oximo `a

mesma. J´a as t´ecnicas baseadas em algoritmos gen´eticos contornam essa dificuldade com o uso de uma populac¸˜ao de condic¸˜oes iniciais. Na referˆencia Chen (2008) o m´etodo de busca di- reta ´e aplicado para o problema de despacho econˆomico considerando usinas t´ermicas e e´olicas. M´etodos de busca direta foram tamb´em aplicados para a melhoria do amortecimento do sistema el´etrico brasileiro como descrito em Pellanda et al. (2006). Pontos espec´ıficos do sistema s˜ao escolhidos, e o algoritmo de busca direta ´e aplicado para o problema do ajuste coordenado de PSSs.

Os m´etodos de busca direta s˜ao bem conhecidos desde a d´ecada de 50. Entretanto, no in´ıcio da d´ecada de 70, esses m´etodos foram preteridos pela comunidade cient´ıfica de matem´atica. Destacam-se trˆes motivos apresentados como segue (KOLDA et al., 2003).

• os m´etodos s˜ao desenvolvidos heuristicamente; • n˜ao havia prova de convergˆencia;

• em alguns casos a taxa de convergˆencia pode ser muito lenta.

Apesar disso, esses m´etodos continuaram populares entre os pesquisadores em ciˆencias e engenharia. Em 1991, o interesse por m´etodos de busca direta foi reavivado com uma publicac¸˜ao, no contexto da computac¸˜ao paralela, de um m´etodo de busca direta acompanhado de an´alise de convergˆencia (TORCZON, 1991). Desde ent˜ao, dois aspectos foram ressaltados:

• m´etodos de busca direta s˜ao considerados uma opc¸˜ao efetiva, em alguns casos a ´unica opc¸˜ao, para uma s´erie de problemas considerados como desafios de otimizac¸˜ao;

• para um grande n´umero de m´etodos de busca direta h´a prova de convergˆencia (KOLDA et al., 2003).

O princ´ıpio de funcionamento desses m´etodos ´e bastante simples. A partir de uma condic¸˜ao inicial, o algoritmo comec¸a o seu processo de busca, calculando o valor da func¸˜ao em um raio de procura pr´e-determinado. Os valores da func¸˜ao calculados nesse raio s˜ao comparados entre si, e o ponto de menor valor ´e escolhido como o novo ponto de amostragem. O algoritmo segue a sua procura avaliando o valor da func¸˜ao em uma determinada regi˜ao e tomando, como pr´oximo passo, o ponto em que a func¸˜ao apresenta o menor valor. Nos casos em que n˜ao haja reduc¸˜ao de valor na regi˜ao da iterac¸˜ao atual, o raio de amostragem ´e diminu´ıdo e uma nova amostragem ´e realizada. Este ´ultimo caso pode ser entendido como parte do processo de aproximac¸˜ao da

6.5 M´etodos de Otimizac¸˜ao Param´etricos 81 soluc¸˜ao ´otima. O processo de procura finaliza quando o raio de amostragem atinge a tolerˆancia pr´e-especificada. Esse processo ´e apresentado em detalhes no Apˆendice A.1.

Como principal vantagem desse m´etodo, destaca-se a capacidade de trabalhar com func¸˜oes n˜ao-suaves e n˜ao-convexas. Como desvantagem, destaca-se o baixo desempenho computaci- onal para a resoluc¸˜ao de problemas de grande porte. Quando o sistema ´e de grande porte, a cada iterac¸˜ao, diversas amostragens da func¸˜ao objetivo precisam ser calculados e avaliados. De acordo com o tamanho do sistema e a sofisticac¸˜ao do m´etodo utilizado, o desempenho compu- tacional do m´etodo pode ser prejudicado.

Neste trabalho, utiliza-se o m´etodo multi-direcional de busca, baseado em t´ecnicas dinˆami- cas para o dimensionamento do raio de amostragem. Diferentemente do exposto acima o raio de amostragem pode tamb´em ser aumentado, dependendo da condic¸˜ao de procura. Esse m´etodo tem a vantagem adicional de ser projetado para ser resolvido de forma paralela e sua prova de convergˆencia ´e apresentada em Torczon (1989). Especificamente, para o caso de sistema el´etricos, essa vantagem melhoraria o desempenho computacional do m´etodo. As tarefas de c´alculo do valor da func¸˜ao podem ser divididas em diversos processadores e realizadas de forma paralela. O detalhamento desse m´etodo ´e apresentado no Apˆendice A.2. A implementac¸˜ao computacional deste m´etodo ´e realizada em Matlab e discutida no Apˆendice A.3.