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Introduction

Peu de temps après la publication de Hawking (1974), exposant le rayonnement du trou noir en formation, Unruh (1976) a introduit, pour illustrer le comportement de la matière au voisinage des horizons, le modèle du détecteur uniformément accéléré dans le vide de Minkowski. U montra que ce détecteur atteint l’équilibre thermique avec une température égale à a/27r, et qu’il réagit aux quanta de Rindler-Fulling présents dans le vide de Minkowski tout comme un détecteur inertiel réagit aux quanta présents dans un bain thermique, ou encore, comme un détecteur, à une distance fixe du trou noir, perçoit le flux de Hawking.

Dans la première section, nous rappellerons les principaux enseignements de ce modèle, formulés de manière telle que la comparaison avec l’instabilité du vide due à la pro­ duction de paires chargées (exposée au premier chapitre) et avec le flux de Hawking (réexaminé au troisième chapitre) soit manifeste. Cette section est divisée en trois par­ ties: la première est consacrée à l’étude dynamique de la thermalisation; la seconde à la description cinématique des quanta de Rindler; et la troisième à l’étude des propriétés des trajectoires euclidiennes au voisinage des horizons.

Dans la seconde section, nous établirons avec précision les connections existant entre la production de paires chargées qui suivent des trajectoires uniformément accélérées et la thermalisation des détecteurs accélérés [Brout, P., S. (1991)]. Nous montrerons comment l’égalité des temps propres euclidiens qui contrôlent ces deux phénomènes conduit à leur consistance : les particules chargées naissent à l’équilibre thermique.

Dans la troisième section, par une analyse des amplitudes de transitions entre les différents niveaux du détecteur, nous montrerons cormnent les fluctuations du vide de Minkowski entrent, tour à tour, en résonance avec les niveaux du détecteur; et comment ces résonances entraînent l’instabilité de l’état fondamental du détecteur [PBI (1991)]. De plus, cette analyse de l’amplitude fait explicitement apparaître l’effet tunnel qui encode les corrélations existant de part et d’autre de l’horizon et qui permet la conservation de l’énergie dans le repère du détecteur lors de la création de deux quanta : le photon et l’excitation du détecteur.

Le modèle du détecteur accéléré tel qu’il est traité dans ces deux sections constitue une mise en application de l’approche du temps encodé dans les corrélations entre sous- systèmes, telle que l’a énoncée Banks (1985), et qui a été généralisée [Brout, H., W. (1987) et Brout, S. (1991)] aux trajectoires semi-classiques euclidiennes (effet tunnel) et reliée à la thermalisation que ces trajectoires induisent.

SECTION 1

Modèle de Unruh, quantification de Rindler et trajectoires euclidiennes

Nous allons rappeler dans cette section comment s’établit et se comprend le fait qu’un détecteur uniformément accéléré perçoit le vide de Minkowski comme un bain thermique avec lequel il entre en équilibre. La température observée étant a/27r, où a est son accélération [Unruh (1976)].

Nous présenterons d’abord l’analyse dynamique de la réponse du détecteur en étudiant la stabilité de l’état fondamental. Ensuite, nous exposerons l’analyse cinématique qui consiste à exprimer le vide de Minkowski en termes des modes de Rindler - modes propres

de l’opérateur des translations dans le temps propre du détecteur (i.e. boosts) Enfin, nous examinerons brièvement les relations entre bain thermique, trajectoires euclidiennes périodiques et corrélations existant de part et d’autre des horizons, pour pouvoir, ensuite, déterminer quelle est l’incidence de ces relations cinématiques dans la réponse dynamique du détecteur - et au troisième chapitre, du trou noir

PARTIE 1

Modèle de Unruh

Pour simplifier au maximum la description de la réponse du détecteur, considérons le modèle suivant [cf. Birrel, Davies (1982)] : le détecteur consiste en un atome à deux

niveaux, d’énergie m{M) pour le fondamental (l’état excité), séparés par une énergie

Am et couplés par un champ scalaire à masse nulle On décide, en outre, de

négliger le recul du détecteur lors des transitions m M et de lui assigner la trajectoire uniformément accélérée x^(r) [cf. (10,1), l’équation (10) du chapitre I]

f(r) = — sinh ar

a

z[t) = — cosh ar

a

(1)

Introduisons le système de coordonnées de Rindler qui est le repère statique “emporté” par le détecteur : la coordonnée temporelle de Rindler r coïncide avec son temps propre et la coordonnée spatiale p lui est orthogonale. Explicitement on a :

J r = (l/a) tanh(f/2)

\

2

^

2 ^ ^ (2)

{

t = psmhar Z = P cosh ar

et l’élément ds^ métrique s’écrit :

ds^ = —dt^ + dz^ — —p^a^dr^ + dp^ (3)

Rappelons que ces coordonnées ne couvrent qu’un “quartier” de l’espace-temps: Z > |f| et que les bords t + z = 0 et t — z = 0 (i.e. p = 0) constituent l’horizon

passé et futur du détecteur. Et remarquons que la variable d = it doit avoir une période égale à 27r/a pour que la métrique euclidienne :

ds\ = p^a?dO^ + dp^ (4)

ne possède pas de singularité conique en p = 0.

Etudions à présent la réponse quantique de cet atome accélérant dans le vide de Minkowski du champ V’- Pour cela, décrivons tout d’abord l’espace des états libres (i.e. en l’absence d’interaction). Les deux états du détecteur sont notés |/, r) pour le fondamental et |e, r) pour l’état excité. Ils satisfont :

= idr\f,T) = m\f,T) = \f)

(5)

Ho |e, r) = M |e,r)

où Hq, le générateur des translations en r, s’écrit en termes des opérateurs A et

Ho = mAA^ + MA^A

Ces opérateurs engendrent les transitions suivantes :

r At I/) = |e)

[A\f) = 0

I |e) = 0

U|e) = |/)

et satisfont donc les commutateurs suivants :

[Ho, A] =-Am [Ho,A^]^Am

(6)

•(7)

(8)

Le champ opérateur V’, quant à lui, satisfait :

Il se décompose en fonctions d’ondes “de Minkowski” : (10) fonctions propres de idti>k = Ikli’k (11) selon v> = + 00

J dk{aki’k + al^k)

— OO (12)

Les opérateurs de destruction ak définissent et annihilent le vide de Minkowski : |0, Mink)

et les opérateurs a]^ engendrent l’espace de Fock par application sur ce vide.

L’hamiltonien d’interaction qui couple ces deux espaces de Fock est fourni par :

gHint = 9 J

~

+

yfi)

= gi}[x>"{T)]{A + A^)

(13)

et l’état du système couplé est, à tout instant, une combinaison linéaire de produits extérieurs des états de l’atome et du champ tp.

Etudions à présent l’effet de cette interaction en calculant le temps de vie de l’état “fondamental” - qui le serait si le détecteur était inertiel - : jF') = |/) \0,Mink). Cet état évolue au cours du temps selon :

\F{T)) = e-'X'\f)P,Mink) (14)

OÙ

H = HÎ + Ho+gHint

{Hq est r “hamiltonien” du champ 0, générateur des translations en r : il sera explicite­ ment décrit dans la partie suivante).

Et la probabilité de le trouver encore dans l’état |F) au temps r est fournie par :

= |(F|f (r))|^ = I {F\e-<«' \F) p = e'''' (15)

OÙ r, l’inverse du temps de vie, est le double de la partie imaginaire de la “self-énergie” :

{F\e~'^^\F) (16)

A l’ordre on a, pour petit r :

P{t) = 1 - Et

r Tl

= l-g^Re[ jdn JdT2 {F\Uo Hint{r2) Uq Hintiri) Uo |E)]

0 0

r

(17)

= 1 EI /*' <*il'f’) I"

* 0

où Uo{t) = où la somme sur i désigne la somme sur tous les états à

l’exception de |F), et en vertu de l’unitarité de

En prenant le carré et en sommant sur i - c’est-à-dire sur tous les états du photon -, on obtient :

r r

P(r)

= 1 -g"^ J dTi J dx2

G‘^(r2,ri)e^,-iAm(r2-n)

0 0

OÙ G"*’(t2,ti) est la fonction de Wightman à énergie positive :

G'^{t2,ti) = {0, Mink\tj}{x^{T2)) x/^{x^{ti)) |0, AfmÂ;) = — ln[(At — ie)^ — A2^]

47T

= — ln(sinh^ o(t2 — ti)/2 — ie)

iTT

(19)

Lorsque r > (Am) l’approximation du “Golden Rule” est valable (voir section 3, point 2) et l’on a :

-1-00

Pp(t) = 1-/t / ^e-'^’"'^Mn(sinh^(aAT/2) - ie) (20)

J 47T — oo

En intégrant par partie, en négligeant les termes aux bords (par extinction adiabatique de

négatif, on obtient que F, ou encore : le taux d’excitation spontanée* (car on est dans le vide de Minkowski), vaut :

+ 00

adAr _i^rnAr cosh(aAr/2)

47t sinhaAr/2 —ie — OO 2 ^ — S.__ Am ^ n=l Am — 1

r - - B

- - J— f *Am

J

(21)

où 0 = 2tt/a est la (température) ^ de Unruh.

Température, car un équilibre sera tôt ou tard atteint, où les taux de désintégration

R- [obtenu en changeant le signe de Am en (21)] et d’excitation R+ satisferont :

PfR- — PeR+ (22)

Pf et Pe désignent les probabilités de trouver l’état / ou e sans spécifier le nombre de

photons xp. Comme, R- = Am 1 J________ g —/9Am Am n=0 (23) on a : Pf — g-/9Am

qui est bien la distribution boltzmannienne avec une température égale à a/27r.

(24)

On peut tracer, dans cette analyse, l’origine de la température. Elle découle de l’écriture de l’argument de G"*" (19) {At^ — Az^ = (4/a^) sinh^(aAr/2)) calculé le long de la trajectoire (1) qui engendre les pôles imaginaires en (21). Bien que cette périodicité en r imaginaire soit suffisante pour garantir la distribution boltzmannienne à l’équilibre, examinons plus en détail comment apparaît cette périodicité, en analysant les modes propres de idr (i.e. les modes de Rindler) du champ xp.

★ Nous discuterons dans les deux prochaines sections comment comprendre la spontanéité de cette excitation en des termes similaires à la création spontanée de paires dans le champ électrique constant.

PARTIE 2

Quantification de Rindler

En explicitant la transformation de Bogoliubov qui relie les modes de Rindler aux

modes minkowskiens (10), on démontre que la valeur moyenne, dans l’état “vide de

Minkowski”, de tout opérateur confiné dans le quadrant z > |f| [i.e. dans la partie cou­ verte par les coordonnées (2)] s’exprime comme une trace thermique de quanta de Rindler. L’origine de cette matrice densité résulte de la perte des corrélations qui existent, dans le vide de Minkowski, de part et d’autre des horizons [le lecteur pourra consulter un exposé détaillé dans : Fulling, R. (1987)].

* * *

Avant d’obtenir ces modes de Rindler, introduisons, pour utiliser l’invariance conforme de la théorie, les coordonnées de genre lumière suivantes :

Premièrement, V et U de type minkowskien qui couvrent l’intégralité de l’espace-temps

V = t + z U = t-z

Deuxièmement, vj, et Ud {vg et Ug), de type rindlérien, et ne couvrant que la moitié droite de l’espace :

Vd = &{y) ln(aV)/a = r -|- ln(a/))/a

(26)

Ud = —9{—U) \n{—aU)la = r — ln(ap)/a ou la moitié gauche :

Vg — —0{—V)\n{—aV)l a

(27)

Ug = 0{U) \n{aU)ja

Dans les coordonnées UV^ les modes minkowskiens (11) satisfont :

idu i’k = ktl^k (k > 0)

(28)

idv i’-k - kxl^-k {k > 0)

Les modes « et u découplent complètement à masse nulle, car le dalembertien s’écrit

dudyt/^ — 0, et nous n’allons donc plus traiter que les modes u.

Les modes de Rindler, fonctions propres de idr = i{zdt + tdz) satisfont, quant à eux,

iUdu V’A = (29)

Il en existe de deux types. Le premier type est constitué de fonctions identiquement nulles dans la moitié de l’espace-temps. Elles sont fournies par :

V’A.d =

e{-u)

^(-a[/)+*V“ (47rA)i/2 g-iAud (47tA)^/2 V>A,, =

e{u)

g-.Au, (47tA)i/2 = (47rA)i/2 (30)

Elles forment une base orthonormée et complète si A G [0,oo], et notre détecteur accéléré ne sera sensible qu’aux V’A.d s’il suit la trajectoire (1).

La deuxième espèce de fonctions propres de U du est composée uniquement de fonc­

tions d’ondes minkowskiennes à énergie positive [Unruh (1976)]. Elles sont fournies par:

OO

/

(2ri)î72 (*’/“)“'"'“ (ïrtjTT?

^{dk f>-ikU}

0 (31)

[auy^'^ ^ 6{-U) (-aC/)‘^/“

On vérifie aisément qu’elles constituent une base orthonormée et complète si le spectre de A s’étend de —oo à -f-oo.

Décomposons maintenant xj) dans ces deux bases pour définir les opérateurs d\,g\ et «A : ^(t/) OO =

J

dA[dAV>A,d + +

9x^\g +

0 -)-oo

=

J

dX[axxpx,Mink + ai'tpx, Minkï

(32)

(33)

fournie par (31) et (30).

où

ax = ot\dx + /3\g\

a_A = oixgx + 0^,4 (A > 0)

(34)

|oaI = ^{r(-a/a)e’^'^/“}_(27t/A)i/2 ^{_ _ g-27rA/a^-l/2}

I/3a| = = (e"'*/- - 1)’/^

(35)

car

|r(—iA/a)|^ = 7ra/[A sinh(7rA/a)]

On retrouve ainsi le résultat de Fulling (1973), selon lequel ces quantifications définis­ sent deux vides différents. Les a\ annihilent le vide \0,Mink), tandis que les d\,g\

définissent et annihilent le vide de Rindler : |0,d) |0,^r). La connaissance de la transfor­ mation (34) permet d’exprimer le vide |0, Mink) en termes d’états de Rindler [cf. Hughes (1983) et (116,1)]. On obtient :

\0,Mink) = Z^/^HA>oexp[(-e |0,d) |0,i/) (36)

où

Z = nAK|-" = |((0,ÿ| (0,<i|) \0,Mink) P = nx(l

-Cette écriture implique que la valeur moyenne de toute observable v4, confinée dans le quadrant z > |t|, s’écrira sous la forme thermique :

(0, Mink\ A |0, Mink) = ^{Tr(e-^^'M(dA,}4))

Tr(e-^^-') (37)

Par exemple, pi,tq,po) s’écrit : OO G‘^(ti,pi;to,/9o) =

J dX[{nx + l)i^x,diTi,PiWx^di'^o,po)

0 + nxrp*x^d{Ti,Pi)^\A'^o, Po)] (38a) ou nx = ^x= g27TA/l _ i = |0> Mink) ⁽³⁸⁶⁾

En fixant pi = po = 1/û, en effectuant l’intégrale sur A et en ajoutant la contribution similaire des modes u, on retrouve bien (19). Nous avons ainsi achevé notre programme :

L’écriture (19) du propagateur où l’on constate la périodicité en ImAr (qui induit la

distribution Bolztmanienne (24)) n’est pas accidentelle mais provient de la réexpression (36) du vide de Minkowski qui garantit que toutes les valeurs moyennes seront de la forme (37) .

* * ♦

Pour clôturer cette étude cinématique, étudions le générateur des boosts (translations en r) : K. Dans la théorie des champs, cet opérateur s’écrit [Hughes (1983)], en termes du tenseur énergie impulsion ;

+ 00 +0O K=

J

dz{zT} + tTl)=

j

dz{UTuu + VTvv) — OO OO

= J

dX X{d[dx - g[g\) = Kd - Kg 0 OO =

J

dA A(a]^aA — a]^^a_;^) (39)

[Pour passer de la première à la deuxième ligne, on a utilisé le fait que Tuu — (^t/V’)^ décomposé ‘ip selon (32)].

Il possède une structure identique à celle de l’hamiltonien du champ <f) dans le champ

création de paires spontanée, induisait l’instabilité du vide, et la transformation de Bo- goliubov reliant les quanta initiaux et finaux encodait cette instabilité. Ici, on n’a

rien de semblable, l’hamiltonien du champ (générateur des translations en t) est ;

dzT} = dkk{a\ak + H est donc défini positif, et le vide de Minkowski est l’état parfaitement stable, d’énergie minimum.

La transformation de Bogoliubov (34) ne fournit donc que le recouvrement de deux

fonctions propres du dalembertien : et 'tpx^Mink- Néanmoins, nous montrerons, dans

la troisième section, comment cette même transformation encode, pour les mêmes raisons que dans le cas du champ électrique, l’instabilité de l’état fondamental du détecteur accéléré.

PARTIE 3

Température, propagateurs euclidiens et horizons

Le but de cette partie est double, d’une part expliquer comment l’écriture “ thermique”

du propagateur (38a) peut se comprendre en termes de chemins euclidiens

périodiques appartenant à des secteurs topologiques différents, et d’autre part montrer comment ces mêmes chemins euclidiens encodent les corrélations existant, dans le vide de Minkowski, de part et d’autre des horizons (dans des régions causalement non connectées).

+ ’i' *

Rappelons tout d’abord que le propagateur thermique de Feynman, calculé dans l’espace de Minkowski, s’écrit à l’aide du noyau sous la forme :

Gp(xi,xo) _l_^ OO f ds

^ J

Atts r>— ^ (40)

où - -{ti - to - inf^Ÿ + {^zŸ (41)

Il est manifestement périodique dans le temps imaginaire avec une période Signalons qu’il peut s’obtenir en calculant le noyau euclidien sur un cylindre, en exprimant ce

noyau en termes de multiples enroulements (topologiques, car non contractibles) puis en continuant analytiquement terme à terme ces différents secteurs [cf. BPS (App. B)].

En posant Az = 0 et = 0, (40) devient, en intégrant sur s :

+ 00 ^ Gp{ti,to)= -ln[{ti-to-inl3Ÿ-ie] 47T ] sinh^ 27T , . 27T (^1 - ^o)-^ ^{— ÎC} (42) =1= * *

Examinons maintenant le propagateur de Feynman dans le vide de Minkowski, ex­ primé dans les coordonnées de Rindler (2). On a :

G^(xf,x^)= / (uoir(40))

J Airs

0

= G^(ti,/9i;to,/9o)

OO

— / -ÉÎ-qAPi + Po-^PiPo cosh aAr]/As^-im^s

J

47TS

(43)

Il est manifestement périodique dans le temps /mr , et l’on a (à = 0)

G^(ti, l/a; tq, I/o) = — ln[(sinh^ aAr/2 — ie)/a?]

47T

= <^J’=27r/a(^l = = ro,z) [c/.(42)]

(44)

Bien que l’on ait cette égalité parfaite des propagateurs - évalués en ces positions particulières-là -, il nous manque la réécriture de G^(ti,To) en termes de somme sur des trajectoires euclidiennes appartenant à des secteurs topologiquement différents. Cette réécriture existe et, pour l’obtenir [Troost, Van Dam (1977)], le plus simple est de passer dans l’euclidien et d’imposer les contraintes topologiques qui définissent les différents secteurs que l’on continue individuellement par une rotation de Wick inverse.

Si l’on prolonge dans l’euclidien la coordonnée de Rindler r coordonnées polaires habituelles :

i6, on obtient les

ds% = a^p^dô^ + dp (4)

La variable 9 doit être périodique, de période 27r/a, si l’on exige qu’il n’y ait pas de singularité conique en /> = 0 (i.e. “sur” les horizons). Le moment conjugué à O^pg est donc discret, et le noyau euclidien Ke s’écrit [voir (43)] :

Ke{9uPu0o,Pü,s) = e*[pî + p2-2PiPocosaAÔ]/4a

= ^ gi(ma/27T)(AP+,r)gi[pî+p?]/4. J^(^p^p^l2s)

m — — rv~> ' '

(45)

OÙ Jm est le facteur de Bessel de première espèce. Elle satisfait :

et Ke satisfait :

/'é£)(A0) =+ n27r/a) n Ç: Z

Par contre, si l’on impose par une contrainte [é( 0(s')ds' — A0)j de calculer le noyau, en effectuant ainsi un nombre précis d’enroulements autour de p = 0, on obtient K

enroulé-Celui-ci est fourni par [Edwards (1967) et Khandekar, L. (1986)] : -1-00

Kenrouiéiei,pi-,6o,po,s)=

J

(46)

On constate que la seule différence avec (45) est le remplacement de la somme par l’intégrale dp [cf. (BPS, App. B)]. Et on retrouve Ke ^ partir de K enroulé CQ sommant sur les différents secteurs :

-foo

I<e{^9) = ^ Kenrouiéi^d + 2-Knja) (47)

Si l’on applique la rotation de Wick inverse 6 —ir à Kenroulé^ on obtient KRindler

[Troost, Van Dam (1977)], le noyau du propagateur GmndUr défini par :

GRindier{x^,x^) = (0,5f| {0, d\ip{x'^)xl^{x^) |0, d) |0,</) (48)

Signalons que GRindler s’obtient aisément en utilisant l’invariance conforme de la théorie qui garantit que :

GRindleri^Ud, ^Vd) = GMink{^U = Aurf, A V = Aurf) (49)

en repassant aux coordonnées r, p, on obtient :

1

GRindler{^T,pi,po) = — {InfAUrf] + InfAUrf] }

47T

(60)

Si l’on applique maintenant la rotation de Wick inverse à Ke, on obtient bien évidem­ ment le noyau minkowskien (43) et la relation (47) nous fournit la réécriture recherchée :

-1-00

^ + i2irnla ,pi,po,s) (51)

et

+ 00

G{At,Pi,Po)= ^ GRindler{Ar + i27rnla ,pi,po)

n= —OC + 00

-= ^ — ln[(Ar-I-z27rn/a)^ - ln^(/>i//9o)/a^]

(52)

On a ainsi relié la classe des chemins euclidiens pris en compte dans le noyau et les états de seconde quantification : Si l’on impose de relier 6o à $i en spécifiant le nombre d’enroulements autour de p = 0, on obtient, après continuation, KRindler] par contre, en sommant sur tous les enroulements, on obtient le noyau minkowskien, l’intégrant de (43).

+ * *

Montrons à présent que l’on retrouve bien l’écriture “thermique” (38a) de (i.e. la contribution des seuls modes u au G"*") en partant de (52) qui s’exprime, lui, comme une

somme sur tous les enroulements :

+ 00

G+(At,^i,Po) = ^Rindier,ui^r-ie + i2nn/a ,pi,po) [cf. (50)]

n= —oo n=0 •' (53) + ^{iX(Ar+i2'jrn/a)}(Pi/Po)

J

47tA ”=i 0 OO

= J dX[{nx + l)i^\,d{Tu PiW\,di'^

0

, Po)

0

+ "A>/’Â,j(’'i,Pi)<P\,d(ro,/>o)|

=(38)

— iX/a

(54)

en se servant de (30) et de ~ “

^)-* ^)-* ^)-*

On obtient également, à partir de (53), que les corrélations existant de part et d’autre de l’horizon sont fournies, dans l’état “vide de Minkowski”, à A(> 0) fixé, par :

Gxjpl, -Po) _ g-7rAa

Gx(pi,Po) ^{[= /Sx/ax cf. (35)] (55)}

Ga= j dAr e’“'GÎ(AT,^„^o)

— OO

Cette corrélation s’exprime comme l’amplitude d’effectuer un demi-tour euclidien (A0 =

tt/o) à énergie A (rindlérienne) fixée. On comparera l’expression (55) avec (34, I). Dans un cas comme dans l’autre, les phases encodant la propagation classique sont identiques et disparaissent dans le rapport (55) (ou (34,1)), pour ne laisser que la seule excursion euclidienne (un demi-tour).

Les corrélations, encodées par (55), reliant des régions causalement déconnectées, et provenant de la préparation de l’état “vide de Minkowski”, jouent un rôle essentiel dans la désintégration de l’état fondamental du détecteur accéléré comme l’analyse de la section 3 va le montrer (et joueront un rôle similaire dans l’émission du flux de Hawking étudiée au troisième chapitre).

SECTION 2

Production de thermomètres et équilibre thermique

Nous allons relier, de manière intime, la production, par un champ électrique constant

E, de particules chargées - qui suivent, une fois produites, des trajectoires uniformément accélérées - et la thermalisation “de Unruh” pour les détecteurs placés sur de telles tra­ jectoires. Nous montrerons (cf. BPS, section 3) que les particules naissent à l’équilibre thermique, que cet équilibre est maintenu par les interactions avec le champ neutre V’ et que l’origine de cet accord provient de l’identité des temps propres euclidiens qui gouver­ nent production et thermalisation.

* *

Pour expliciter cette proposition, introduisons, comme modèle pour notre détecteur accéléré, deux champs massifs chargés <f>M et (f>m de masses élevées et voisines (i.e. satis­

faisant M — m = Am <C m et rri^ jE 1) couplés à un champ neutre V’ à masse nulle

par l’hamiltonien d’interaction suivant :

Hint = g

J

dz (56)

Ce modèle d’ions-thermomètres à deux niveaux généralise le modèle du monopole précédemment exposé, à plusieurs égards :

i) La trajectoire classique (1) n’est plus imposée de l’extérieur, elle découle de la

ii) Le transfert d’impulsion lors des transitions m M sera pris en compte.

iii) L’hamiltonien (56) contient également la possibilité de créer des paires “ther­

momètre - antithermomètre”. Mais cette création, étant pondérée par pourra

légitimement être négligée par rapport aux transitions m <-> M qui sont gérées par

g-(27r/o)Am ^ cette approximation, le produit des opérateurs contenus dans

jouera le rôle de l’opérateur i4^(/l).

Néanmoins considérons, un instant, la production de ces ions en l’absence d’interaction

{g = 0). En vertu de (121), le rapport du nombre de paires produites de masse M et m

est fourni par :

12m. = ÊM. = ^ ^-2n(m/E)^m

rim ~ (57)

~ g-(27r/a)Am

Ce rapport est contrôlé par [cf. (134,1)] ;

dStour _ _ 27T

—

'^tour

—

m Û

(58)

où Stour ost l’action euclidienne pour faire un tour complet et Ttour lo temps propre pour l’accomplir. Et c’est également (2x/a) qui gouverne l’équilibre thermique pour le détecteur accéléré, car le propagateur de xp est une fonction de At'^{T) — Az'^(t) = 4 sinh^(aAr/2)/a^ [voir (19)].

Montrons maintenent explicitement comment cette égalité des temps propres conduit

au maintien du rapport umIrim si l’on allume la constante de couplage et par là-même

à la proposition selon laquelle “les ions sont produits à l’équilibre thermique, équilibre qui est maintenu par leurs interactions avec xp.” Pour cela, étudions, tout comme dans la section précédente, l’évolution de la probabilité de rester dans l’état fondamental constitué de l’ion m et du vide de Minkowski.

Pour décrire cet ion initial, nous allons travailler dans la jauge At = 0, = Et, car, dans cette jauge, l’approximation WKB des ondes Xk{i) (159,1) est valable pour tout

dans le cas où nous travaillons : m2/E ^ 1. Cette onde, à l’approximation WKB, est

donnée par :

où Pt est l’énergie classique au temps t [cf. (154,1)] et vaut :

P, = + E^(t - k/EŸ)'/^ (60)

Remarquons que la limite E 0 peut être prise pour tout t et fournit uniformément

No documento Especificação de um modelo de desburocratização no ensino (páginas 50-54)