Maximiza¸c˜ ao da fun¸c˜ ao objetivo

Quando o problema ´e de maximiza¸c˜ao, pode-se escrever maximizar a fun¸c˜ao f0(x)

para fi(x) <= 0, para i =1 ,...,m e para hi(x) = 0, com i =1 ,...,p, e troca-se o sinal

para -f0(x) e o valor ´otimo ´e dado por p∗ que ´e o supremo de f0(x) , tal que fi(x) <= 0,

para i = 1, ...., m, para hi(x) = 0,com i = 1, ...., p, onde o ponto x ´e -sub-´otimo se

A otimiza¸c˜ao convexa ´e da forma de minimizar f0(x), para fi(x) <= 0, para i = 1,

...., m, e com aT

i <= bi, para i = 1, ...., p. A fun¸c˜ao f0, ..., fm devem ser convexas.

Essencialmente, o problema da maximiza¸c˜ao deve cumprir 3 requisitos, que a fun¸c˜ao objetivo seja convexa (ou concava), que as fun¸c˜oes de restri¸c˜oes de desigualda- des sejam tamb´em convexas e que as fun¸c˜oes de igualdade das restri¸c˜oes hi(x) = aTi - bi

devem ser afins. Uma vantagem da otimiza¸c˜ao convexa ´e que qualquer ´otimo local ´e um ´otimo global. Se a fun¸c˜ao objetivo f0(x) ´e diferenci´avel ent˜ao, para todo x e y que

encontram-se inclusos no dom´ınio de f0(y) →

f0(y)

| {z }

valor em y

>= f0(x) + ∇f0(x)T(y − x)

| {z }

valor de f0(x) mais o do gradiente

.

Deste modo, ´e poss´ıvel criar um conjunto (ou set ) em x da forma xset = x tal

que fi(x) <= 0, para i = 1, ...., m, para hi(x) = 0, com i = 1, ...., p, e onde x ´e o

valor ´otimo se ´e satisfeita a condi¸c˜ao ∇f0(x)T(y − x) >= 0. A partir desta condi¸c˜ao, ´e

necess´aria a existˆencia de um gradiente diferente de zero para que seja o ´otimo da fun¸c˜ao. No sistema proposto as vari´aveis de entrada s˜ao tens˜ao e corrente, e a potˆencia ´e obtida a partir destas vari´aveis. O resultado da fun¸c˜ao objetivo f0(y) ´e a potˆencia ´otima, em

fun¸c˜ao das vari´aveis de entrada f0(x) compostas pela tens˜ao e a corrente que produzem

a potˆencia atual.

Para determinar a solu¸c˜ao, ´e necess´ario um procedimento iterativo para o c´alculo do valor ´otimo. Este valor ´otimo ´e usualmente obtido quando ∇ f (x∗) = 0, mas na pr´atica pode ser considerado um n´umero diferente de zero, mas o suficientemente pequeno para ser considerado ´otimo. Resolvendo a condi¸c˜ao ´otima e computando o conjunto de valores da sequˆencia x0, x1, ..., xn ∈ dom f onde a sequˆencia f (x(k)) → x∗. Esta sequˆencia ´e

chamada de sequˆencia de maximiza¸c˜ao e para atingir a finalidade pr´atica ´e determinado um crit´erio de aceita¸c˜ao do ´otimo, chamado . Basicamente, o  ´e uma constante maior que zero e pode ser determinada em fun¸c˜ao do ajuste alvo. Este crit´erio do ´otimo define tamb´em o crit´erio de parada do algoritmo da forma f (x(k)) - x∗ < .

Neste trabalho o algoritmo do M´etodo do Gradiente (MG) foi iniciado com um passo de incremento γ = 8V, e posteriormente com o valor de incremento atualizado a cada c´alculo feito pelo algoritmo. Com isso, a medida que o algoritmo se aproxima do ponto ´otimo da fun¸c˜ao, o valor do incremento vai sendo reduzido. A metodologia ´e o crit´erio de parada similar ao do algoritmo de PeO. O algoritmo aumenta a tens˜ao vcc

sendo o incremento aplicado de forma sequencial, de modo que o pr´oximo valor da tens˜ao, vk+1, seja igual a vk+1 = vk + γ.

Se o valor da potˆencia pk do ciclo vk ´e menor que a potˆencia pk+1 do ciclo vk+1

o algoritmo continua incrementando o valor da tens˜ao nesse sentido pelo incremento de γ. Quando o valor do erro da potˆencia ∆p = pk+1- pk ´e menor que 0.6 % do valor da

potˆencia atual, pk, o valor de γ ´e substitu´ıdo pelo valor do gradiente no ponto. O valor

do gradiente que corresponde ao incremento ´e dado pela express˜ao:

∆x = pk+1− pk vk+1− vk

. (4.2)

Nesta Equa¸c˜ao, o valor do gradiente ´e dado pela raz˜ao entre o erro da potˆencia atual calculada no ponto imediatamente anterior, com o erro entre a tens˜ao atual e da tens˜ao calculada no ponto imediatamente anterior. Conforme a Equa¸c˜ao 4.2 o ajuste da tens˜ao vcc ´e da forma:

vcck+1 = vcck+ ∆x; (4.3)

resultando que a tens˜ao de ajuste no ciclo pr´oximo ´e dada pela tens˜ao anterior com o incremento do valor do gradiente. O gradiente determinar´a o valor do incremento

e tamb´em o sentido da dire¸c˜ao da busca. Quanto mais pr´oximo do MPP, o valor do gradiente ´e cada vez menor, convergindo desta forma para o ponto ´otimo procurado. Na Figura 38 ´e ilustrado como o valor do incremento de potˆencia ´e menor conforme o incremento γ decresce, enquanto a potˆencia no sistema atinge o MPP. Esta forma de c´alculo do gradiente, apresentou na simula¸c˜ao, a dificuldade de determinar o passo inicial de incremento e tamb´em de requerer muitas itera¸c˜oes at´e atingir o ponto de m´axima potˆencia (usualmente a quantidade de itera¸c˜oes ´e maior que 20 com este m´etodo do gradiente).

Como resultado da resposta do algoritmo na vizinhan¸ca do MPP, o algoritmo do MG realiza pequenos incrementos na tens˜ao e obtˆem pequenos incrementos na potˆencia do sistema. Esta caracter´ıstica possui a desvantagem de tornar lenta a convergˆencia do algoritmo precisando de v´arias itera¸c˜oes para consegui-lo. Deste modo, o algoritmo foi modificado, e quando o valor do gradiente ´e menor que 0.6 % da potˆencia atual, o valor do gradiente passa a ser calculado pela express˜ao:

∆x = ∆p + γ

k ∗ γ2_{∗ n}; (4.4)

onde n ´e o numero de itera¸c˜oes e k ´e uma constante. Como resultado o valor do erro

Figura 40 - Fluxograma b´asico do algoritmo proposto do M´etodo do Gradiente (MG).

da potˆencia diminui conforme aumentam as itera¸c˜oes e em rela¸c˜ao ao incremento inicial γ. Este procedimento possibilita diminuir as itera¸c˜oes necess´arias para a convergˆencia. Na Figura 39 A ´e ilustrado o comportamento do algoritmo MG com a modifica¸c˜ao proposta na Equa¸c˜ao 4.4. Inicialmente com γ de 8 V , e posteriormente o valor do gradiente diminui conforme aumenta a tens˜ao vpve a potˆencia ppv. Na Figura 40 ´e ilustrado o funcionamento

do algoritmo do MG proposto no presente trabalho.