MODELAGEM DOS ELEMENTOS NÃO LINEARES DA MALHA DE CONTROLE
3.3 M ODELAGEM DO COM PARADOR DO REGULADOR PW M
3.3.1 - Introdução
O regulador PW M 3524 [10] é utilizado neste trabalho para gerar ordens de
comando para os interruptores. Internamente possui um comparador onde é feita a
comparação entre a tensão de controle e uma dente de serra, tendo como resultado pulsos
cuja largura define a razão cíclica, ou seja, o intervalo de tempo durante o qual os
interruptores estão conduzindo. Esta onda dente de serra é gerada a partir de um oscilador
interno, cujo período de chaveamento é definido por um resistor conectado do pino
6
para o terra e um capacitor conectado do pino 7 para o terra.U F s r __________ J 0 - - Í & - - W 0 - 3-
33
Para utilizá-lo na análise e no projeto do sistema de controle do ponto de vista dodomínio da freqüência, é necessário obter seu modelo matemático. Para isto, utilizou-se
uma técnica de linearização denominada função descritiva. A escolha desta técnica, foi
devido também ao aparecimento de oscilações auto-sustentadas na simulação do circuito
chaveado. Oscilações estas provocadas pelo pequeno valor imposto aos erros relativos e
absolutos de tensão e de corrente, a fim de simular o sistema em malha fechada.
3.3.2 -Função Descritiva (FD)
A Linearização Harmônica é um método aproximado de análise de
comportamento de sistemas não lineares com características periódicas, que permite
utilizar os conceitos no domínio da freqüência, desenvolvidos para sistemas lineares, para
análise e projeto de sistemas de controle.
Baseado nos trabalhos de N. M. Krylov e N. N. Bogolyubov, o m étodo de
Linearização Harmônica foi proposto por L. S. Goldfarb em 1940 e usado por ele na
análise de sistemas de controle [
8
],A aplicação deste método impõe [9]:
. Que o sistema estudado deva ser decomposto em uma ou mais partes não lineares,
seguidas de partes lineares estáveis comportando-se como filtros passa-baixa;
. Somente o primeiro harmônico do sinal de saída do elemento não linear passa através do
filtro;
. As harmônicas superiores do sinal de saída são fortemente atenuadas após passarem pelo
filtro;
. que os sinais envolvidos sejam periódicos.
Após atendidas estas imposições, cada elemento não linear pode ser substituído
por um elemento linear equivalente cujos parâmetros dependem da amplitude do primeiro
harmônico do sinal de entrada deste elemento e da sua freqüência (caso de um elemento
não linear com inércia) ou simplesmente da amplitude (caso de um elemento não linear
sem inércia).
As Funções Descritivas [7] nada mais são do que as funções que descrevem
lineares de um dado sistema, sendo definida como o ganho complexo entre a componente
harmônica fundamental de saída e a amplitude de entrada, como mostra a equação
3
.2
:N = ^ Z 0. (3.2)
onde:
. N - função descritiva;
. A - amplitude do sinal de entrada;
. wi - amplitude da harmônica fundamental do sinal de saída;
. (j>i - defasagem da harmônica fundamental do sinal de saída
3.3.3 - Determinação da Função Descritiva do Comparador
Primeiro Estudo:
Muitos tipos diferentes de não linearidades podem ser encontrados em sistemas de
controle real.
Para obter a função descritiva do comparador é necessário prim eiro definir o tipo de não linearidade presente neste componente.
5V
Fig.3.5 - Circuito Representativo do Comparador do CI3524.
onde:
. Vc’ - tensão de controle isolada;
. Vn c i - tensão de comando da chave;
Quando compara-se a tensão de controle (Vc) com a dente de serra (Vramp),
como é mostrado na Fig. 3.5, a saída do comparador gera pulsos de comando para a chave
(Vnci) com a seguinte lógica:
Vc Vc
. S e --- > 1 => Vnci)0 . S e --- <1 => Vnci = 0
Vramp Vramp
(o interruptor está em condução); (o interruptor está bloqueado),
caracterizando desta forma uma não linearidade tipo saturação ou liga-desliga (on-off) ou
ainda, não linearidade de duas posições.
A Fig.3.6 mostra as formas de onda de entrada e saída bem como a curva de
característica de entrada-saída. ° V Î 2 0 Ï
/
//
° V ( 3 0 ) “ V { r a m p )(a)
V ranp (b)Fig. 3.6 (a) Formas de Onda de Entrada e Saída do Comparador; (b)Curva da Característica
de Entrada-Saída para a Não Linearidade Apresentada pelo Comparador.
Onde:
. V(20) - tensão de comando da chave (Vnci) ;
. Vramp - tensão dente de serra de 50kHz, cuja amplitude varia de 1 a 3,5V.
Após definido o tipo de não linearidade, determina-se a componente harm ónica fundamental de saída e divide-se pela componente fundamental de entrada, obtendo-se a
função descritiva.
Porém, neste momento surgiu então questões importantes que foram levantadas e
analisadas:
Ia - A entrada do elemento não linear é composta por dois sinais: V c’e Vramp:
Qual o sinal a adotar, visto que na literatura [
8
], [9], [11] e [12], é determ inada a função descritiva de vários elementos não lineares que possuíam somente um sinal deentrada? Nada foi encontrado para a obtenção da função descritiva para dois sinais de
entrada tão diferentes.
2~ - Como pode ser visto na Fig. 36b, o sinal de saída depende do quociente da razão entre os dois sinais de entrada;
Como adotar somente um dos sinais de entrada se a saída depende da relação entre
ambos?
3â - A informação que interessa no sinal de saída é a variação da razão cíclica em relação a
tensão de controle isolada.
Ter-se-ia que obter a componente fundamental do sinal de saída para diversos
períodos de chaveamento, pois a largura dos pulsos era variável de período a período.
Qual período a adotar?
Considerar a largura de pulso constante e igual a nominal?
Diante desses problemas encontrados, e após muitas tentativas, abandonou-se esta
linha de raciocínio e partiu-se para o estudo numa visão macro, ou seja, saído do período
de chaveamento (20ps) e indo para o período da perturbação do sinal de entrada (8,33ms).
Segundo Estudo:
Nesta segunda etapa, o comparador foi representado pelo bloco mostrado na Fig.
x(t)=A sen (wt)
í >
Bloco Não Linear (comparador)
w(t)=w] sen(wt)
í >
Fig. 3.7 - Relação Entrada-Saída.
onde:
. x(t) - Sinal senoidal de entrada;
. W(t) - Componente harmônica do sinal de saída.
A função descritiva do comparador foi obtida via simulação no Pspice. O circuito
simulado é o mostrado na Fig.3.5, representado pelo bloco da Fig. 3.7.
Para obter-se a FD do comparador procedeu-se de dois modos diferentes.
Primeiramente variou-se a amplitude da tensão senoidal de entrada, mantendo-se
sua freqüência constante. Mediu-se a largura dos pulsos do sinal de saída proveniente da
comparação da tensão senoidal com a dente de serra. Então, montou-se a Tabela 3.3 e a
partir desta uma terceira onda onde a ordenada é a largura dos pulsos do sinal de saída e a
abcissa o tempo, como pode ser vista na Fig. 3.8. Este procedimento foi repetido para os
diferentes valores de amplitude.
Tabela 3.3 - Determinação da Razão Cíclica para cada Período de Chaveamento.
Período de Chaveamento Intervalo de Tempo de Condução (ps) Razão Cíclica
l2 0 - 8 ,5 1 2 0 ,4 2 5 6 2° 2 0 -28,888 0 ,4 4 4 4 32 40 - 4 9,266 0,4633 42 60 - 69,674 0 ,4 8 3 7 52 80 - 90,350 0,5175 6 2 1 0 0 - 110,885 0,5443 1- 1 2 0 - 130,885 0,5443 8 2 1 4 0 - 151,286 0,5643 92 1 6 0 - 170,677 0 ,5 8 3 9 1 0 2 1 8 0 - 192,050 0,6025 I I2 2 0 0 - 2 1 2 ,0 8 9 0,6045 1 2a 220 - 232,068 0 ,6 0 3 4 1 3 0 240 - 252,069 0,6035 142 260 - 272,072 0 ,6 0 3 6 152 280 - 292,066 0 ,6 0 3 3 162 3 0 0 - 311,667 0 ,5 8 3 4 I
?2
3 2 0 - 331,681 0 ,5 8 4 0 182 3 4 0 - 3 5 1 ,2 6 4 0 ,5 6 3 2 1 9 ° 360 - 370,876 0 ,5 4 3 8 O I O (N 3 8 0 - 390,680 0 ,5 3 4 0 2 1 2 4 0 0 - 4 1 0 ,3 4 8 0 ,5 1 7 4Cont. 24° 460 -4 6 8 ,8 8 2 0,4441 252 480 -4 8 8 ,4 3 2 0 ,4 2 1 6 262 500 - 508,079 0 ,4 0 4 0 OI 520 - 527,291 0 ,3 6 4 6 OI O O C \| 540 - 546,889 0,3445 29a 560 - 566,489 0,3245 OI O r o 580 - 586,085 0,3043 3 12 600 - 605,675 0 ,2838 32® 6 2 0 - 625,281 0,2641 332 640 - 6 4 4,880 0 ,2 4 4 0 342 660 - 6 6 4,886 0,2443 352 6 8 0 - 6 8 4 ,4 9 1 0 ,2 2 4 6 362 700 - 704,483 0 ,2242 37o 720 - 724,092 0 ,2046 382 7 4 0 - 7 4 4 ,0 8 1 0,2041 392 760 - 764,085 0,2043 4 O2 7 8 0 - 784,085 0,2043 4 1 2 800 - 804,487 0 ,2244 42 e 820 - 824,493 0 ,2247 432 840 - 844,882 0,2441 442 860 - 865,274 0 ,2637 4 5° 880 - 885,692 0 ,2 8 4 6 4^ OsIO 900 - 906,093 0 ,3047 IO 9 2 0 - 9 2 6 ,4 9 1 0 ,3 2 4 6 48 2 940 - 946,892 0 ,3 4 4 6 4^ IO 960 - 967,285 0 ,3643 OI O ÍT ) 980 - 987,683 0 ,3842
Após obtida esta nova curva, fez-se sua análise harmônica no DSN, que é um
programa utilizado para análise de curvas, onde pôde-se obter sua componente
fundamental.
Com estes dados determinou-se a função descritiva do com parador para cada valor
Tabela 3.4 - Resultados Obtidos Via Simulação para Determinação da Função Descritiva
M antendo-se a Freqüência da Tensão de Entrada Constante.
Nível Contínuo da Onda Senoidal (V) Freqüência da Onda Senoidal (Hz) Amplitude da Onda Senoidal [A] (V) Componente Fundamental da Tensão de Saída [w,] (V) Função Descritiva N = ™ A 1,98
1000
0,1
0,04139 0,4139 1,981000
0,3 0,12090 0,4030 1,981000
0,5 0,19840 0,3968 1,981000
0,7 0,28010 0,4001 1,981000
0,9 0,36037 0,4004O procedimento anteriormente descrito para o levantamento da FD do
comparador, quando o sinal de entrada tinha freqüência constante e amplitude variável, foi
o mesmo adotado quando manteve-se a amplitude constante e variou-se a freqüência.
Os resultados obtidos nesta segunda etapa podem de vistos na Tabela 3.5.
Tabela 3.5 - Resultados Obtidos Via Simulação para Determinação da Função Descritiva
Mantendo-se a Amplitude da Tensão de Entrada Constante.
Nível Contínuo da Onda Senoidal (V) Freqüência da Onda Senoidal (Hz) Amplitude da Onda Senoidal [A] (V) Componente Fundamental da Tensão de Saída [w,] (V) Função Descritiva N = ™ A 1,98
1000
0,5 0,19840 0,3968 1,982000
0,5 0,1983 0,3966 1,98 3000 0,50,2000
0,4000 1,98 5000 0,5 0,1970 0,3940 1,98 7000 0,5 0,1977 0,3954 1,98 9000 0,5 0,1878 0,3756 1,9812000
0,5 0,1776 0,3552Os dois últimos valores da Função Descritiva na Tabela 3.5 diferenciaram-se
bastante dos demais, devido ao pouco número de pontos da onda gerada pela comparação
da V c’ em 12kHz com a dente de serra em 50kHz.
Analisando-se os resultados obtidos tanto na Tabela 3.3 como na Tabela 3.4, a
Função Descritiva do comparador é praticamente constante, ou seja , a razão entre a onda
senoidal de entrada e a componente fundamental de saída independe da amplitude do sinal
N = 0,4 (3.3)
3.4 -C O N C LU SÃ O
Sendo o isolador ótico um elemento “extremamente “não linear, sua resposta em freqüência deve ser sempre obtida injetando-se sinais que correspondam aos sinais do
ponto de operação onde este está inserido. Como foi constatado, não se deve injetar sinais
cujas amplitudes representem a máxima excursão do sinal de entrada deste elemento.
Na busca de um compensador otimizado, a função de transferência do isolador
ótico não deve ser utilizada, visto que a mesma só representa o elemento para um
determinado ponto de operação, pois a medida que os parâmetros do compensador vão
mudando, a amplitude dos sinais de entrada do isolador ótico também variam, anulando a validade da função de transferência inicialmente utilizada.
Caso o projeto necessite de isolamento entre sinais, aconselha-se após ter
encontrado o compensador otimizado, fazer ensaios com isoladores óticos afim de
determinar o mais indicado para cada situação.
Para que pudesse ser obtida a Função Descritiva do comparador, houve a
necessidade de enxergar o problema de fora do período de chaveamento, visto que quando
se trabalha com conversores chaveados, o impulso inicial leva sempre a equacionamentos
onde o domínio do tempo é sempre enclausurado dentro do período de chaveamento.
Adotando-se os procedimentos descritos anteriormente, verificou-se que a
característica de transferência de sinal através do comparador independe da amplitude ou