M ´etodos de Agregac¸ ˜ao

Os m ´etodos de agregac¸ ˜ao avaliam por meio do conjunto de indicadores, mensurados qualitativamente ou quantitativamente, estipulando pesos relativos de im- port ˆancia para cada um dos crit ´erios para as diferentes alternativas. Desse modo, a ac¸ ˜ao que apresentar a maior pontuac¸ ˜ao agregada ou o maior ´ındice de prefer ˆencia, representa a melhor ac¸ ˜ao entre as alternativas consideradas (DIAKOULAKI; KARANGE- LIS, 2007; GUARNIERI, 2015). S ˜ao mensurados de forma aditiva, admitindo trade-offs entre os crit ´erios (GUARNIERI, 2015).

2.4 An ´alise de Decis ˜ao - AD 38

2.4.1.1.1 PROCESSO DE HIERARQUIA ANAL´ITICA - AHP

O Processo de Hierarquia Anal´ıtica foi desenvolvido na d ´ecada de 1970 pelo professor Thomas Saaty (SAATY, 1988; SAATY, 1990). O AHP segundo Wang et al. (2009) “ ´E uma metodologia de an ´alise de decis ˜ao descritiva que calcula a im- port ˆancia de alternativas atrav ´es da comparac¸ ˜ao por pares dos crit ´erios de avaliac¸ ˜ao e alternativas”. O processo consiste na decomposic¸ ˜ao de um problema em uma hi- erarquia, com os objetivos no topo, crit ´erios e subcrit ´erios nos n´ıveis e sub-n´ıveis da hierarquia e por ´ultimo as alternativas de decis ˜ao, na base do processo (POHEKAR; RAMACHANDRAN, 2004). As entradas definidas pelos especialistas e tomadores de decis ˜ao s ˜ao consideradas no momento da comparac¸ ˜ao em pares (TAHA; DAIM, 2013).

O AHP ao decompor o problema possibilita ao decisor definir prioridades e realizar o julgamento de prefer ˆencias entre alternativas. O processo consiste em comparar paritariamente os elementos em determinado n´ıvel hier ´arquico baseado na escala num ´erica de Saaty, apresentada na Tabela 3, para na sequ ˆencia, avaliar a sua superioridade aos demais crit ´erios do mesmo n´ıvel relativa aos elementos do n´ıvel superior (POHEKAR; RAMACHANDRAN, 2004).

A atribuic¸ ˜ao do ´ındice baseado na escala de Saaty ´e realizada pelo tomador de decis ˜ao ao ser perguntado a sua prefer ˆencia por um crit ´erio (ou subcrit ´erio, quando existir) em relac¸ ˜ao ao outro. Por meio desse processo ´e poss´ıvel montar uma matriz de comparac¸ ˜ao, Equac¸ ˜ao 3, em que cada elemento da matriz representa o ´ındice de prefer ˆencia em relac¸ ˜ao aos outros crit ´erios do mesmo n´ıvel hier ´arquico.

D =        C1 C1 C1 C2 · · · C1 Cn C2 C1 C2 C2 · · · C2 Cn .. . ... . .. ... Cn C1 Cn C2 · · · Cn Cn        (3)

Uma vez que os ´ındices de prefer ˆencias foram encontrados, podem ser calculados os pesos dos crit ´erios com base em alguns m ´etodos espec´ıficos, como o m ´etodo da m ´edia aritm ´etica, o m ´etodo da raiz caracter´ıstica ou utilizando m´ınimos quadrados, m ´etodos aplicados linha-a-linha na matriz de comparac¸ ˜ao (WANG et al., 2009). Tamb ´em pode ser encontrado os autovetores da matriz por meio da utilizac¸ ˜ao das teorias de ´algebra linear, estes representam os pesos associados a cada crit ´erio (EHRLICH, 1996). Finalmente ´e realizada a normalizac¸ ˜ao dos pesos, encontrando as- sim um valor entre 0 e 1 para cada um dos crit ´erios (CINELLI et al., 2014).

2.4 An ´alise de Decis ˜ao - AD 39

Tabela 3: Escala de Saaty para comparac¸ ˜ao dos crit ´erios no m ´etodo AHP. Intensidade

do peso

Definic¸ ˜ao Descric¸ ˜ao

1 Igual Import ˆancia Dois crit ´erios contribuem igualmente para os objetivos

3 Import ˆancia moderada Experi ˆencia e avaliac¸ ˜ao favorece ligeira- mente mais um dos crit ´erios

5 Import ˆancia forte Experi ˆencia e avaliac¸ ˜ao favorecem um crit ´erio em relac¸ ˜ao ao outro

7 Import ˆancia muito forte Um crit ´erio ´e favorecido fortemente em relac¸ ˜ao ao outro

9 Import ˆancia absoluta A evid ˆencia que favorece um crit ´erio em relac¸ ˜ao ao outro ´e a mais alta poss´ıvel em relac¸ ˜ao ao outro

2, 4, 6, 8 Valores intermedi ´arios Usado para representar o compromisso entre as prioridades listadas

Fonte: Adaptado de Wind e Saaty (1980).

A Figura 7 apresenta um exemplo de hierarquia de um processo AHP com um objetivo geral, crit ´erios (C1at ´e Cn), em que cada crit ´erio possui uma quantidade de subcrit ´erios vari ´avel. Em cada subcrit ´erio s ˜ao avaliadas todas as alternativas. Pode ocorrer de um crit ´erio n ˜ao possuir subcrit ´erios, sendo assim o desempenho das alter- nativas s ˜ao avaliadas diretamente no respectivo crit ´erio.

2.4.1.1.2 T ´ECNICA DE PREFER ˆENCIA POR ORDEM DE SIMILARIDADE A SOLU- C¸ ˜OES IDEAIS - TOPSIS

A T ´ecnica de Prefer ˆencia por Ordem de Similaridade a Soluc¸ ˜oes Ideais ´e mais uma ferramenta pertencente ao m ´etodo de agregac¸ ˜ao dos m ´etodos AMD, ela foi desenvolvida por Hwang e Yoon na d ´ecada de 1981 (YOON; HWANG, 1981). Trata-se de um m ´etodo de ordenac¸ ˜ao simples, onde s ˜ao requeridos somente como entrada pe- sos subjetivos, informados pelo tomador de decis ˜ao, ele auxilia na escolha da melhor alternativa avaliando um n ´umero finito de crit ´erios (AKBAS¸ ; BILGEN, 2017).

2.4 An ´alise de Decis ˜ao - AD 40 Objetivo C1 S1 S2 Sa C2 Cn U1 U2 Uc T1 T2 A1 A2 Am A1 A2 Am A1 A2 Am

Figura 7: Hierarquia dentro do m ´etodo AHP. Fonte: Adaptado de Saaty (1988).

crit ´erios de benef´ıcios qualitativos, benef´ıcios quantitativos e crit ´erios de custo. Exis- tem duas soluc¸ ˜oes hipot ´eticas, a primeira chamada de soluc¸ ˜ao ideal positiva e a se- gunda de soluc¸ ˜ao ideal negativa (CHOUDHARY; SHANKAR, 2012).

O m ´etodo TOPSIS baseia-se no conceito de prefer ˆencia por similaridade, classificando as alternativas com base no desempenho geral, em que a alternativa que possuir menor dist ˆancia da Soluc¸ ˜ao Ideal Positiva (SIP) e maior dist ˆancia da Soluc¸ ˜ao Ideal Negativa (SIN) (AKBAS¸ ; BILGEN, 2017). A soluc¸ ˜ao dita como ideal po- sitiva ´e aquela com maior n ´umero de benef´ıcios e menor custo, a ideal negativa ´e aquela com menor n ´umero de atributos ben ´eficos e custo mais elevado (CHOUDHARY; SHANKAR, 2012).

O processo geral da t ´ecnica TOPSIS pode ser descrito em sete etapas, conforme abaixo (AKBAS¸ ; BILGEN, 2017; S ´ANCHEZ-LOZANO et al., 2016; YOON; HWANG, 1981):

Etapa 1: Estabelecer uma matriz de decis ˜ao de desempenho, conforme apresentado na Equac¸ ˜ao 2.

Etapa 2: Normalizar a matriz de decis ˜ao de acordo com a Equac¸ ˜ao 4.

nij(x) = xij q Pm i=1x 2 ij ; i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n. (4)

2.4 An ´alise de Decis ˜ao - AD 41

Em que nij(x)s ˜ao os coeficientes da matriz de decis ˜ao normalizados. Etapa 3: Calcular a matriz de decis ˜ao normalizada ponderada de acordo com a Equac¸ ˜ao 5.

vij(x) = pj∗ nij(x); i = i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n. (5)

Em que pj ´e o peso do j- ´esimo crit ´erio ePn_j=1pj = 1 Etapa 4: Determinac¸ ˜ao da SIP (A+_{), dada pela Equac¸ ˜ao 6}

A+ =v₁+, · · · , v+_n , (6) em que

v_j+ = {max(vij) se j ∈ J ; min(vij) se j ∈ J0} , j = 1, 2, · · · , n. (7)

E da SIN (A−_{), conforme Equac¸ ˜ao 8.}

A− =v− 1 , · · · , v − n , (8) em que v_j− = {min(vij) se j ∈ J ; max(vij) se j ∈ J0} , j = 1, 2, · · · , n. (9)

Em que J s ˜ao os crit ´erios positivos, ou seja, crit ´erios ben ´eficos, os quais devem ser maximizados e J0 os atributos negativos, os quais devem ser minimizados, custo (AKBAS¸ ; BILGEN, 2017).

Etapa 5: A medida de separac¸ ˜ao entre cada alternativa ´e calcula pela dist ˆancia euclidiana (DE). A dist ˆancia da SIP ´e calculada conforme a Equac¸ ˜ao 10.

DE_i+=    v u u t n X j=1 (vij − v+)    , i = 1, 2, · · · , m (10)

Da mesma forma, para a SIN, conforme Equac¸ ˜ao 11.

DE_i−=    v u u t n X j=1 (vij − v−)    , i = 1, 2, · · · , m (11)

2.4 An ´alise de Decis ˜ao - AD 42

Etapa 6: Calculo da proximidade relativa (PR) com a soluc¸ ˜ao ideal, de acordo com a Equac¸ ˜ao 12.

P Ri = S_i−

S_i++ S_i−, i = i = 1, 2, · · · , m. P Ri ∈ {0, 1} (12) Etapa 7: Ordenar as alternativas de acordo com o ´ındice da proximidade relativa em ordem decrescente. Quanto maior for o valor do ´ındice menor ´e a dist ˆancia da soluc¸ ˜ao ideal positiva e maior a dist ˆancia da soluc¸ ˜ao ideal negativa (CHOUDHARY; SHANKAR, 2012).

2.4.1.1.3 TEORIA DA UTILIDADE MULTI-ATRIBUTO - MAUT

A teoria da utilidade multi-atributo ´e uma abordagem baseada em agregac¸ ˜ao de desempenho, fundamentada nos modelos de prefer ˆencia, admitindo apenas duas situac¸ ˜oes: prefer ˆencia estrita ou indiferenc¸a (GUARNIERI, 2015).

Para o processo ´e necess ´ario identificar as prefer ˆencia nas formas de fun- c¸ ˜oes de utilidade, tamb ´em identificar os pesos para cada atributo, o que na sequ ˆencia s ˜ao agregados para definir um crit ´erio de s´ıntese exclusivo (CINELLI et al., 2014). As func¸ ˜oes de utilidade podem ser aditivamente ou multiplicativamente separ ´avel em relac¸ ˜ao a func¸ ˜ao de utilidade do crit ´erio exclusivo. A forma multiplicativa da func¸ ˜ao de utilidade ´e expressa conforme Equac¸ ˜ao 13.

1 + ku(x1, x2, · · · , xn) = n Y j=1

(1 + kkj· u(xj)), (13) em que j ´e o ´ındice do atributo, k ´e a constante global (maior ou igual a -1), kj ´e a constante do atributo j, u(.) ´e o operador da func¸ ˜ao de utilidade, uj ´e o operador da func¸ ˜ao de utilidade para cada atributo (POHEKAR; RAMACHANDRAN, 2004).