4 ANÁLISE DOS PROGRAMAS INSTITUCIONAIS
6.1 M ETODOLOGIA
6.1.1 Caracterização dos sujeitos
Como já foi dito anteriormente, esta pesquisa é parte de um trabalho de cooperação internacional existente entre pesquisadores da equipe de l’Universitè Joseph Fourier, na França, e pesquisadores das Universidades Federal do Mato Grosso do Sul (UFMS) e de Pernambuco (UFPE), em torno da problemática da modelização de conhecimentos algébricos e do uso das novas tecnologias.
Nesse sentido, os sujeitos que participaram do estudo experimental foram alunos de escolas francesas e de escolas brasileiras. Na França, os sujeitos foram 62 alunos de duas
classes de seconde (1ª série do ensino médio) de escolas públicas e, no Brasil, foram 55
alunos de duas turmas do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública (federal) situada no Estado de Pernambuco. Na verdade, no Brasil, este estudo experimental foi realizado em duas escolas públicas: uma municipal e outra federal. No entanto, por um problema estrutural, não foi possível completar este estudo na municipal. Por outro lado, no Brasil, a escolha de realizar os estudos com turmas do 9º ano se justifica pela conformidade dos programas de álgebra existentes nestes dois países. Como vimos na análise dos manuais didáticos, os alunos brasileiros iniciam o estudo de equações do 1º grau um ano mais cedo do que os alunos franceses. Os motivos principais que nos levaram a escolher alunos de classes
pelo fato de serem alunos que iniciaram o estudo de resolução de equações do 1º grau há pelo menos dois anos.
6.1.2 Caracterização do teste experimental
Os exercícios escolhidos para esta investigação junto aos alunos pertencem ao conjunto de 32 exercícios – sobre fatoração, simplificação (desenvolvimento e redução), equações e inequações do primeiro grau, equações do segundo grau, sistemas de equações – produzidos na França por Nicaud et al (2005), no projeto intitulado "Modélisation cognitive d’élèves en algèbre et construction de stratégies d’enseignement dans un contexte technologique”. Para o nosso estudo, interessamo-nos em analisar os resultados de 11 (onze) exercícios sobre a resolução de equações de 1º grau com uma incógnita, conforme mostra o quadro 1, a seguir. E1 E2 E3 E4 1 2 = + x 2x+4=6 5− x3 =9 3−2x=3x−6 E5 E6 E7 E8 x x x 4 3 2 5 8 − = + + 4(x−2)−2(x+1)=0 x x 2 1 3 1 2 3 − = + 0 7 5 2 6 2 7 = + − − x x E9 E10 E11 (2x+1)(x−3) (+ −x+3)(2x−3)=0 (x−2)(3x+1) (− x+1)(3x−1)=0
(
x+2)(
x−3) (
= x+2)(
x−4)
Quadro 1: Exercícios selecionados para compor este estudoComo podemos observar, estes exercícios contemplam os quatro subtipos de tarefas relativos à resolução de equações do 1º grau caracterizados no capítulo que trata da modelização a priori, a saber:
• t1: resolver equações do tipo ax+b=c.
• t11: resolver equações do tipo A(x)=c, em que A(x) é uma expressão polinomial não reduzida à forma canônica.
• t2: Resolver uma equação do tipo a1x+b1=a2x+b2
• t21: Resolver uma equação do tipo A1(x)= A2(x), em que A1(x) e A2(x) são expressões polinomiais não reduzidas à forma canônica.
O quadro 2, a seguir, mostra a caracterização de cada exercício em função dos diferentes subtipos de tarefas relativos à resolução de equações do 1º grau, propostos no capítulo que trata das modelizações a priori.
Subtipo de tarefa Exercício
t1: ax+b=c E1: x+2 =1 E2: 2x+4=6 E3: 5− x3 =9 t11: A(x)=c E6: 4(x−2)−2(x+1)=0 E8: 0 7 5 2 6 2 7 = + − − x x E9:
(
2x+1)(
x−3) (
+ −x+3)(
2x−3)
=0 E10:(
x−2)(
3x+1) (
− x+1)(
3x−1)
=0 t2: a1x+b1=a2x+b2 E4: 3−2x=3x−6 E7: x x 2 1 3 1 2 3 − = + t21: A1(x)= A2(x) E5: 8x−4=3x+2+5x E11:(
x+2)(
x−3) (
= x+2)(
x−4)
Quadro 2: Classificação dos exercícios por subtipo de tarefa
Dessa forma, foi possível investigar, por exemplo, não somente como os alunos resolviam equações dos tipos ax+ b=0, ax+b=cx+d, mas também de outros tipos, em
que, após o desenvolvimento e redução, poderiam ser transformadas em uma das formas canônicas acima. A única exceção é relativa ao subtipo de tarefa t1, para o caso em que b=0. Esse fato, no entanto, não limita nosso estudo, pois tal tipo de equação vai surgir naturalmente, como uma equação equivalente, no processo de resolução dos demais subtipos de tarefas.
6.1.3 Aplicação do teste experimental
Na França, os alunos resolveram os exercícios no ambiente computacional, fazendo uso do “software Aplusix”. Este "software" permite resolver exercícios, por manipulação direta na tela do computador, tanto de cálculo numérico quanto de cálculo algébrico (desenvolvimento, fatoração, resolução de equações, resolução de inequações e resolução de sistemas de equações), isto é, o Aplusix possibilita executar, por comandos bem definidos em linguagem algébrica, manipulações que se fazem no ambiente com papel e lápis, como, por
exemplo, encontrar a solução de equações. Dessa forma, o Aplusix é um software que apresenta características que permitem utilizar o computador como uma ferramenta auxiliar para promover a aprendizagem de conceitos algébricos com boa formação de expressões.
Esse ambiente computacional oferece a possibilidade de o professor, em função dos objetivos da aprendizagem ou da pesquisa, elaborar atividades de manipulação algébrica e gravá-las em arquivos para serem desenvolvidas pelo aluno. Além disso, o Aplusix possui um recurso denominado videocassete, que grava automaticamente todas as ações realizadas pelo aluno durante o desenvolvimento da atividade. Isto possibilita que todo o procedimento adotado possa ser visto posteriormente, além de permitir que se determine com precisão o tempo gasto pelo aluno entre as ações realizadas, os itens resolvidos ou a conclusão da tarefa. No Brasil, por dificuldades de encontrar escolas devidamente aparelhadas para realizar tal teste em ambientes computacionais, os alunos resolveram os exercícios no ambiente com papel e lápis.
6.1.4 Metodologia de análise
A análise do estudo experimental foi realizada em duas etapas: análise a priori e análise a posteriori.
Análise a priori. Este tipo de análise foi realizado com dois objetivos:
i) Caracterizar o nível de dificuldade de cada exercício em função do subtipo de tarefa e de outras variáveis manipuladas;
ii) Antecipar as técnicas de resolução esperadas em função do subtipo de tarefa (a forma escrita de cada equação) e de outras variáveis de contextos, como, por exemplo, o universo numérico (inteiro ou racional) no qual se inscreve cada exercício.
Análise a posteriori. Esta análise foi realizada com os seguintes objetivos:
i) Obter um resumo global do teste realizado pelos alunos da França e do Brasil no que se refere ao estado de resolução e ao desempenho alcançado pelos mesmos quando da resolução dos exercícios. Mais especificamente, determinar a frequência das resoluções: (1) iniciadas e terminadas; (2) bem sucedidas e fracassadas.
Estas informações nos permitiram ter uma ideia geral sobre o desempenho global dos alunos pertencentes a cada instituição, bem como identificar os subtipos de tarefas em que os mesmos apresentaram maiores dificuldades;
ii) Identificar e caracterizar as técnicas mobilizadas pelos alunos das duas instituições, ao realizarem os diferentes subtipos de tarefas relativos à resolução de equações do 1º grau, mais precisamente, determinar as praxeologias do aluno.
Para atingir este objetivo, tomamos como referência as categorias previstas na modelização a priori.
iii) Identificar e caracterizar (modelizar) os tipos de erros cometidos pelos alunos das duas instituições quando da resolução de equações do 1º grau.
Para realizar a análise a priori, utilizamos as praxeologias matemáticas pontuais previstas na “modelização a priori” para antecipar as técnicas possíveis de serem mobilizadas pelos alunos quando da realização dos exercícios relativos a cada subtipo de tarefa proposto.
No caso da análise a posteriori, utilizamos também as praxeologias matemáticas pontuais previstas na “modelização a priori” para caracterizar as técnicas mobilizadas pelos alunos quando da realização dos exercícios relativos a cada subtipo de tarefa proposto. Para caracterizar os erros, apresentamos, a seguir, alguns critérios de “modelização”, adaptados dos modelos diagnosticados por Nicaud (2005), que utilizamos para descrever possíveis “técnicas errôneas”, quando da resolução de equações de 1º grau com uma incógnita, geradas em função das dificuldades decorrentes da mobilização das técnicas previstas na modelização a priori, bem como de algumas variáveis de contexto.
1. Erros de cálculo numérico 2. Erros de cálculo algébrico
a. Erros ligados à mobilização de técnicas para desenvolver ou reduzir expressões algébricas (τDRE).
b. Erros de desenvolvimento de expressões algébricas c. Erros de redução de expressões algébricas
3. Erros ligados à mobilização de técnicas para transpor termos ou coeficientes (τTTC).
a. Erros de transposição de coeficientes b. Erros de transposição de termos constantes
4. Erros ligados à mobilização de técnicas para neutralizar termos ou coeficientes (τNTC).
a. Erros de neutralização de coeficientes b. Erros de neutralização de termos
5. Erros ligados à mobilização de técnicas para reagrupar termos semelhantes (τRTS). a. Erros de reagrupamento de termos constantes