Mapeamento do Pórtico: Elemento Finito NLG de Barra

O elemento finito de barra tridimensional adotado foi apresentado originalmente em Coda (2009) como sendo um elemento "tipo-sólido" por definir pontos no espaço por meio da discretização tanto da linha longitudinal quanto das seções transversais da barra.

Os elementos de barra se caracterizam por possuir uma de suas dimensões no espaço muito maior do que as demais dimensões, neste caso, o comprimento. Nesse sentido, um primeiro mapeamento de pontos pertencentes ao elemento finito de barra é feito ao longo de uma linha de referência longitudinal que define um eixo no seu comprimento.

Adotando um espaço adimensional auxiliar (ξ1, ξ2, ξ3) como referência, sendo ξ1 medida na direção longitudinal da barra, a posição inicial x de um ponto qualquer sobre a linha de referência pode ser aproximada por funções de forma polinomiais da seguinte maneira:

1

i i

x =φ ξℓ( ) X⋅ ^ℓ (2.37)

sendo o índice ℓ referente ao nó do elemento finito, φℓ a função de forma correspondente aquele nó e X_i^ℓ o valor da posição do nó na direção i (i = 1, 2, 3).

A equação (2.37) fornece um mapeamento apenas sobre a linha de referência. A fim de mapear pontos do corpo sólido que estejam fora desta linha são adotados vetores generalizados V^1ℓ e V^2ℓ para cada nó ℓ da barra com origem no nó. A Figura 2.3(a) ilustra

Capítulo 2 – Modelagem da estrutura do edifício 57 um exemplo do mapeamento com estes vetores para um elemento de barra com dois nós, seção retangular e linha de referência passando pelo centro de gravidade da seção transversal.

Figura 2.3 – Mapeamento (a) inicial e (b) corrente de um elemento de barra

Os vetores V^1ℓ e V^2ℓ definem o plano da seção transversal em cada nó e podem ser compreendidos como parâmetros relacionados à inclinação (ou ao giro) da seção. Porém, nesta formulação não há necessidade de impor limitações a estes vetores, não sendo os mesmos obrigatoriamente ortogonais à linha de referência. Este recurso provê maior generalidade da formulação permitindo a consideração da cinemática de flexão de Reissner-Timoshenko, na qual a seção permanece plana, mas não necessariamente ortogonal à linha média. Desta maneira, consideram-se os efeitos das tensões de cisalhamento na flexão.

Com uso destes vetores, o mapeamento para qualquer ponto do elemento de barra tridimensional na sua configuração inicial passa a ser descrito na seguinte forma:

0 0

1 2

1 2

1 2 1 3 1

2 2

i i i i

b b

x =φ ξℓ( ) X⋅ ^ℓ+ ξ φ ξℓ( ) V⋅ ^ℓ+ ξ φ ξℓ( ) V⋅ ^{ℓ (2.38)} sendo b₁⁰ e b₂⁰ as respectivas dimensões da seção transversal (nas direções de V^1ℓ e V^2ℓ) para o caso de barras com seção retangular.

Por conveniência, é assumido para a configuração inicial (ou não deformada) da barra que os vetores V^1ℓ e V^2ℓsão unitários e ortogonais ao eixo longitudinal. Para a configuração deformada (ou corrente durante o processo de análise NLG) são tomados outros dois vetores generalizados G^1ℓ e G^2ℓ análogos aos vetores da configuração inicial. Estes novos vetores são livres para mudar (ou não) de tamanho e de direção sendo, portanto, incógnitos. Dessa maneira, considera-se a possibilidade do elemento de barra sofrer mudanças nas dimensões da seção transversal bem como girar livremente em relação ao ponto por onde passa a linha de

58 Tese de Doutorado – Wagner Queiroz Silva

referência longitudinal. Na Figura 2.3(b) ilustra-se um caso hipotético da configuração deformada (ou corrente) da viga de seção retangular.

Assim, de forma análoga ao mapeamento inicial, o mapeamento de posições y de um ponto qualquer da barra para a sua configuração deformada (ou corrente) fica definido por:

0 0

1 2

1 2

1 2 1 3 1

2 2

i i i i

b b

y =φ ξℓ( ) Y⋅ ^ℓ+ ξ φ ξℓ( ) G⋅ ^ℓ + ξ φ ξℓ( ) G⋅ ^ℓ (2.39) onde Y_i^ℓ é o valor da posição atualizada do nó.

Apesar das equações (2.38) e (2.39) terem sido apresentadas para uma barra de seção retangular, esta formulação pode ser extendida para barras com seções transversais de formas geométricas quaisquer, permitindo assim aplicações mais gerais. Nesse sentido, são utilizados elementos finitos planos para formar uma malha discreta da seção transversal, seguindo o trabalho de Coda & Paccola (2009) para materiais formados por lâminas. Considera-se que a seção de cada elemento é constante ao longo do comprimento.

O plano da seção transversal inicial é gerado pelos vetores generalizados com origem na linha de referência e dados em qualquer posição ao longo da barra em função dos seus valores nodais como:

( ) ( )

1 1

1 = 1 V

ξ φ ξℓ ^ℓ

v (2.40)

( ) ( )

2 2

1 = 1 V

ξ φ ξℓ ^ℓ

v (2.41)

Na Figura 2.4(a) pode-se ver uma seção transversal hipotética originalmente quadrada sobre um ponto nodal da barra. Uma malha aproximadora para o campo de posições sobre a superfície da seção é constituída a partir de pontos

(

^{a bγ, γ}

)

gerados em pré-processador de elementos triangulares planos, no caso, de ordem cúbica. Assim, a posição de um ponto qualquer sobre a seção na configuração inicial é obtida substituindo-se a expressão (2.38) por:

(

^{1, 2, 3}

)

^{= ( )1 ⋅ + ( ,2 3)⋅ ⋅ 1}

( )

^{1 + ( ,2 3)⋅ ⋅ 2}

( )

¹

i i

x ξ ξ ξ φ ξℓ X^ℓ ϑ ξ ξ_γ a^γ v ξ ϑ ξ ξ_γ b^γ v ξ (2.42) onde ϑ ξ ξ_γ( ,_{2 3}) é o conjunto de funções de forma do elemento de aproximação cúbica.

Expressão análoga é gerada para a configuração atual, ou seja:

(

^{1, 2, 3}

)

^{= ( )1 ⋅ + ( ,2 3)⋅ ⋅ 1}

( )

^{1 + ( ,2 3)⋅ ⋅ 2}

( )

¹

i i

y ξ ξ ξ φ ξℓ Y^ℓ ϑ ξ ξ_γ a^γ g ξ ϑ ξ ξ_γ b^γ g ξ (2.43) onde as coordenadas

(

^{a bγ, γ}

)

são mantidas, pois não são variáveis do problema, e a mudança de posição dos pontos da seção transversal se faz pelo mapeamento dos vetores generalizados incógnitos nos nós G^1ℓ e G^2ℓ, conforme a Figura 2.4(b). Estes vetores constituem os vetores generalizados g¹ e g² em qualquer posição ao longo da barra por aproximação análoga às

Capítulo 2 – Modelagem da estrutura do edifício 59 equações (2.40) e (2.41). Desta maneira o programa permite a consideração de seções gerais com qualquer forma geométrica. Na Figura 2.5 ilustra-se situação análoga para uma seção tipo "U".

V1^ℓ

V2^ℓ

( )^a,b

G1^ℓ

G2^ℓ

(a) Inicial (b) Corrente

Figura 2.4 – Seção transversal quadrada

V1^ℓ

V2^ℓ

G1^ℓ

G2^ℓ

(a) Inicial (b) Corrente

Figura 2.5 – Seção transversal tipo "U"

Colocando-se todas as aproximações consideradas em uma mesma expressão, resultam os mapeamentos do elemento de barra NLG na seguinte forma:

1 2

1 2 3 1 2 3 1

( )  ( , )   ( )   ( , )   ( ) 

= ^ℓ ⋅ ^ℓ+ ⋅  ⋅ ^ℓ ⋅ ^ℓ + ⋅  ⋅ ^ℓ ⋅ ^ℓ

i i i i

x φ ξ X ϑ ξ ξ_γ a^γ φ ξ V ϑ ξ ξ_γ b^γ φ ξ V ^(2.44)

1 2

1 2 3 1 2 3 1

( )  ( , )   ( )   ( , )   ( ) 

= ^ℓ ⋅ ^ℓ+ ⋅  ⋅ ^ℓ ⋅ ^ℓ + ⋅  ⋅ ^ℓ ⋅ ^ℓ

i i i i

y φ ξ Y ϑ ξ ξ_γ a^γ φ ξ G ϑ ξ ξ_γ b^γ φ ξ G ^(2.45) A linha de referência pode passar por qualquer ponto da seção transversal, sendo este ponto a origem dos vetores generalizados, conforme os exemplos apresentados nas Figuras 2.4 e 2.5. A escolha da posição desta origem local é livre. No entanto, os efeitos de forças aplicadas diretamente sobre um nó do elemento finito de barra dependem da posição da linha de eixo, uma vez que todas as integrais da solução numérica são realizadas tendo como referência o ponto escolhido para a origem dos vetores. Para casos de seções transversais cuja origem escolhida não passe pelo centro de cisalhamento, por exemplo, qualquer força

60 Tese de Doutorado – Wagner Queiroz Silva

transversal aplicada irá gerar torção na barra. Para forças normais à seção, se a linha de referência passar pelo centro de gravidade, estas forças irão gerar distribuição uniforme de tensões normais, caso contrário, as mesmas irão produzir flexão-composta. Logo, a escolha da posição da origem na seção transversal deve ser feita conforme o problema mecânico que se deseja analisar.

Neste trabalho adota-se a seguinte metodologia: a geração da malha da seção transversal pode ser feita a partir de uma origem qualquer do sistema de coordenadas local gerado pelos vetores iniciais (configuração indeformada); ainda na fase de pré-processamento, o programa oferece a opção de manter a origem inicial ou alterá-la para o centro de gravidade, o centro de cisalhamento (ou centro de torção) ou ainda para um ponto qualquer definido pelo próprio usuário via arquivo de entrada. As coordenadas do centro de gravidade e do centro de cisalhamento são calculadas de maneira aproximada com uso da malha discreta. No caso do centro de cisalhamento, os procedimentos estão descritos no APÊNDICE A desta tese.

Maiores detalhes sobre este recurso serão discutidos ainda neste capítulo para demonstrar possíveis tratamentos de excentricidades entre ligações de peças da estrutura tridimensional do edifício.

Até o momento, a formulação do elemento finito de barra NLG inclui em um total de nove graus de liberdade por nó, dentre as posições Yi e as componentes dos vetores G e ^1ℓ G . Entretanto, sabe-se que para leis constitutivas tridimensionais de sólidos a cinemática de 2ℓ

Reissner pode apresentar problemas de travamento (BISCHOFF; RAMM, 2000). Este travamento se manifesta na forma de um enrijecimento errôneo da estrutura e é causado pelo efeito de Poisson e por um "desequilíbrio" entre as aproximações das deformações normais e das deformações transversais (CODA, 2009). Como o elemento de barra adotado tem características que o assemelham a um sólido, a cinemática dada pela expressão (2.45) ainda pode resultar em erros, principalmente no caso de torção.

Para resolver esse problema devem ser considerados enriquecimentos cinemáticos que incluam as deformações transversais e o empenamento da seção, dando assim as mobilidades necessárias para captar adequadamente a mudança de forma do elemento. O uso de uma malha discreta sobre a seção transversal facilita a implementação de novos parâmetros para considerar tais enriquecimentos.

O primeiro enriquecimento adicionado à cinemática da barra leva em conta a possibilidade de que ao longo de cada uma das dimensões da seção transversal podem ocorrer deformações transversais com intensidade variável. Considera-se que fibras mais próximas à

Capítulo 2 – Modelagem da estrutura do edifício 61 linha de referência possam sofrer deformações no plano da seção diferentes das fibras mais afastadas dessa linha, permitindo ao material sua deformação transversal com uma variação linear para cada direção da seção. Deve-se observar que essas novas variáveis são consideradas somente na configuração corrente e não mudam as dimensões da seção transversal.

Adotam-se então novas variáveis Λɶ e ϒɶ que representam às intensidades de deformações transversais da seção, sendo estas aproximadas em termos de elementos finitos ao longo da linha de eixo na seguinte forma:

( )

1

( )

1

Λ ξ =φ ξℓ Λ^ℓ

ɶ (2.46)

( )

¹

( )

¹

ϒ ξ =φ ξℓ ϒ^ℓ

ɶ (2.47)

Neste caso são considerados dois novos vetores de parâmetros nodais Λ^ℓ e ϒ^ℓ que contêm as taxas de variação da deformação transversal respectivamente para cada direção do plano da seção. Estes novos parâmetros são inseridos na equação (2.45) enriquecendo, assim, a cinemática da configuração deformada, o que resulta em:

1 2

1 2 3 1 2 3 1

2 1 2 2

2 3 1 1 2 3 1 1

i i i i

i i

y ( ) Y ( , ) a ( ) G ( , ) b ( ) G

( , ) a ( ) ( ) G ( , ) b ( ) ( ) G

       

= ⋅ + ⋅  ⋅ ⋅  + ⋅  ⋅ ⋅ +

 ⋅  ⋅ ⋅ Λ ⋅  ⋅  + ⋅  ⋅ ⋅ ϒ ⋅  ⋅ 

           

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

γ γ

γ γ

γ α γ α

γ α γ α

φ ξ ϑ ξ ξ φ ξ ϑ ξ ξ φ ξ

ϑ ξ ξ φ ξ φ ξ ϑ ξ ξ φ ξ φ ξ (2.48)

Ainda é necessário considerar, na cinemática do elemento de barra, deslocamentos da seção fora de seu plano de maneira a permitir a consideração do empenamento e, consequentemente, eliminando o problema de travamento devido à torção. Adota-se a metodologia proposta originalmente no trabalho de Santos (2008), na qual é considerada a teoria de Saint-Venant para resolver o problema da torção livre de barras prismáticas e determinar, assim, um modo de empenamento unitário. Os procedimentos para a determinação deste modo de empenamento estão descrito no APÊNDICE A.

A fim de incluir a cinemática de empenamento da seção para o elemento de barra, um novo termo será acrescentado à expressão (2.48) referente ao empenamento por unidade de comprimento. Para isso, escreve-se uma aproximação do empenamento wɶ de um ponto qualquer sobre a seção transversal da barra em termos de elementos finitos planos da malha discreta da seção:

2 3 2 3

( , ) ( , )

wɶ ξ ξ =ϑ ξ ξ_γ w^γ (2.49)

Na equação (2.49) o vetor w^γ é o modo de empenamento unitário e reúne os deslocamentos na direção longitudinal da seção para um giro unitário de torção em cada nó da discretização transversal.

62 Tese de Doutorado – Wagner Queiroz Silva

Para determinar a direção n de empenamento, que é ortogonal ao plano da seção, realiza-se o produto vetorial entre os vetores generalizados G e ¹ G da configuração corrente: ²

( )

1 ¹( 1) ²( 1)

n ξ =G ξ ×G ξ (2.50)

ou ainda, em notação de índice:

( )

¹

{ ( )

^{1 1}

( )

^{1 2}

}

i k j ijk

n ξ = ^φ ξ_α ⋅G^{α } ⋅ φ ξ_β ⋅G ^β ⋅ζ (2.51)

onde ζ_ijk é o tensor cíclico de Levi-Cevita.

Escreve-se então uma aproximação para o empenamento w da seção transversal considerando uma nova variável nodal W^ℓ referente à intensidade de empenamento ao longo do comprimento da barra, incluindo ainda a sua direção dada em (2.51), ou seja:

( ) ( )

1 2 3 2 3 1 1

( , , ) ( , )

w ξ ξ ξ =^ϑ ξ ξ_γ w^{γ } φ ξ^ℓ W^ℓn ξ (2.52) É importante observar que o modo de empenamento unitário calculado serve aqui como função enriquecedora. Dessa forma, os valores calculados são multiplicados por W(ξ₁) resultando assim no empenamento final da seção com não linearidade geométrica.

Inserindo-se a (2.52) na (2.48) obtém-se o mapeamento geral da configuração corrente para a barra tridimensional com seção qualquer f^1b, incluindo os enriquecimentos referentes à variação linear da deformação ao longo de cada direção da seção além da cinemática de empenamento:

1 1 2

1 2 3 1 2 3 1

2 1 2 2

2 3 1 1 2 3 1 1

2 3 1

b

i i i i i

i i

k

f y ( ) Y ( , ) a ( ) G ( , ) b ( ) G

( , ) a ( ) ( ) G ( , ) b ( ) ( ) G

( , ) w ( ) G

γ γ

γ γ

γ α γ α

γ α γ α

γ γ α

φ ξ ϑ ξ ξ φ ξ ϑ ξ ξ φ ξ

ϑ ξ ξ φ ξ φ ξ ϑ ξ ξ φ ξ φ ξ

ϑ ξ ξ φ ξ

       

= = ⋅ + ⋅   ⋅  + ⋅   ⋅ +

 ⋅   ⋅ Λ   ⋅  + ⋅   ⋅ ϒ   ⋅ +

           

 ⋅  ⋅

 

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

{

^{ 1α  φ ξβ( 1) G⋅ 2jβ}

}

^{⋅ζijk⋅φ ξℓ( 1) W⋅ ℓ}

(2.53)

Como estes enriquecimentos não são considerados para a barra na situação inicial não deslocada, o mapeamento inicial é dado pela equação (2.44) sendo f_i^0b = x_i .

Os elementos de barra possuem, portanto, doze graus de liberdade por nó, sendo estes:

três posições no espaço; três componentes do vetor generalizado G ; três componentes do ¹ vetor generalizado G ; duas taxas de variação da deformação transversal para cada direção da ² seção e o valor de intensidade de empenamento W.

No presente trabalho adotam-se somente elementos de barra com aproximação cúbica.

Assim, todos os elementos de barra utilizados possuem quatro nós, perfazendo um total de quarenta e oito graus de liberdade por elemento.

Capítulo 2 – Modelagem da estrutura do edifício 63 A Figura 2.6 ilustra um exemplo do mapeamento para um elemento de barra hipotético com seção transveral tipo "U" e linha de referência passando pelo centro de gravidade. As funções de mapeamento f^0b e f^1b levam a descrição do elemento de barra no sistema adimensional auxiliar para, respectivamente, a situação inicial e corrente.

ξ1

ξ3

ξ2

( )

1

1, ,2 3

f b

ξ ξ ξ

( )

0

1, ,2 3

f b

ξ ξ ξ

f

b

ξ1

1

2

3

4

1

2

3

4

Figura 2.6 – Mapeamento de um elemento de barra com seção "U"

Com relação às funções de forma da linha longitudinal, é possível adotar elementos com qualquer ordem de aproximação utilizando os polinômios de Lagrange para o cálculo destas funções (BREBBIA; FERRANTE, 1975). Neste caso, os polinômios de ordem (n-1) para um elemento com n nós são expressos, de maneira geral, pelo seguinte produtório, já considerando a variável ξ₁^:

( )

1 ^{1 1}

1 1

1 n j

j j

j

φ ξ ξ ξ

ξ ξ

≠

=



 −

=  

 − 

∏

ℓ ℓ

ℓ

(2.54) sendo os índices superiores ℓ e j referentes ao nó do elemento.

Apresenta-se ainda a primeira derivada destas funções que são utilizadas, por exemplo, no cálculo dos gradientes A e ⁰ A , conforme pode ser observado na (2.15) e (2.16). ¹

{ ( )

¹

} ( )

¹

( )

1 1 1

1 n 1

j j

j

d

d φ ξ φ ξ

ξ ≠ ξ ξ

=

 

 

=  − 

∑

ℓ ℓ

ℓ

(2.55)

64 Tese de Doutorado – Wagner Queiroz Silva

Quanto às aproximações da seção transversal, as funções de forma adotadas são as mesmas utilizadas para aproximar o elemento de casca, sendo estas funções descritas mais a frente.

Para a aplicação dos procedimentos descritos nos itens 2.1 e 2.2, bem como das integrais numéricas dadas em (2.34) e (2.35), as correspondências entre os graus de liberdade de barra para cada nó ℓ são definidas da seguinte maneira: Y₁^ℓ=Y₁^ℓ, Y₂^ℓ=Y₂^ℓ,

3 3

Y^ℓ=Y^ℓ,Y₄^ℓ = Λ^ℓ, Y₅^ℓ =G₁^1ℓ, Y₆^ℓ=G¹₂^ℓ, Y₇^ℓ =G₃^1ℓ, Y₈^ℓ = ϒ^ℓ, Y₉^ℓ =G₁^2ℓ, Y₁₀^ℓ =G₂^2ℓ, Y₁₁^ℓ =G₃^2ℓ e Y12^ℓ =W^ℓ.

2.2.1.1 Obtenção dos esforços seccionais

Comenta-se neste item sobre os procedimentos para o cálculo dos esforços seccionais em elementos de barra. Tratam-se dos esforços simples de força normal, esforços cortantes, momentos fletores e momentos de torção, usuais em projetos de engenharia.

Afinal, apesar da formulação fornecer os resultados de tensões na seção transversal da barra conforme a equação (2.36), na prática de projetos de edificações é comum o uso de metodologias que se baseiam nas distribuições dos esforços seccionais para o dimensionamento. Logo, é interessante que o programa forneça também estes resultados permitindo aos engenheiros e projetistas uma avaliação estrutural segundo as técnicas usualmente empregadas em escritórios de projeto.

Para a obtenção dos esforços seccionais realizam-se as integrais das tensões sobre a área de cada seção transversal da barra, o que resulta em valores de esforços para cada nó na linha longitudinal. Considerando um sistema de coordenadas locais, no qual xɶ₁ (coordenada local) acompanha o eixo longitudinal da barra, xɶ₂ acompanha o vetor V^1ℓ e xɶ₃ acompanha o vetor V^2ℓ, observa-se que o esforço normal na seção é dado pela integral da componente de tensão normal na direção 1, isto é:

11 A

N=

∫

^{σ d}A ^(2.56)

sendo A a área da seção.

Nestes termos, os esforços cortantes V₂ e V₃ em cada direção do plano da seção transversal são dados pelas seguintes integrais das componentes de tensões cisalhantes:

2 12

A

=

∫

^{σ d}A

V (2.57)

Capítulo 2 – Modelagem da estrutura do edifício 65

3 13

A

=

∫

^{σ d}A

V (2.58)

Os momentos fletores M₂ e M₃, por sua vez, são dados por:

2 11 3

A

M =

∫

^{σ x dɶ} A ^(2.59)

3 11 2

A

M =

∫

^{σ x dɶ} A ^(2.60)

enquanto o momento de torção M₁ é calculado como segue:

( )

T 1 13 2 12 3

A

M =M =

∫

^{σ xɶ} −^{σ x dɶ} A ^(2.61)

No documento WAGNER QUEIROZ SILVA (páginas 60-69)