Método generalizado de elementos finitos conceituação

infinitamente diferenciável. Geralmente, esta primeira condição é relaxada

para C₀k(ωα) para algum k > 0, viabilizando a utilização de funções de forma

convencionais de elementos finitos como base inicial para enriquecimento (DUARTE; BABU ˇSKA; ODEN, 2000).

Por consequˆencia, ∑Nα =1ϕα(xxx) = 1, ∀ xxx ∈ Ω, ou seja, a soma dos valo-

res das funções ϕα é igual à unidade em qualquer ponto contido em Ω. Além

disso, visto que a coleção de suportes {supp ϕα} é localmente finita, ou seja,

todo ponto xxx ∈ Ω pertence a um n´umero finito de elementos de {supp ϕα}.

Em outras palavras, todo subconjunto compacto de Ω intercepta somente um

n´umero finito de nuvens. Assim, como ϕα|xxx6= 0 para somente alguns α,

segue que o somat´orio ∑ ϕα ´e finito em todo ponto xxx. Portanto, o conjunto

{ϕα}, α = 1, ..., N, é dito ser uma partição da unidade subordinada à cober-

tura ℑN (ODEN; REDDY, 1976), no sentido de que supp ϕα ⊂ ωα para todo

α .

Deve-se notar que as func¸˜oes lagrangeanas convencionais de elemen-

tos finitos constituem uma classe de partic¸˜ao da unidade C₀0(ωα) e podem

ser usadas para implementações em GFEM como apresentado por Barros, Proença e Barcellos (2004) e Torres e Mendonça (2010a).

3.3 Método generalizado de elementos finitos - conceituação

Sabe-se que polinômios seccionalmente cont´ınuos são bastante appro- priados para aproximar funções suaves mas não são adequados para aproximar funções não suaves, tornando necessário um refinamento local de malha (SZAB Ó; BABU ˇSKA, 2011). Isto pode conduzir à convergência ótima mas pode envolver um grande número de estágios de refinamento e muitos graus de liberdade para atingir uma precisão espec´ıfica.

Uma opção mais eficiente consiste em generalizar o MEF abando- nando as funções seccionalmente polinomiais. Isto é feito aplicando-se um refinamento algébrico ao espaço de aproximação. Todavia, a incorporação de funções, polinomiais ou não, deve respeitar restrições de regularidade global. A primeira generalização de MEF convenional se deu por meio do

Método de Partição da Unidade (MPU) (MELENK; BABU ˇSKA, 1996), no qual

um subespac¸oVMPU ´e constru´ıdo como

VMPU_:=_V

h+ η

∑

α ∈Λ

ϕα (3.4)

em queVh é o subespaço formado pelas funções de forma convencionais de

pendente do problema) e Λ⊂ {1, ..., Nenr} define o subconjunto de funções partições da unidade refinadas algebricamente pela função η.

O M´etodo Generalizado de Elementos Finitos - MGEF (do inglˆes, Ge-

neralized Finite Element Method- GFEM), apresentado em Oden, Duarte e

Zienkiewicz (1998) é um método h´ıbrido que combina o Método de Nuvens

hp (do inglˆes, hp-Clouds Method) (DUARTE, 1996) (DUARTE; ODEN, 1996)

e a forma convencional do Método de Elementos Finitos. Nesta instância, considera-se a função de forma de cada nó como uma PU, sobre a qual se pode aplicar enriquecimento, à maneira do Método de Nuvens hp. Cada nu- vem pode receber enriquecimento independentemente, de forma que diferentes funções podem ser usadas como enriquecimento em diferentes porções do dom´ınio.

O MGEF foi estabelecido em Duarte, Babuˇska e Oden (2000), Strou- boulis, Babuˇska e Copps (2000), e Strouboulis, Babuˇska e Copps (2001), e em sua abordagem utiliza-se o conceito do Método de Elementos Fini- tos de Partição da Unidade (do inglês, Partition of Unity Finite Element

Method- PUFEM) (BABU ˇSKA; CALOZ; OSBORN, 1994), (MELENK, 1995), (ME-

LENK; BABU ˇSKA, 1996), (BABU ˇSKA; MELENK, 1997). Esta estratégia leva em consideração a idéia de se adicionar refinamentos hierárquicos a um conjunto de funções associadas a elementos finitos que satisfaçam os requisitos de uma Partição da Unidade (PU). Este procedimento permite, portanto, construir subespaços mais ricos para aproximação de soluções de equações diferen- ciais parciais.

O MGEF favorece um esquema simples e efetivo para se adaptar funções de aproximação para cada tipo de problema em análise. Em sua forma convencional, uma malha de elementos finitos é criada para se executar as seguintes operações: (a) definir partições da unidade localmente nos elementos usando-se coordenadas intr´ınsecas como, por exemplo, as funções lagrangeanas; e (b) facilitar a integração numérica. Finalmente, as funções PU são enriquecidas externamente (com a adição de novas variáveis incógnitas),

como no método de nuvens hp (DUARTE, 1996), por funções definidas em

coordenadas globais, aspecto este que é responsável, em grande parte, pela eficiência do método.

O MGEF convencional emprega as funções de forma do MEF para definir as nuvens e suas PU e, assim, reduzir o custo computacional em relação ao hp-Cloud e demais métodos sem malha. Todavia, tem-se reduzida a conti-

nuidade a C0(Ω).

O enriquecimento permite a aplicação de certos tipos de informações que reflitam o conhecimento prévio sobre a solução do problema de valor no

3.3 Método generalizado de elementos finitos - conceituação 47

contorno, tal como funções singulares resultantes de expansões assintóticas locais da solução exata nas proximidades de um ponto. A capacidade de aproximação inerente às funções de enriquecimento é inclu´ıda no espaço de funções de aproximação do método mantendo a mesma estrutura dos códigos de elementos finitos.

Usualmente, as funções de enriquecimento são polinomiais, mas funções especiais podem ser usadas para fornecer resultados mais acurados e implementações mais robustas, uma vez que é poss´ıvel usar bases não- polinomiais compactamente suportadas para ampliar o subespaço de solução. Estas funções podem ser constru´ıdas a partir do conhecimento prévio de expressões anal´ıticas que reflitam a natureza da solução exata do problema.

Uma diversidade de fenômenos tem sido analisados com êxito empregando-se o MGEF tais como a análise de propagação de fraturas (BELYTSCHKO; BLACK, 1999) (DUARTE et al., 2001) e materiais com micro-

trincas (STROUBOULIS; BABU ˇSKA; COPPS, 2001) e vazios (STROUBOULIS;

ZHANG; BABU ˇSKA, 2003). O MGEF foi também utilizado para se construir funções de aproximação arbitrariamente suaves adequadas para a

manipulação de condições de contorno de elevada regularidade (DUARTE;

KIM; QUARESMA, 2006).

Strouboulis et al. (2006) abordaram o problema de estimac¸˜ao de erro a

posterioriusando func¸˜oes handbook baseadas em malhas, geradas a partir de

subdom´ınios canônicos contendo caracter´ısticas microesctruturais, como en- riquecimentos para materiais com muitos vazios. Barros, Barcellos e Duarte (2007) apresentaram um procedimento para estimação de erro a posteriori e análise p-adaptativa usando funções PU cont´ınuas.

O’Hara, Duarte e Eason (2009) desenvolveram uma estratégia na qual o enriquecimento é gerado pela superposição de um problema de valor no contorno localizado numa região de elevado gradiente, cuja solução é iterati- vamente compatibilizada via penalização com a solução do problema global. Formulações cont´ınuas para placas laminadas anisotrópicas foram implemen-

tadas para as hip´oteses de Kirchhoff-Love (BARCELLOS; MENDONC¸ A; DUARTE,

2009) e Reissner-Mindlin (MENDONC¸ A; BARCELLOS; TORRES, 2011). Procedi-

mentos para se definir subespaços de aproximação enriquecidos para cascas laminadas e tratamento do fenômeno de camada limite foram apresentados em Garcia, Fancello e Mendonça (2009). Um formulação para placas laminadas anisotrópicas com sensores e atuadores piezelétricos foi desenvolvida e implementada por Torres e Mendonça (2010a), e verificada com a solução

anal´ıtica para o problema (TORRES; MENDONÇ A, 2010b) com a avalição de ta-

inc´ognitas, conforme Torres, Mendonc¸a e Barcellos (2011).

No documento Contribuições sobre a utilização de funções de aproximação contínuas no método generalizado de elementos finitos: avaliação em mecânica da fratura (páginas 45-48)