10.5 Matrizes Autoadjuntas, Normais e Unit´ arias
10.5.1 Matrizes Positivas
Uma matriz A ∈ Mat (C, n) ´e dita ser uma matriz positiva se hw, Awi ≥ 0 para todo vetor w ∈ Cn. A seguinte proposi¸c˜ao ´e relevante19:
Proposi¸c˜ao 10.27 Se A∈ Mat (C, n)´e positiva, ent˜ao A ´e Hermitiana e tem autovalores n˜ao negativos. Reciproca-mente, se A´e Hermitiana e tem autovalores n˜ao negativos, ent˜ao A´e positiva. 2
Prova. A express˜aoω(u, v) :=hu, Avi,u, v∈Cn, define uma forma sesquilinear que, por hip´otese, ´e positiva, ou seja, satisfaz ω(u, u)≥0 para todo u∈Cn. Pelo Teorema 3.1, p´agina 226, ω ´e Hermitiana, ou seja, ω(u, v) = ω(v, u), para todos os vetores u e v. Mas isso significa que hu, Avi = hv, Aui, ou seja, hu, Avi = hAu, vi para todos os vetoresuev e assim provou-se que A=A∗. Uma outra forma de demonstrar isso usa a identidade de polariza¸c˜ao. Se A ´e positiva ent˜ao, para quaisquer vetoresu, v ∈Cn vale h(u+inv), A(u+inv)i ≥ 0 para todo n ∈ Z e, portanto, h(u+inv), A(u+inv)i´e um n´umero real. Usando a identidade de polariza¸c˜ao, eqs. (3.34)–(3.35), p´agina 236, vale, para
19V´arios dos resultados que seguem podem ser generalizados para operadores lineares positivos agindo em espa¸cos de Hilbert. Vide Teorema 39.30, p´agina 2109.
quaisquer vetoresu, v ∈Cn,
hAv, ui = hu, Avi (3.34)= 1 4
X3 n=0
i−nh(u+inv), A(u+inv)i = 1 4
X3 n=0
inh(u+inv), A(u+inv)i
= 1
4 X3 n=0
i−nininh(u+inv), A(u+inv)i
sesquilin.
= 1
4 X3 n=0
i−nhi−n(u+inv), Ain(u+inv)i
= 1
4 X3 n=0
i−nh(v+i−nu), A((−1)nv+inu)i
= 1
4 X3 n=0
(−1)ni−nh(v+i−nu), A(v+i−nu)i
= 1
4 X3 n=0
inh(v+i−nu), A(v+i−nu)i (3.35)= hv, Aui.
Assim,hAv, ui=hv, Auipara todos u, v∈Cn, o que significa que A´e Hermitiana. Portanto, por (10.85), podemos escrever A = λ1Pv1 +· · ·+λnPvn, onde v1, . . . , vn s˜ao autovetores mutuamente ortonormais de A com autovalores λ1, . . . , λn, respectivamente. Disso segue quehvj, Avji=λj para todoj= 1, . . . , n. Como o lado esquerdo ´e≥0, por hip´otese, segue queλj≥0 para todoj= 1, . . . , n.
Se, reciprocamente, A for autoadjunta com autovalores n˜ao negativos, segue de (10.85) e da defini¸c˜ao de Pvj em (10.84) quehw, Awi=
Xn j=1
λj|hw, vji|2≥0, para todo w∈Cn, provando queA´e positiva.
O seguinte corol´ario ´e imediato.
Corol´ario 10.4 Uma matriz A∈Mat (C, n)´e positiva se somente se existe uma matriz positiva B (un´ıvoca!) tal que
A=B2. As matrizesA eB comutam: AB=BA. 2
Demonstra¸c˜ao. SeA =B2 comB positiva, ent˜ao, comoB ´e autoadjunta (pela Proposi¸c˜ao 10.27), segue que para todo w∈Cn vale hw, Awi=hw, B2wi=hBw, Bwi=kBwk2≥0, provando queA´e positiva. Provemos agora a rec´ıproca.
SeA´e positiva ent˜ao, como comentamos na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 10.27,A´e autoadjunta com representa¸c˜ao espectral A = λ1Pv1 +· · ·+λnPvn, ondev1, . . . , vn s˜ao autovetores mutuamente ortonormais de A com autovalores λ1, . . . , λn, respectivamente, todos n˜ao negativos. Defina-se a matriz
B := p
λ1Pv1+· · ·+p
λnPvn. (10.88)
Como, pela ortonormalidade dosvj’s, valePvjPvk=δj, kPvj, ´e f´acil ver queB2=λ1Pv1+· · ·+λnPvn =A. A unicidade deBsegue da unicidade da decomposi¸c˜ao espectral, Proposi¸c˜ao 10.19, p´agina 483. A igualdade (B2)B =B(B)2significa AB =BA, provando queAeB comutam.
Defini¸c˜ao. SeA´e uma matriz positiva, a (´unica!) matriz positivaB satisfazendoB2=A´e frequentemente denotada por√
Ae denominadaraiz quadrada da matrizA. Como vimos,A√ A=√
AA. ♠
Lema 10.5 SeA∈Mat (C, n)´e uma matriz positiva e C∈Mat (C, n)satisfaz CA=AC ent˜aoC√ A=√
AC. 2
Prova. SeCcomuta comA, ent˜aoCcomuta com qualquer polinˆomio emA. Vimos na Proposi¸c˜ao 10.18, p´agina 483, que os projetores espectrais deA podem ser escritos como polinˆomios emA. Assim,C comuta com os projetores espectrais deAe, portanto, com√
A, devido a (10.88).
Uma consequˆencia interessante das considera¸c˜oes acima ´e a seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 10.28 Toda matriz Hermitiana pode ser escrita como combina¸c˜ao linear de at´e duas matrizes unit´arias.
Toda matriz pode ser escrita como combina¸c˜ao linear de at´e quatro matrizes unit´arias. 2
Demonstra¸c˜ao. SejaA∈Mat (C, n). SeA´e Hermitiana (vamos supor queA6=0, pois de outra forma n˜ao h´a o que se provar), ent˜ao, para todow∈Cn, o produto escalarhw A2wi´e um n´umero real e, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,
|hw A2wi| ≤ kA2k kwk2Cn. Assim,−kA2k kwk2Cn≤ hw, A2wi ≤ kA2k kwk2Cn Logo, a matriz1−A2/kA2k ´e positiva, pois hw, (1−A2/kA2k)wi=kwk2Cn− hw, A2wi/kA2k ≥ kwk2Cn− kwk2Cn= 0. Consequentemente,p
1−A2/kA2kexiste e ´e positiva e Hermitiana. Trivialmente, podemos escrever
A =
Agora, as matrizes √A
kA2k±iq Para provar a ´ultima igualdade basta expandir o produto e notar que, pelo Lema 10.5,Aeq
1−kAA22k comutam, j´a que Ae1−kAA22k comutam.
Assim, vemos de (10.89) que uma matriz HermitianaA´e combina¸c˜ao linear de at´e duas unit´arias, provando a primeira parte da Proposi¸c˜ao 10.28. Para provar a segunda parte, basta notar que se M ∈Mat (C, n) ´e uma matriz qualquer, podemos escrever
Ambas as matrizes entre parˆenteses s˜ao Hermitianas e, portanto, podem cada uma ser escritas como combina¸c˜ao linear de at´e duas unit´arias, totalizando at´e quatro unit´arias paraM.
A Proposi¸c˜ao 10.28 ´e v´alida n˜ao apenas para ´algebras de matrizes. Vide Proposi¸c˜ao 39.47, p´agina 2060.
10.5.1.1 Matrizes Pseudoautoadjuntas e Quaseautoadjuntas
Uma matriz A ∈ Mat (C, n) ´e dita ser uma matriz pseudoautoadjunta, ou pseudo-Hermitiana, se existir uma matriz invers´ıvelS ∈Mat (C, n), n˜ao necessariamente ´unica, tal que
A∗ = S−1AS ,
ou seja, se for similar `a sua adjunta. SeAfor pseudoautoadjunta,AeA∗possuem o mesmo espectro por serem similares (Proposi¸c˜ao 10.5, p´agina 460). Como o espectro de A∗ ´e sempre o complexo conjugado do espectro deA (Proposi¸c˜ao
10.24, p´agina 493), conclu´ımos que para uma matriz pseudoautoadjunta o espectro consiste em autovalores reais ou de pares de n´umeros complexo-conjugados.
Uma matrizA∈Mat (C, n) ´e dita ser umamatriz quaseautoadjunta, ouquase-Hermitiana, se for pseudoautoadjunta e se a matriz invers´ıvelS∈Mat (C, n), acima, puder ser escolhida positiva.
As matrizes quaseautoadjunta s˜ao importantes pois seus autovalores s˜ao todos reais. Para ver isso, seja S1/2 a raiz quadrada positiva de S. Defina B := S−1/2AS1/2. Por defini¸c˜ao, A, A∗ e B s˜ao similares e, portanto, possuem o mesmo espectro. Agora, pela defini¸c˜ao, B∗=S1/2A∗S−1/2=S1/2S−1ASS−1/2=S−1/2AS1/2=B, provando queB´e autoadjunta e, assim, tem espectro real.
E conveniente aqui notar que a condi¸c˜´ ao de uma matriz ser quaseautoadjunta ´e condi¸c˜ao suficiente, mas n˜ao ´e condi¸c˜ao necess´aria, para garantir a realidade dos seus autovalores.
SeAfor quaseautoadjunta, ent˜aoApossui algo similar `a decomposi¸c˜ao espectral (vide (10.54), p´agina 481). ComoB
´e autoadjunta, sua decomposi¸c˜ao espectral ´eB=Pr
a=1αaPa, com 1≤r≤n, com osαa’s sendo os autovalores distintos de B (todos reais) e com Pa sendo seus projetores espectrais, satisfazendo: PaPb =δabPa, Pr
a=1Pa =1 ePa∗ = Pa. ComoA=S1/2BS−1/2, podemos escrever
A = Xr a=1
αaQa, comQaQb =δabQa ePr
a=1Qa =1, onde Qa := S1/2PaS−1/2. Verifique! Os operadoresQa n˜ao s˜ao necessariamente projetores ortogonais20, por n˜ao serem necessariamente autoadjuntos (como os operadores Pa o s˜ao), mas satisfazem Q∗a=S−1QaS, ou seja, s˜ao tamb´em matrizes quaseautoadjunta. ComoQ2a=Qa, os autovalores de cadaQa s˜ao 0 ou 1.
E. 10.29 Exerc´ıcio. SejaAa matriz real2×2dada porA= (a bc d), coma, b, cedreais, sendo b6= 0ec6= 0. SejaS=1 0
0 cb
, comS−1 =1 0
0 bc
. Verifique explicitamente queS−1AS=AT e, portanto, queA´e pseudoautoadjunta. Verifique queS ´e positiva caso cb >0e, portanto, nessa situa¸c˜aoA´e quaseautoadjunta.
Verifique que os autovalores deA s˜aoλ±= 12
a+d±p
(a−d)2+ 4bc
, o que deixa claro que se c/b >0(e, portanto,bc >0) os dois autovalores s˜ao reais. A condi¸c˜ao mais geral, no entanto, para que os autovalores sejam reais ´e, naturalmente,4bc≥ −(a−d)2. 6
Esse exemplo se deixa generalizar nas chamadas matrizes tridiagonais reais, as quais s˜ao relevantes na Mecˆanica Quˆantica de sistemas unidimensionais em um espa¸co discretizado (como no modelo de localiza¸c˜ao de Anderson21 unidi-mensional).
• Matrizes tridiagonais
Uma matrizT ∈Mat (C, n) ´e dita ser umamatriz tridiagonalse seus elementos de matriz satisfizeremTij= 0 sempre que|i−j|>1. Em palavras, uma matriz ´e tridiagonal se todos os seus elementos de matriz forem nulos fora da diagonal principal, da primeira supradiagonal e da primeira infradiagonal.
Algumas matrizes tridiagonais s˜ao exemplos relevantes de matrizes pseudoautoadjuntas e quaseautoadjuntas.
E. 10.30 Exerc´ıcio. Seja A a matriz tridiagonal real 3×3 dada por A = a
1 b1 0 c1a2b2 0 c2a3
, com todos os ai’s, bj’s e ck’s reais, sendobj 6= 0e ck 6= 0para todosj, k ∈ {1, 2}. SejaS =
1 0 0 0 cb1
1 0 0 0 cb1c2
1b2
!
, com S−1 =
1 0 0 0 bc1
1 0 0 0 bc1b2
1c2
!
. Verifique explicitamente que S−1AS=AT e, portanto, queA´e pseudoautoadjunta. Verifique queS ´e positiva caso cb1
1 >0e cb2
2 >0e, portanto, nessa situa¸c˜aoA
´e quaseautoadjunta. 6
O exerc´ıcio acima pode ser generalizado.
20Exceto, ´e claro, no caso trivial em queS=1, ou seja, quandoA´e autoadjunta.
21Philip Warren Anderson (1923–).
E. 10.31 Exerc´ıcio. SejaAa matriz tridiagonal realn×ndada por
Verifique queS−1AS=ATe, portanto, queA´e pseudoautoadjunta. Verifique queS´e positiva caso cbj
j >0para todoj∈ {1, . . . , n−1}
e, portanto, nessa situa¸c˜aoA´e quaseautoadjunta. 6
*** ** * ** ***
Para um tratamento de operadores quaseautoadjuntos que inclua o caso de operadores n˜ao limitados, vide [95].