Medição e controle do risco de equilíbrio

6.1.

Risco de equilíbrio e programação estocástica

O risco de equilíbrio, mais conhecido como risco de insolvência, é definido como a probabilidade do não cumprimento das obrigações de um fundo de pensão até a sua extinção. O valor acumulado das obrigações futuras de um fundo de pensão em um determinado instante de tempo é conhecido como reserva matemática (RM). A RM no instante zero, ou seja, o capital inicial mínimo necessário para o pagamento de todos os desembolsos dado uma tolerância ao risco depende da evolução dos fluxos atuariais (benefícios e contribuições) e da taxa de desconto utilizada.

Os fluxos atuariais são calculados usando processos estocásticos e premissas bem conhecidas na literatura. Já a escolha do fator de desconto ainda é bastante discutida. Segundo a legislação brasileira a taxa de desconto real deve ser de 6%

fixa (usando o índice de inflação IGP-M como referência). No entanto, segundo Veiga (2003) a taxa de desconto dos benefícios e contribuições deve ser a rentabilidade da carteira do fundo, pois só assim reflete o verdadeiro custo de oportunidade da instituição.

Considerando um capital inicial c(0) é possível definir um modelo simplificado (sem custos de transação, administrativos, ...) para a evolução do patrimônio do fundo ao longo do tempo. Sejam c(k), r(k), contr(k) e bene(k), respectivamente, o capital do fundo, a rentabilidade da carteira, as contribuições e os benefícios no ano k, tem-se:

[

1 ( )

]

. ( 1)

[

( ) ( )

]

)

(k r k c k contr k bene k

c = + − + −

O processo recursivo permite calcular o patrimônio (capital) do fundo no momento de sua extinção (k = Kext) em função do capital inicial, dos fluxos atuariais e retornos da carteira ao longo do tempo.

( )

matemática no instante 0 em função dos fluxos atuariais e retornos da carteira ao longo do tempo. O capital inicial deve ser maior ou igual que a reserva matemática para garantir o estado de solvência do fundo.

)

A equação anterior prova que a taxa de desconto usada no cálculo da reserva matemática deve ser a rentabilidade da carteira. Sendo assim, a taxa de desconto regulatória (~IGP-M + 6%) pode ser interpretada como uma aproximação do portfólio por um único título de renda fixa indexado ao IGP-M com um spread de fixo de 6%. Esta aproximação, na grande maioria das vezes, não é adequada já que na prática os valores para rentabilidade do fundo são bem diferentes.

O modelo de programação estocástica faz indiretamente o cálculo correto do desconto do passivo. Em cada cenário, os pagamentos no estágio t são feitos após o capital de t-1 ter sido rentabilizado. O patrimônio em t será o total de ativos rentabilizado em t-1 subtraído dos pagamentos do passivo e outros custos em t.

Isto equivale ao cálculo analítico descrito acima.

O problema do modelo de PE é a restrição computacional na escolha do número de estágios e a estrutura de nós da árvore. Não é desejável para o modelo que se escolham estágios de grande duração devido à imprecisão dos fatores de risco envolvidos. Conseqüentemente, isto restringe o horizonte da PE a algumas poucas décadas enquanto que as obrigações dos fundos de pensão podem passar dos cem anos. Para resolver este problema, este trabalho propõe um método de medição e controle de risco de equilíbrio via bootstrap visando tratar o período seguinte ao horizonte de planejamento do modelo de PE.

6.2.

Medição do risco de equilíbrio via bootstrap

Bootstrap é uma forma de sortear valores utilizando uma distribuição amostral aproximada para estudar as propriedades de um estimador ou mesmo para utilizar as observações para algum cálculo estocástico. Nesse trabalho o bootstrap é usado para calcular a reserva matemática sorteando as rentabilidades do portfólio e a inflação através da distribuição de probabilidade intrínseca à árvore de possibilidades.

Para a realização do bootstrap são necessárias as definições de duas variáveis: S e N, que são respectivamente o estágio e o nó escolhidos para sortear os fatores de risco de interesse. O sorteio é feito baseado na distribuição de probabilidade conjunta dessas duas variáveis aleatórias. A probabilidade de sortear o cenário de inflação e rentabilidade do estágio s do nó n é dada por:

(

S se N n

)

(

N n S

) (

P S s

)

P = = = = | . =

Sabe-se que para cada estágio os nós são equiprováveis e que cada estágio possui um tamanho diferente. Logo, P(N = n | S) é uma distribuição uniforme e P(S = s) é ponderada pelo tamanho do estágio em relação ao horizonte de planejamento.

( )

S estágio do

nós S de

n N

P #

| = 1

( ) ( )

∑ ( )

= _T

i dur

k s dur

S P

Para cada ano seguinte à PE existe um fluxo real PR(k) determinístico do passivo e um cenário de retorno e inflação, r(k) e inf_anual(k) respectivamente. O horizonte de planejamento considerado para a PE é de 20 anos.

Estes fluxos devem ser descontados pela rentabilidade real da carteira até o final do último período do modelo de otimização, ou seja, para o instante k = 20.

Os fluxos descontados são dados por:

) valores reais referente ao final último período da PE.

( ) ∑ ( )

Sorteando 5000 diferentes cenários de rentabilidade e inflação, é calculada uma distribuição de probabilidade aproximada da reserva matemática real no ano k = 20.

A medição do risco de equilíbrio é feita comparando a riqueza final de cada nó em valores reais com a distribuição da reserva. Desta forma é possível calcular uma probabilidade de insolvência para cada nó terminal da PE.

A probabilidade de insolvência de nó terminal n_T é calculada a partir da distribuição da reserva matemática RM(20).

( ) ( ( ) ( ) ) ( )

_

Seja a variável indicadora:

( ) ( ( ) ( ) ) ^{( )}

Logo a probabilidade de insolvência pode ser expressa como:

( ) ( )

Assim é possível obter a distribuição da probabilidade de insolvência como a principal medida do risco. Sua média é o principal parâmetro que define o estado de equilíbrio de um fundo de pensão.

6.3.

Controle do risco de equilíbrio

O método de controle do risco e equilíbrio é um processo iterativo com o objetivo de reduzir o risco de insolvência. A primeira etapa é feita com o modelo de PE com o requisito de capital nulo, ou seja, L^* = 0. Neste caso, a penalização sob a função objetivo começa atuar em todos os cenários com a riqueza final (no fim do último período da PE: k = 20) seja menor que zero.

Se a medida do risco de equilíbrio, ou seja, a probabilidade de insolvência média, estiver fora da tolerância ao risco da instituição, o modelo de otimização deve ser usado novamente com um valor diferente para o requisito de capital L^*. Os valores possíveis são a média ou algum quantil da distribuição de reserva calculada na iteração zero. Nestes casos, a função objetivo começa a ser penalizado em todos os cenários onde o a riqueza final é menor que o L^* escolhido.

7 Resultados

7.1.

Descrição dos exercícios

A análise de resultados do modelo apresentado é feita através da implementação de três exercícios ilustrativos. Os objetivos principais destes exercícios são a diferenciação entre probabilidade de “underfunding” e de insolvência, a influência de uma variação no capital inicial sob o estado de equilíbrio e a rentabilidade da carteira, análises comparativas da alocação inicial ótima sob diferentes requisitos de capital, além de uma análise detalhada da influência do método de controle de risco para um capital inicial.

O Exercício 1 consiste na utilização do modelo para diferentes capitais iniciais afim de analisar suas probabilidades de “underfunding” e insolvência. Este processo é feito para quatro casos distintos:

• Caso 1: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital nulo

• Caso 2: Processo iterativo

o Etapa 1: Utilização do modelo de PE com um requisito de capital nulo para obter da distribuição da reserva através do bootstrap da rentabilidade da carteira

o Etapa 2: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital igual à média da distribuição da reserva real obtida (R$ 4.167.800,00)

• Caso 3: Processo iterativo

oEtapa 1: Utilização do modelo de PE com um requisito de capital nulo para obter da distribuição da reserva através do bootstrap da rentabilidade da carteira

oEtapa 2: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital

igual à quantil de 1% da distribuição da reserva obtida (R$ 4.355.500,00)

• Caso 4: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital igual a reserva real calculada segundo a legislação, com taxa de desconto real de 6% (R$ 4.925.000,00)

O Exercício 2 consiste na análise da alocação inicial ótima variando o capital inicial. Um estudo de sensibilidade é feito retirando a restrição que limita o investimento em renda variável. Esse exercício é feito para os diferentes casos:

• Caso 1: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital nulo

• Caso 2: Processo iterativo

o Etapa 1: Utilização do modelo de PE com um requisito de capital nulo para obter da distribuição da reserva através do bootstrap da rentabilidade da carteira

o Etapa 2: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital igual à média da distribuição da reserva real obtida (R$ 4.167.800,00)

• Caso 3: Processo iterativo

oEtapa 1: Utilização do modelo de PE com um requisito de capital nulo para obter da distribuição da reserva através do bootstrap da rentabilidade da carteira

oEtapa 2: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital

igual à quantil de 1% da distribuição da reserva obtida (R$ 4.355.500,00)

• Caso 4: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital igual a reserva real calculada segundo a legislação, com taxa de desconto real de 6% (R$ 4.925.000,00)

O Exercício 3 consiste na análise detalhada de um exemplo com o capital inicial de R$ 4.200.000,00. Os resultados analisados são: a alocação ótima esperada, a árvore de alocação, a riqueza final em termos reais, a distribuição do retorno real do portfólio, a distribuição da reserva técnica real e o valor da mesma determinado pela legislação, e por último a distribuição da probabilidade de insolvência. Esse exercício é feito para os diferentes casos:

• Caso 1: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital nulo

• Caso 3: Processo iterativo

oEtapa 1: Utilização do modelo de PE com um requisito de capital nulo para obter da distribuição da reserva através do bootstrap da rentabilidade da carteira

oEtapa 2: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital

igual à quantil de 1% da distribuição da reserva obtida (R$ 4.355.500,00)

7.2.

Exercício 1

Uma definição importante para a compreensão das análises feitas neste exercício é a diferença entre probabilidade de “underfunding” e de insolvência.

Define-se probabilidade de underfunding como a proporção de cenários com déficit no final do horizonte de planejamento da PE. A probabilidade de insolvência, por sua vez, é a probabilidade do fundo, em algum instante entre 0 e

∞, não honrar seus compromissos com seus beneficiários.

Os artigos da literatura de ALM via PE são capazes de medir somente a probabilidade de underfunding. Se o estado de um fundo é de underfunding então este estará insolvente. No entanto, um fundo insolvente pode ou não ter o estado de underfunding. Logo, conclui-se que a probabilidade de insolvência é sempre maior ou igual à de underfunding. A probabilidade de underfunding é uma aproximação subestimada do risco de equilíbrio do fundo. Com o método de bootstrap proposto torna-se possível a medição da probabilidade de insolvência e uma avaliação mais adequada sobre este o risco. Podemos observar comparação dessas probabilidades nos 4 casos:

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Probabilidade

Capital inicial (milhões de R$)

Caso 1

Underfunding Insolvência

Deficit level R$ 3.167.394,53 R$ 4.262.868,33

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Probabilidade

Capital inicial (milhões de R$)

Caso 2

Underfunding Insolvência

Deficit level R$ 3.175.243,26 R$ 4.252.649,42

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Probabilidade

Capital inicial (milhões de R$)

Caso 3

Underfunding Insolvência

Deficit level R$ 3.175.243,26 R$ 4.246.861,46

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Probabilidade

Capital inicial (milhões de R$)

Caso 4

Underfunding Insolvência

Deficit level R$ 3.175.282,43 R$ 4.246.547,29

Os casos de 1 a 4 apresentam uma ordem crescente de requisito de capital.

Sendo assim, é possível concluir que, apesar de uma diferença percentual pequena, o capital inicial necessário para atingir uma probabilidade de underfunding de 10% aumenta com o requisito de capital. Em sentido contrário, para uma probabilidade de insolvência de 10% o capital inicial diminui com o aumento do requisito de capital.

Este resultado pode ser interpretado como um trade-off entre os risco de

“médio” (20 anos) e de longo prazo (extinção do fundo). Com o requisito de capital mais alto o modelo assume maiores riscos do médio prazo para evitar os riscos de insolvência, ou seja, de longo prazo.

Uma análise comparativa dos 4 casos para a probabilidade de underfunding mostra que as diferenças são quase imperceptíveis.

Com o gráfico aproximado, é possível perceber que o caso de RC = 0 possui a menor probabilidade de underfunding, enquanto os outros casos são praticamente idênticos. Fica confirmado que a probabilidade de underfunding é diretamente proporcional ao requisito de capital solicitado.

O mesmo acontece com a probabilidade de insolvência. Os quatro casos são praticamente idênticos e suas diferenças só são visualmente perceptíveis com o gráfico aproximado.

O gráfico aproximado ratifica o fato de a probabilidade de insolvência ser inversamente proporcional ao requisito de capital solicitado.

Esses resultados mostram que o método de medição de risco via bootstrap é bastante eficiente, permitindo uma avaliação mais adequada do estado de solvência do fundo. No entanto, o processo iterativo para o controle do risco de equilíbrio mostrou-se pouco influente dado as diferenças não significativas nas probabilidades de déficit (underfunding e insolvência).

Uma avaliação sobre a evolução de rentabilidade de carteira com o aumento de capital é feita através dos gráficos seguintes. As três linhas representam a média e o intervalo de confiança criado com mais ou menos 3 desvios-padrões.

-5%

10%

15%

20%

25%

2100 2600 3100 3600 4100 4600 5100 5600

Retorno da carteira

Capital inicial (milhões de R$)

Caso 1

-5%

10%

15%

20%

25%

2100 2600 3100 3600 4100 4600 5100 5600

Retorno da carteira

Capital inicial (milhões de R$)

Caso 2

-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

2100 2600 3100 3600 4100 4600 5100 5600

Retorno da carteira

Capital inicial (milhões de R$)

Caso 3

-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

2100 2600 3100 3600 4100 4600 5100 5600

Retorno da carteira

Capital inicial (milhões de R$)

Caso 4

A pouca variabilidade da rentabilidade da carteira quanto ao aumento do capital inicial pode ser explicada pela escolha de um modelo de reversão a média para os fatores de risco cuja volatilidade estimada é bem baixa. Eventos extremos são pouco prováveis nesse modelo, pois os fatores sempre retornam para a média de longo prazo definida no modelo.

Os valores mais baixos de capital inicial apresentam uma queda na média e um aumento na volatilidade do retorno do portfólio. Isto ocorre porque o capital baixo tem como conseqüência um aumento nas dívidas reduzindo a rentabilidade média da carteira e aumentando o seu desvio padrão.

7.3.

Exercício 2

A análise comparativa da alocação inicial ótima dos quatro casos é feita para os seguintes valores de capital inicial: 2,7; 3,7; 4,1; 4,2 e 4,4 bilhões de reais.

Estes valores representam aproximadamente 100%, 67%, 21%, 13%, 7% e 4% de probabilidade de insolvência.

Para o menor capital inicial, de 2,7 bilhões, a relação entre as alocações ótimas iniciais de cada caso apresenta-se diferente das demais. Com 100% dos cenários insolventes, o aumento do requisito de capital representa um aumento no retorno e no risco da carteira. Isto acontece porque um aumento no retorno da carteira é a única solução para um fundo que já não tem nada a perder.

1 2 3 4

Optimal Initial Allocation

Alocação inicial ótimapara c(0) = R$ 2.700.000,00

Para os outros casos a lógica se inverte. Com o aumento do requisito de capital a aversão ao risco do fundo aumenta. Isto ocorre porque a penalização na função objetivo atua em mais cenários quando o requisito de capital é maior.

1 2 3 4

Optimal Initial Allocation

Alocaçãoinicial ótimapara c(0) = R$ 3.700.000,00

1 2 3 4

Optimal Initial Allocation

Alocação inicial ótimapara c(0) = R$ 4.100.000,00

1 2 3 4

Optimal Initial Allocation

Alocação inicial ótimapara c(0) = R$ 4.200.000,00

1 2 3 4

Optimal Initial Allocation

Alocação inicial ótimapara c(0) = R$ 4.400.000,00

Apesar das diferenças pouco significativas, observa-se um resultado bastante intuitivo comparando, caso a caso, a alocação inicial para os quatro diferentes c(0): quanto maior o capital inicial mais arriscada será a alocação ótima. Este resultado é mais facilmente percebido se repetirmos o exercício sem a restrição de máximo de alocação de 50% em ações determinada por lei, usando os capitais iniciais de 3,7 e 4,4 bilhões de reais. Esta restrição mostra-se bastante conservadora com relação à participação dos fundos brasileiros nos mercados financeiros.

Optimal Initial Allocation

Alocação inicial ótimapara c(0) = R$ 3.700.000,00

1 2 3 4

Optimal Initial Allocation

Alocação inicial ótimapara c(0) = R$ 4.400.000,00

7.4.

Exercício 3

O exercício 3 tem como objetivo comparar o efeito da iteração proposta no método de controle do risco de equilíbrio sob as diferentes saídas do modelo de programação estocástica. Para isto são analisados os casos 1 e 3, ou seja, um RC nulo e um processo iterativo usando o quantil de 1% de distribuição da reserva matemática como requisito de capital.

A primeira análise é feita sobre a alocação ótima esperada. São calculadas as médias percentuais da alocação da carteira para cada estágio da árvore de decisão. A diferença entre os dois casos é pequena, porém demonstra uma tendência maior do Caso 3 de evitar a presença de novos cenários insolventes.

Este caso adota uma carteira mais conservadora com um percentual menor de ações e maior de títulos de renda fixa.

0 1 2 3 41

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Optimal Expected Allocation

Stocks Properties Bonds Cash

Alocaçãoótima esperada – Caso 1

0 1 2 3 41

Optimal Expected Allocation

Alocaçãoótima esperada – Caso 3

Este resultado pode ser melhor observado na árvore de alocação. Essa estrutura representa a alocação estratégica em cada nó decisório deixando clara a dispersão da carteira segundo os vários cenários condicionados. A diferença entre os casos pode ser percebida com um número maior de cenários com grande Árvorede alocação– Caso 1

0 1 2 3 4 Árvorede alocação– Caso 3

O resultado seguinte é a distribuição da riqueza final em valores reais. Esta distribuição é aproximada pelo histograma da riqueza real dos nós terminais dada por:

riqueza _T _T

T − +

= +

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

Real final wealth

Riquezafinal em valoresreais– Caso1

cenários

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180

scenarios

Real final wealth

Riquezafinal em valoresreais– Caso 3

cenários

Não existem diferenças significantes entre as riquezas finais para os casos 1 e 3. Esse resultado ratifica a baixa influência da iteração na probabilidade de underfunding (riqueza final negativa).

Da mesma forma a distribuição da rentabilidade da carteira e, conseqüentemente, da reserva matemática também se mostram indiferentes à iteração de controle do risco de equilíbrio.

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

scenarios

Real portfolio return

Rentabilidadereal da carteira – Caso 1

cenários

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

scenarios

Real portfolio return

Rentabilidadereal da carteira– Caso3

cenários

38000 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500

50 100 150

scenarios

Real Technical Reserve using portfolio real return as discount rateReservamatemáticareal – Caso 1

cenários

38000 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500

20 40 60 80 100 120 140 160 180

scenarios

Real Technical Reserve using portfolio real return as discount rateReservamatemáticareal – Caso 3

cenários

É importante observar que o valor da reserva legal de R$ 4.925.000,00 (calculada com a taxa de desconto real de 6%) é maior do que todos os cenários da distribuição aproximada da reserva matemática. Esta barreira legal é desnecessariamente restritiva ao desempenho financeiro do fundo.

Como último resultado, a distribuição da probabilidade de insolvência é levemente afetada pelos efeitos da iteração. É possível perceber uma redução do número de cenários de probabilidade 1 e um aumento das probabilidades nulas.

Observa-se também que a grande maioria dos cenários tem 0 ou 1 como probabilidade de insolvência. Isto pode ser explicado pela baixa volatilidade do retorno da carteira e da reserva matemática, fazendo com que o patrimônio ao final de 20 anos seja maior ou menor que todas as observação da reserva gerada.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

scenarios

Insolvency probability

Probabilidadede insolvência – Caso1

cenários

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

scenarios

Insolvency probability

Probabilidadede insolvência – Caso3

cenários

8 Conclusão

Este trabalho propôs um modelo de programação estocástica multi-estágio aplicado ao ALM de fundo pensão e uma metodologia inovadora de medição e controle do risco de equilíbrio da instituição. Os objetivos destes modelos são encontrar a alocação ótima do fundo e medir a sua probabilidade de insolvência.

O processo se inicia com a estimação dos coeficientes do modelo estocástico utilizados na geração de cenários em árvore para os fatores de risco. A precificação dos ativos é feita utilizando esses fatores que também transformam a modelagem do passivo real determinístico em fluxos nominais estocásticos. Estes fluxos, assim como as rentabilidades dos ativos, são imputados no modelo de PE

No documento Alocação ótima e medida de risco de um ALM para fundo de pensão via programação estocástica multi-estágio e bootstrap (páginas 57-86)