2.2.1 Estimac¸˜ao dos parˆametros
No ajuste do modelo, a vari´avel resposta ´e descrita pela esperanc¸a da distribuic¸˜ao somado a um erro aleat´orio (Equac¸˜ao 2.1). Sendo assim, a esperanc¸a ´e descrita pela m´edia em uma distribuic¸˜ao Normal.
yi = E(yi|xi) + ε (2.1)
Portanto, a vari´avel resposta ´e descrita pela equac¸˜ao a seguir.
yi = µ + ε (2.2)
Nesse caso o parˆametro de m´edia ir´a variar conforme o modelo a ser ajustado (µ = g(x)), e o parˆametro de desvio padr˜ao ser´a fixo caso o modelo seja homoced´astico, com o erro seguindo distribuic¸˜ao Normal de m´edia 0 e desvio padr˜ao ajustado pelo modelo (ε ∼ N(0, ˆσ)).
O M´etodo da M´axima Verossimilhanc¸a foi utilizado para a estimac¸˜ao dos parˆametros do modelo. Ele consiste em encontrar o valor do parˆametro que maximiza a func¸˜ao de log- verossimilhanc¸a. A func¸˜ao de verossimilhanc¸a ´e a func¸˜ao de densidade no qual a observac¸˜ao ´e fixa e os valores dos parˆametros s˜ao vari´aveis. A func¸˜ao de verossimilhanc¸a ´e descrita a seguir, no qual,L ´e o valor de log-verossimilhanc¸a; ˆθ ´e o parˆametro a ser estimado; ln ´e o logaritmo natural; ef (xi) ´e a func¸˜ao de verossimilhanc¸a.
L(ˆθ|x) =
n
X
1
ln (f (xi)) (2.3)
A distribuic¸˜ao Normal tem sua func¸˜ao de densidade descrita na Equac¸˜ao 2.4, no qual,µ ´e o parˆametro de m´edia eσ ´e o parˆametro de desvio padr˜ao.
f (x) = √ 1 2πσ2 exp " −12 x − µσ 2# , x ∈ (−∞, ∞) (2.4)
Entretanto, nesse estudo foi considerado o ajuste de modelos no qual o erro aleat´orio obtinha distribuic¸˜ao Weibull e distribuic¸˜ao Gamma.
A func¸˜ao de densidade da distribuic¸˜ao Weibull est´a descrita na Equac¸˜ao 2.5, no qual,α ´e o parˆametro de forma eβ ´e o parˆametro de escala.
f (x) = α βαxα−1exp h −βx αi , sex ≥ 0 0, sex < 0 (2.5)
A distribuic¸˜ao Gamma tem sua func¸˜ao de densidade descrita pela Equac¸˜ao 2.6, no qualα ´e o parˆametro de forma eθ ´e o parˆametro de escala.
f (x) = xα−1e−θx Γ(α)θα , sex ≥ 0 0, sex < 0 (2.6)
2.2.2 Efeito estoc´astico com distribuic¸˜ao Weibull
Para realizar a modelagem dos dados considerando uma distribuic¸˜ao Weibull com dois parˆametros, o parˆametro de forma (α) da distribuic¸˜ao ´e considerado fixo e o parˆametro de escala (β) varia em func¸˜ao de esperanc¸a da distribuic¸˜ao (E(X)) definida pelo modelo a ser ajustado (g(x)). Portanto, considerando que a esperanc¸a da distribuic¸˜ao Weibull com dois parˆametros ´e definida pela seguinte express˜ao:
E(X) = β × Γ(1/α + 1) (2.7)
O parˆametro de escala estimado fica definido como: ˆ
β = E(X)
Γ(1/ˆα + 1) (2.8)
Sendo a esperanc¸a (E(X)) o modelo a ser ajustado aos dados. Dessa forma, para definir o comportamento do erro aleat´orio, toma-se como base uma distribuic¸˜ao Weibull de 3 parˆametros, pois o efeito estoc´astico deve possuir valores positivos e negativos, tornando necess´aria a definic¸˜ao de um parˆametro de locac¸˜ao (θ) na distribuic¸˜ao. A esperanc¸a da distribuic¸˜ao Weibull com 3 parˆametros ´e demonstrada a seguir:
E(X) = θ + β × Γ(1/α + 1) (2.9)
A esperanc¸a do efeito estoc´astico em qualquer modelo deve ser sempre 0, portanto:
E(ε) = 0 (2.10)
Considerando que o efeito estoc´astico possui distribuic¸˜ao Weibull de trˆes parˆametros, sua esperanc¸a ´e definida como:
No qual, seu valor ´e igual a zero:
θ + β × Γ(1/α + 1) = 0 (2.12)
Dessa forma, o valor do parˆametro de locac¸˜ao estimado ser´a: ˆ
θ = − ˆβ × Γ(1/ˆα + 1) (2.13)
Entretanto j´a se conhece o valor de ˆβ definido na equac¸˜ao 2.8. ˆ
θ = −Γ(1/ˆE(X)α + 1) × Γ(1/ˆα + 1) (2.14)
Portanto, o valor do parˆametro de locac¸˜ao estimado ´e definido como: ˆ
θ = −E(X) (2.15)
Como os valores de α e β j´a s˜ao conhecidos pelo ajuste do modelo, o efeito estoc´astico seguir´a a seguinte distribuic¸˜ao:
ε ∼ W eibullα, ˆˆ β, ˆθ (2.16)
Substituindo pelos valores estimados: ε ∼ W eibull ˆ α, E(X) Γ(1/ˆα + 1), −E(X) (2.17)
Sendo que a esperanc¸a da populac¸˜ao (E(X)) ´e a func¸˜ao ajustada g(x). Portanto: ε ∼ W eibull ˆ α, g(x) Γ(1/ˆα + 1), −g(x) (2.18)
Sendo assim, modelos ajustados considerando uma distribuic¸˜ao Weibull ser˜ao sempre hete- roced´asticos caso a esperanc¸a da populac¸˜ao n˜ao seja constante. Isso ir´a ocorrer pois a variˆancia, que ´e definida pela equac¸˜ao 2.19, ir´a variar conforme os valores do parˆametros de escala e de forma. Nesse caso o primeiro varia conforme os valores de esperanc¸a da populac¸˜ao.
V ar(X) = β2 Γ 1 + 2 α − Γ [1 + (1 + α)]2 (2.19)
2.2.3 Efeito estoc´astico com distribuic¸˜ao Gamma
A an´alise do efeito estoc´astico considerando uma distribuic¸˜ao Gamma ´e bem semelhante da distribuic¸˜ao Weibull. Considerando uma distribuic¸˜ao Gamma com dois parˆametros, o parˆametro de forma (α) da distribuic¸˜ao ´e considerado fixo e o parˆametro de escala (θ) varia em func¸˜ao
de esperanc¸a da distribuic¸˜ao (E(X)) definida pelo modelo a ser ajustado (g(x)). Portanto, considerando a esperanc¸a da distribuic¸˜ao Gamma com dois parˆametros definida pela seguinte express˜ao:
E(X) = α × θ (2.20)
O parˆametro de escala estimado ´e definido como: ˆ
θ = E(X)
α (2.21)
Dessa forma, para definir o comportamento do efeito estoc´astico, toma-se como base uma distribuic¸˜ao Gamma de 3 parˆametros, pois o erro deve possuir valores positivos e negativos, tornando necess´aria a definic¸˜ao de um parˆametro de locac¸˜ao (m) na distribuic¸˜ao. A esperanc¸a da distribuic¸˜ao Gamma com 3 parˆametros ´e demonstrada a seguir:
E(X) = m + α × θ (2.22)
Como a esperanc¸a do erro aleat´orio em qualquer modelo deve ser sempre 0 (E(ε) = 0), e ele com distribuic¸˜ao Gamma tem sua esperanc¸a definida pela equac¸˜ao (2.23).
E(ε) = m + α × θ (2.23)
(2.24) O valor estimado do parˆametro de locac¸˜ao ser´a definido pela seguinte express˜ao:
ˆ
m = −ˆα × ˆθ (2.25)
(2.26) Entretanto j´a se conhece o valor de ˆθ definido na equac¸˜ao 2.21. Substituindo-o:
ˆ
m = −E(X)αˆ × ˆα (2.27)
Portanto, o valor estimado do parˆametro de locac¸˜ao ser´a a esperanc¸a da populac¸˜ao negativa. ˆ
m = −E(X) (2.28)
Como os valores de ˆθ e ˆα j´a s˜ao conhecidos pelo ajuste do modelo, o erro seguir´a a seguinte distribuic¸˜ao:
Substituindo pelos valores estimados: ε ∼ Gamma ˆ α,E(X) ˆ α , −E(X) (2.30)
Assim como na distribuic¸˜ao Weibull, os modelos que seguem uma distribuic¸˜ao Gamma ser˜ao tamb´em sempre heteroced´asticos caso a esperanc¸a da populac¸˜ao n˜ao seja constante. Ocorre pelo mesmo princ´ıpio da distribuic¸˜ao Weibull, no qual o parˆametro de escala varia conforme a esperanc¸a da populac¸˜ao, tornando o modelo heteroced´astico.
Sendo assim, modelos ajustados considerando uma distribuic¸˜ao Gamma ser˜ao sempre hete- roced´asticos caso a esperanc¸a da populac¸˜ao n˜ao seja constante. Isso ir´a ocorrer pois a variˆancia, que ´e definida pela equac¸˜ao 2.31, ir´a variar conforme os valores do parˆametros de escala e de forma. Nesse caso o primeiro varia conforme os valores de esperanc¸a da populac¸˜ao.
V ar(X) = αθ2 (2.31)
2.2.4 Conjunto de dados utilizados
Para demonstrar as vantagens de determinar o erro aleat´orio com outra distribuic¸˜ao al´em da normal, foi selecionado dados de incremento diam´etrico anual de ´arvores do grupo suces- sional Tolerantes `a sombra submetidas `a Explorac¸˜ao de Impacto Reduzido. Esse conjunto de dados possui 357 observac¸˜oes. Esses dados s˜ao provenientes de uma floresta Ombr´ofila densa localizada no munic´ıpio de Paragominas - PA, conforme descric¸˜ao na sec¸˜ao 1.4.1. Os dados de diˆametro `a altura do peito (DAP) de todas as ´arvores com DAP acima de 10 cm foram coletados ap´os a explorac¸˜ao nos anos de 1994, 1995, 1996, 1998, 2000, 2003, 2006 e 2009, em uma ´area de 4,11 hectares. Foi optado a utilizac¸˜ao de apenas um grupo sucessional para a estimativa dos parˆametros com objetivo de utilizar dados que possuam um comportamento semelhante, pois diferentes grupos sucessionais podem possuir taxas de incremento diam´etrico discrepantes (VANCLAY, 1994).
2.2.5 Ajuste e selec¸˜ao do modelo de incremento diam´etrico
Primeiramente foi ajustado um modelo de incremento diam´etrico anual para a mesma situac¸˜ao considerando a parte estoc´astica do modelo com distribuic¸˜ao Normal, Weibull e Gamma. A equac¸˜ao 2.32 foi a utilizada no ajuste do modelo. A escolha dessa equac¸˜ao foi baseada no com- portamento do incremento diam´etrico, que tende a diminuir ou aumentar conforme se aumenta o diˆametro (VANCLAY, 1994; SILVA et al., 2002)
E(∆d|d) = eβ0+β1×(1/d)+ ε (2.32)
O crit´erio de selec¸˜ao dos modelos utilizados foi o Crit´erio de Informac¸˜ao de Akaike (AIC), conforme descrito na sec¸˜ao 1.3.1.