M´etodo dos Gradientes Conjugados

Este ´e outro m´etodo de relaxac¸˜ao, que iremos apresentar agora, mas para isso precisamos considerar a seguinte definic¸˜ao:

Definic¸˜ao 2.1. Dada uma matriz positiva definida A, p^(k)e p^(k−1) s˜ao direc¸˜oes conjugadas se

hAp^(k), p^(k−1)i=hp^(k), Ap^(k−1)i= 0.

O primeiro passo deste m´etodo ´e igual ao primeiro passo do m´etodo dos Gra-dientes.

Agora escolhap^(k), que ´e a direc¸˜ao de relaxac¸˜ao, como uma combinac¸˜ao linear der^(k−1)ep^(k−1), da seguinte forma:

p^(k) =−r^(k−1)+αk−1p^(k−1), para k = 1,2,3,· · · . (2.18) Precisamos determinar o parˆametroαk−1 que ser´a obtido atrav´es das direc¸˜oes conjugadas. Como

hp^(k), Ap^(k−1)i= 0,

de (2.18) obtemos que

h−r^(k−1)+αk−1p^(k−1), Ap^(k−1)i= 0

−hr^(k−1), Ap^(k−1)i+α_k−1hp^(k−1), Ap^(k−1)i= 0, logo

α_k−1 = hr^(k−1), Ap^(k−1)i hp^(k−1), Ap^(k−1)i.

Agora vamos determinar a sequˆencia de aproximac¸˜oes para a soluc¸˜ao:

v^(k) =v^(k−1)+q_kp^(k) (2.19)

em que

qk= −hr^(k−1), p^(k)i hAp^(k), p^(k)i .

Subtituimos (2.19) no res´ıduo, que ´e dado porr^(k) =Av^(k)+bobtemos, r^(k) =A(v^(k−1)+q_kp^(k)) +b

r^(k) =r^(k−1)+qkAp^(k). (2.20)

Observac¸˜ao 2.3. O res´ıduo de cada passo, possui as seguintes propriedades:

a)hr^(k), r^(k−1)i= 0;

Temos que, substituindo emr^(k−1)por (2.17) e pelo Teorema 2.5 segue que res´ıduos consecutivos s˜ao ortogonais:

hr^(k), r^(k−1)i=−hr^(k), p^(k)i= 0, k = 1,2,· · · . b)hr^(k), p^(k)i= 0;

Substituindo p^(k) pela express˜ao (2.17) e pelo resultado da Observac¸˜ao 2.1 item a) temos:

hr^(k), p^(k)i=−hr^(k), r^(k−1)i= 0, k = 1,2,· · · .

Com estas propriedades obtemos algumas simplificac¸˜oes nas f´ormulas deq_ke αk−1.

Primeiramente temos

qk = −hr^(k−1), p^(k)i hAp^(k), p^(k)i substituindop^(k), no numerador por (2.18) obtemos:

=hr^(k−1), r^(k−1)i −α_k−1hr^(k−1), p^(k−1)i da Observac¸˜ao 2.1 item b) temos quehr^(k−1), p^(k−1)i= 0assim:

−hr^(k−1), p^(k)i=hr^(k−1), r^(k−1)i logo

q_k= hr^(k−1), r^(k−1)i hAp^(k), p^(k)i . Agora vamos simplificar a express˜ao de

α_k−1 = hr^(k−1), Ap^(k−1)i hp^(k−1), Ap^(k−1)i. primeiramente de (2.20) obtemos

Ap^(k−1) = 1 qk−1

(r^(k−1)−r^(k−2)).

SubstituindoAp^(k−1) no numerador deα_k−1temos:

hr^(k−1), Ap^(k−1)i=hr^(k−1), 1

q_k−1(r^(k−1)−r^(k−2))i=

= 1 qk−1

hr^(k−1), r^(k−1)i − 1 qk−1

hr^(k−1), r^(k−2)i da Observac¸˜ao 2.1 item a) temos quehr^(k−1), r^(k−1)i= 0, segue:

hr^(k−1), Ap^(k−1)i= 1 qk−1

hr^(k−1), r^(k−1)i. (2.21)

Agora substituindoAp^(k−1)no denominador deαk−1 temos:

hp^(k−1), Ap^(k−1)i=hp^(k−1), 1 qk−1

(r^(k−1)−r^(k−2))i=

= 1 qk−1

hp^(k−1), r^(k−1)i − 1 qk−1

hp^(k−1), r^(k−2)i pela Observac¸˜ao 2.1 item b)hp^(k−1), r^(k−1)i= 0segue que:

hp^(k−1), Ap^(k−1)i=− 1 qk−1

hp^(k−1), r^(k−2)i. (2.22) Agora substituimosp^(k−1) por(2.18)temos:

− 1

q_k−1hp^(k−1), r^(k−2)i=− 1

q_k−2h−r^(k−2)+α_k−1p^(k−1), r^(k−2)i=

= 1

q_k−1hr^(k−2), r^(k−2)i − αk−1

q_k−1hp^(k−2), r^(k−2)i pela Observac¸˜ao 2.1 item b)hp^(k−2), r^(k−2)i= 0segue que:

− 1 qk−1

hp^(k−1), r^(k−2)i= 1 qk−1

hr^(k−2), r^(k−2)i. (2.23) Ent˜ao, usando (2.21) e (2.23) obtemos que,

α_k−1 =

1

q_k−1hr^(k−1), r^(k−1)i

1

qk−1hr^(k−2), r^(k−2)i = hr^(k−1), r^(k−1)i hr^(k−2), r^(k−2)i.

Resumindo, devemos efetuar o seguinte processo para encontrar a soluc¸˜ao aproximada do sistema utilizando o m´etodo dos gradiente conjugados:

Dadov⁽⁰⁾ e >0, eM ∈N^∗devemos calcular:

a)r⁽⁰⁾ =Av⁽⁰⁾+b

p⁽¹⁾ =−r⁽⁰⁾ q1 = hr⁽⁰⁾, r⁽⁰⁾i

hAr⁽⁰⁾, r⁽⁰⁾i v⁽¹⁾ =v⁽⁰⁾+q₁p⁽¹⁾ r⁽¹⁾ =r⁽⁰⁾+q1Ap⁽¹⁾ b) 1)αk−1 = ^hr_hr^(k−1)(k−2)^,r,r^{(k−1)(k−2)i}i

b2)p^(k)=−r^(k−1)+αk−1p^(k−1) b3)qk= ^hr_hAp^(k−1)(k)^,r,p^(k−1)(k)iⁱ

b4)v^(k) =v^(k−1)+q_kp^(k) b5)r^(k) =r^(k−1)+qkAp^(k)

Se ou , fim, caso contr´ariob).

Teorema 2.6. O m´etodo dos Gradientes Conjugados fornece a soluc¸˜ao aproxi-mada do sistema em no m´aximonpassos, onden ´e a ordem do sistema.

Cap´ıtulo 3

Aplicac¸˜oes dos M´etodos Iterativos

Neste cap´ıtulo veremos alguns problemas onde iremos aplicar os quatro m´eto-dos estudam´eto-dos: Jacobi, Gauss-Seidel, Gradiente e Gradiente Conjugado. Ser´a feita uma comparac¸˜ao entre os m´etodos, verificando o n´umero de iterac¸˜oes necess´arias e a soluc¸˜ao aproximada encontrada por cada m´etodo. Os problemas a seguir foram retirados do livro de C´alculo Num´erico da autora Neide Bertoldi Franco (4).

No primeiro exemplo vamos desenvolver o m´etodo dos Gradientes e Gradi-entes Conjugados, mostrando passo a passo como chegar a soluc¸˜ao. Mas antes disto vamos calcular a func¸˜ao quadr´atica dada por (2.20) e mostrar que o ponto de m´ınimo desta func¸˜ao ´e soluc¸˜ao do sistema. Nos exemplos seguintes vamos resolver problemas aplicados.

As soluc¸˜oes aproximadas deste Cap´ıtulo foram obtidas a partir de c´odigos es-critos usando a Linguagem de Programac¸˜aoC⁺⁺.

Exemplo 3.1. Consideramos o seguinte sistema:

( 3x +2y −2 = 0

2x +6y + 8 = 0 (3.1)

Calcule a func¸˜ao quadr´atica, mostre que o ponto de m´ınimo ´e soluc¸˜ao do sistema (3.1) e aplique os m´etodos dos Gradientes e Gradientes Conjugados.

´E f´acil verificar que a soluc¸˜ao do sistema linear ´e:x= (2,−2)^t. Para explicitar a func¸˜ao quadr´atica,F(v), primeiramente calculamos:

Av = 3 2 2 6

! v1

v₂

!

= 3v1+ 2v2

2v1+ 6v2

!

,

assim,

que ´e uma matriz positiva definida, pela Definic¸˜ao 1.12. AssimF(v)tem um ponto de m´ınimo em (2,−2)^t, que ´e a soluc¸˜ao do sistema (3.1), conforme foi provado no Teorema 2.4.

Agora vamos calcular uma aproximac¸˜ao da soluc¸˜ao a partir do vetor v⁽⁰⁾ = (5,−3)^tpelos m´etodos do Gradiente e Gradiente Conjugado.

Primeiramente pelo Gradiente. Sejav⁽⁰⁾ = (5,−3)^t, ent˜ao, r⁽⁰⁾ =Av⁽⁰⁾+b = 3 2

Desse modo,t_min = ^21.349_126.78 = 0.168.

Ar⁽⁴⁾ = 3 2 Agora aplicando o m´etodo dos Gradientes Conjugados. Considerev⁽⁰⁾ = (5,−3)^tent˜ao:

p⁽²⁾ =−r⁽¹⁾+α₁p⁽¹⁾ = −0.07 4.62

!

+ 0.436 −7 0

!

= −3.12 4.62

!

, Ap⁽²⁾ = 3 2

2 6

! −3.12 4.62

!

= −0.12 21.48

!

,

⇒ hAp⁽²⁾, p⁽²⁾i= 0.37 + 99.24 = 99.61.

Assim,

q₂ = hr⁽¹⁾, r⁽¹⁾i

hAp⁽²⁾, p⁽²⁾i = 21.349

99.61 = 0.214, v⁽²⁾ =v⁽¹⁾+q₂p⁽²⁾ = 2.69

−3

!

+ 0.214 −3.12 4.62

!

= 2.02

−2.01

!

. Comparando a soluc¸˜ao aproximada do m´etodo dos Gradientes na iterac¸˜aok= 2 com a obtida acima para o m´etodo dos Gradientes Conjugados vemos que o m´etodo dos Gradientes Conjugados converge para a soluc¸˜ao com menos iterac¸˜oes.

Pelo Teorema 2.6 o m´etodo dos Gradientes Conjugados deveria convergir em duas iterac¸˜oes (pois a matriz ´e2×2). No entanto, a soluc¸˜ao obtida acima parak = 2 n˜ao ´e exatamente(2,−2)^t, isto provavelmente deve-se ao fato dos c´alculos terem sidos feitos sem a precis˜ao requerida.

Exemplo 3.2. Considere o circuito 3.1, com resistˆencias e baterias tal como indi-cado; escolhemos arbitrariamente as orientac¸˜oes das correntes.

Figura 3.1: Circuito de correntes.

Aplicando a lei de Kirchoff, que diz que a soma alg´ebrica das diferenc¸as de potencial em qualquer circuito fechado ´e zero, achamos para as correntesi₁, i₂, i₃:







6i1 + 10(i1−i2) + 4(i1−i3) − 26 = 0 5i2 + 5i2 + 5(i2−i₃) + 10(i2−i₁) = 0 11i3 + 4(i3−i1) + 5(i3−i2) − 7 = 0 Organizando o sistema obtemos:







20i1 − 10i2 − 4i3 = 26

−10i₁ + 25i₂ − 5i₃ = 0

−4i1 − 5i2 + 20i3 = 7

a) ´E poss´ıvel aplicar os m´etodos com convergˆencia assegurada? Justifique.

Vamos aplicar o crit´erio das linhas, conforme o Corol´ario 2.2, para verificar a convergˆencia do sistema. O crit´erio nos diz que se

|aii|> ^X

j=1_i6=j

|aij| ∀i= 1,2,· · · , n.

Para a primeira linha temos que:

|a11|= 20e|a12|+|a13|= 10 + 4 = 14 assim|a11|>|a12|+|a13|.

Para a segunda linha :|a22|= 25e|a21|+|a23|= 10 + 5 = 15 assim|a22|>|a21|+|a23|.

Para a terceira linha: |a33|= 20e|a31|+|a32|= 4 + 5 = 9 logo|a33|>|a31|+|a32|.

Desta forma ´e poss´ıvel aplicar os m´etodos de Gauss e Jacobi, no sistema das correntes. Podemos aplicar tamb´em o m´etodo dos Gradientes Conjugados pois a matriz ´e sim´etrica positiva definida.

b)Obtenha a soluc¸˜ao aproximada com uma tolerˆancia <10⁻² ei⁽⁰⁾ = (0,0,0)^t. A partir do m´etodo de Jacobi obtemos a soluc¸˜ao(1.99108,0.99216,0.993717)^t na10^a iterac¸˜ao com um tolerˆancia de0.00899503. Utilizando o m´etodo de Gauss encontramos a soluc¸˜ao (1.99814,0.998904,0.999355)^t na 7^a iterac¸˜ao com uma tolerˆancia de0.00391774. J´a o m´etodo do Gradiente Conjugado alcanc¸ou a soluc¸˜ao exata(2,1,1)^tna3^a iterac¸˜ao com tolerˆancia zero.

Podemos ver que o m´etodo de Gauss converge mais r´apido que o de Jacobi, conforme o esperado. O Gradiente Conjugado convergiu para a soluc¸˜ao, na ter-ceira iterac¸˜ao, satisfazendo o Teorema 2.6.

Exemplo 3.3. Suponha uma barraRde metal homegˆeneo onde: AB =CD = 4 eAC =BD = 3u.m.. Veja Figura 3.2.

Figura 3.2: Barra de metal homogˆeneo.

A temperatura ao longo deAB, AC, BD ´e mantida constante e igual a 0^◦C, enquanto ao longo de CD ela ´e igual a1^◦C. A distribuic¸˜ao do calor na barraR obedece `a seguinte equac¸˜ao, conhecida como Equac¸˜ao de Laplace.

∂²u

∂x² +∂²u

∂y² = 0 (3.2)

com as condic¸˜oes de contorno:

u(x,3) = 1 para 0< x <4, u(x,0) = 0 para 0< x <4, u(0, y) = 0 para 0< y < 3, u(4, y) = 0 para 0< y < 3,

Consideremos uma divis˜ao do retˆangulo ABCD em retˆangulos menores a partir de uma divis˜ao deAB em intervalos de amplitude h= 1, e de uma divis˜ao deCDem intervalos iguais de amplitudek = 1, como mostra a Figura 3.3.

A temperaturaunos pontos internos pode ser obtida numericamente aproxi-mando as derivadas segundas da equac¸˜ao (3.2) pelas diferenc¸as de segunda ordem.

Considando o desenvolvimento deu(x+h, y)eu(x−h, y)em s´erie de Taylor em torno do pontox,

Figura 3.3: Divis˜ao da barra homogˆenea em retˆangulos.

u(x+h, y) =u(x, y)+hux(x, y)+h²

2!uxx(x, y)+h³

3!uxxx(x, y)+h⁴

4!uxxxx(x, y)+· · · e

u(x−h, y) = u(x, y)−hux(x, y)+h²

2!u_xx(x, y)−h³

3!u_xxx(x, y)+h⁴

4!u_xxxx(x, y)+· · · . Somando, obtemos:

u(x+h, y) +u(x−h, y) = 2u(x, y) + 2h²

2!uxx(x, y) + 2h⁴

4!uxxxx(x, y) +· · · isolandouxx(x, y),

uxx(x, y) = u(x−h, y)−2u(x, y) +u(x+h, y)−2^h_4!⁴uxxxx(x, y)

h² +· · ·

dessa forma, o ´ultimo termo ´e o erro de truncamento em que uxx(x, y) = u(x−h, y)−2u(x, y) +u(x+h, y)

h² +θ(h²)

em que o ´ultimo termo ´e o erro de truncamento. De modo an´alogo desenvolvendo u(x, y+h)eu(x, y−h), estamos considerandok =hna s´erie de Taylor em torno do pontoy, obtemos:

u_yy(x, y) = u(x, y−h)−2u(x, y) +u(x, y+h)

h² +θ(h²).

Desta forma;

u(x−h, y)−2u(x, y) +u(x+h, y)

h² (3.3)

e u(x, y−h)−2u(x, y) +u(x, y+h)

h² (3.4)

aproximam as derivadas segundasuxxeuyy, respectivamente, comθ(h²). Substi-tuindo(3.3)e(3.4)em(3.2)obtemos

u(x−h, y)−2u(x, y) +u(x+h, y)

h² +u(x, y−h)−2u(x, y) +u(x, y+h)

h² = 0

(3.5) para cada par(x, y)emR.

Agora vamos determinar um sistema de seis equac¸˜oes lineares nas inc´ognitas u₁, u₂,· · · , u₆. Resolva-o pelos m´etodos de: Jacobi, Gauss-Seidel e Gradiente Conjugado e resolvˆe-los.

Parau₁ =u(1,2)em (3.5) temos:

u(0,2)−2u(1,2) +u(2,2) +u(1,1)−2u(1,2) +u(1,3)

1 = 0

−4u1 +u₂+u₄+ 1 = 0

−4u1+u₂+u₄ =−1 (3.6)

Parau2 =u(2,2)em (3.5) temos:

u(1,2)−2u(2,2) +u(3,2) +u(2,1)−2u(2,2) +u(2,3)

1 = 0

u₁−2u2+u₃+u₅ −2u2+ 1 = 0 ou

u₁−4u2+u₃ +u₅ =−1. (3.7)

Parau₃ =u(3,2)em (3.5) temos:

u(2,2)−2u(3,2) +u(4,2) +u(3,1)−2u(3,2) +u(3,3)

1 = 0

u2 −2u3+ 0 +u6−2u3+ 1 = 0 ou

u₂−4u3+u₆ =−1. (3.8)

Parau4 =u(1,1)em (3.5) temos:

u(0,1)−2u(1,1) +u(2,1) +u(1,0)−2u(1,1) +u(1,2)

1 = 0

0−2u4+u5+ 0−2u4+u1 = 0 ou

u1−4u4+u5 = 0. (3.9)

Parau5 =u(2,1)em (3.5) temos:

u(1,1)−2u(2,1) +u(3,1) +u(2,0)−2u(2,1) +u(2,2)

1 = 0

u₄−2u₅+u₆+ 0−2u₅+u₂ = 0 ou

u2+u4−4u5 +u6 = 0. (3.10) Parau₆ =u(3,1)em (3.5) temos:

u(2,1)−2u(3,1) +u(4,1) +u(3,0)−2u(3,1) +u(3,2)

1 = 0

u₅ −2u6+ 0 + 0−2u6+u₃ = 0 ou

u₃+u₅−4u6 = 0. (3.11)

A partir das equac¸˜oes (3.6) `a (3.11), obtemos o seguinte sistema:























−4u1 + u₂ + 0 + u₄ + 0 + 0 = −1

u1 + −4u2 + u3 + 0 + u5 + 0 = −1

0 + u2 + −4u3 + 0 + 0 + u6 = −1

u₁ + 0 + 0 + −4u4 + u₅ + 0 = 0

0 + u2 + 0 + u4 + −4u5 + u6 = 0

0 + 0 + u3 + 0 + u5 + −4u6 = 0

Escrevendo da formaAx=bsegue:

A partir do m´etodo de Jacobi obtemos a soluc¸˜ao(0.415786,0.508757,0.415786, 0.154884,0.204455,0.154884)^tna13^aiterac¸˜ao com uma tolerˆancia0.000715441.

Atrav´es do m´etodo de Gauss obtemos a soluc¸˜ao (0.415963,0.509158,0.416081, 0.155167,0.204873,0.155239)^tna8^aiterac¸˜ao com tolerˆancia9.08881e⁻⁶.

J´a m´etodo do Gradiente Conjugado teve como soluc¸˜ao (0.416149,0.509317,0.416149,0.15528,0.204969,0.15528)^t na 4^a iterac¸˜ao com tolerˆancia zero.

Podemos observar que o m´etodo dos Gradientes Conjugados converge mais depressa que os outros dois. E, o Teorema 2.6 foi novamente satisfeito, pois o sis-tema no m´etodo dos Gradientes Conjugados convergiu em4^aiterac¸˜oes, enquanto que o sistema tem ordem6.

Exemplo 3.4. Considere a malha quadrada da Figura 3.4, cujos bordosACeBD s˜ao mantidos `a temperatura de20^◦C, o bordoAB, a40^◦C; e o bordoCD, a10^◦C, com o uso de isolantes t´ermicos emA,B,C,D.

Para determinar a temperatura nos pontos interiores da malha, pode-se supor que a temperatura em cada ponto ´e igual a m´edia aritm´etica dos quatro pontos vizinhos. Considerando as coordenadas na Figura 3.4 vamos determinar as 16 relac¸˜oes que s˜ao encontradas a partir da temperatura dos pontos interiores. Na verdade, faremos a seguir somente algumas delas.

a₁₁= a₀₁+a₁₂+a₁₀+a₂₁

Figura 3.4: Malha quadrada.

a12−4a13+a14+a23=−40 (3.14) a₁₄= a04+a13+a15+a24

4 = 40 +a13+ 20 +a24

4

a13−4a14+a24=−60 (3.15)

a₂₁ = a₂₀+a₁₁+a₂₂+a₃₁

4 = 20 +a₁₁+a₂₂+a₃₁ 4

a11−4a21+a22+a31=−20 (3.16) a₃₁ = a₃₀+a₂₁+a₃₂+a₄₁

4 = 20 +a₂₁+a₃₂+a₄₁ 4

a₂₁−4a₃₁+a₃₂+a₄₁=−20 (3.17) a₄₁= a₄₀+a₃₁+a₄₂+a₅₁

4 = 20 +a₃₁+a₄₂+ 10 4

a₃₁−4a41+a₄₂=−30 (3.18)

A partir das equac¸˜oes (3.12) `a (3.18) e de modo an´alogo para as demais

Para resolver o sistema Ax=b, vamos considerar a tolerˆanciacomo sendo <10⁻³ ev⁽⁰⁾ = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)^t.

Atrav´es do m´etodo de Jacobi obteve-se na47^a iterac¸˜ao uma tolerˆancia de

0.000950029. J´a no m´etodo de Gauss obteve-se uma tolerˆancia de0.000843505 na26^a iterac¸˜ao. E no m´etodo do Gradiente Conjugado obtivesse tolerˆancia0na6^aiterac¸˜ao.

Neste exemplo temos que o Teorema 2.6 foi novamente satisfeito, pois obtemos a soluc¸˜ao na 6^aiterac¸˜ao e o sistema ´e de ordem16.

Considerac¸˜oes Finais

No primeiro cap´ıtulo, apresentamos definic¸˜oes e resultados b´asicos necess´arios para o desenvolvimento dos m´etodos iterativos abordados nesse trabalho. Na sequˆencia, no Capitulo 2, desenvolvemos os m´etodos iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel, Gradiente e Gradiente Conjugado. Al´em disso, apresentamos tamb´em resultados te´oricos referentes a convergˆencia dos m´etodos.

No terceiro cap´ıtulo, resolvemos numericamente alguns problemas aplica-dos, com a finalidade de aplicar e comparar os m´etodos desenvolvidos. Para isso, usamos c´odigos escritos na linguagem de programac¸˜aoC⁺⁺. Dessa forma, podemos evidenciar que o m´etodo dos Gradientes Conjugados converge com um n´umero menor de iterac¸˜oes quando comparado com os outros m´etodos apresenta-dos e tamb´em em at´enpassos, onden ´e a ordem do sistema.

Os m´etodos iterativos tamb´em podem ser estudados a partir do subespac¸o de Krilov, tanto os m´etodos deste trabalho como os que n˜ao foram como: Gradiente Pr´e-Condicionado, SOR, SSOR e outros. Uma ´area bastante interessante para continuar o estudo sobre este assunto.

Referˆencias Bibliogr´aficas

[1] BARROSO, Leˆonidas Conceic¸˜ao -C´alculo Num´erico. 2^aedic¸˜ao, Ed. Harbra, S˜ao Paulo, 1987.

[2] BOLDRINI, J.L.; COSTA S.I.R.; FIGUEIREDO, V.L.; H. G. Wetzler

-´Algebra Linear.3^a edic¸˜ao, Ed. Harbra, 1980.

[3] BURDEN, Richard L.; FARIES J. Douglas - An´alise Num´erica. Cengage Leaning, S˜ao Paulo, 2008.

[4] FRANCO, Neide Bertoldi -C´alculo Num´erico. Pearson Pretince Hall, S˜ao Paulo, 2006.

[5] ISSACSON, E.; KELLER, H. B. -Analysis of numerical methods. John Wi-ley e Sons, New York, 1966.

[6] ORTEGA, J.M.- Numerical analysis; a second course. Academic Press, New York, 1972.

[7] POOLE, David - ´Algebra Linear. Thonson, S˜ao Paulo, 2004.

[8] SANTOS, Vitoriano Ruas de Barros - Curso de C´alculo Num´erico. 3^a edic¸˜ao, Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1976.

[9] SCHWARZ, H.R.; RUTISHAUSER, H. ; STIEFEL, E. -Numerical analysis of symmetric matrices. Prentice-Hall, 1973.

[10] STEWART, James -C´alculo, 2v. Ed.Thomson, S˜ao Paulo, 2006.

No documento MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEARES (páginas 28-47)