Nesta seção são apresentadas algumas medidas que são utilizadas para classificar os elementos de um sistema de acordo com sua ordem de importância. São essas: Birnbaum, Criticidade e Fussel-Vesely. Assume-se um sistema com n componentes independentes, em que cada componente i possui uma função de confiabilidade Ri(t) [Silva 2013].
A medida de Birnbaum IB(i/t) descreve a importância da confiabilidade de um com-
ponente. Esta métrica é definida como uma derivada parcial da confiabilidade do sistema em relação à confiabilidade do componente i, conforme representado na equação 3.6
IB(i/t) = ∂R(t) ∂Ri(t)
; i=1,2,...,n (3.6) Se IB(i/t) é um valor grande, uma pequena variação na confiabilidade do componente
iresultará em uma mudança considerável na confiabilidade do sistema. Um componente i é considerado crítico para o sistema se a falha dele implica a falha do sistema. Dessa forma, a medida Birnbaum pode também ser interpretada como a probabilidade do com- ponente ser crítico para o sistema no tempo t.
A medida de Criticidade ICR(i/t) é adequada para priorizar ações de manutenção.
Está relacionada com melhoria da confiabilidade do sistema como resultado da melho- ria de confiabilidade do componente. Esta métrica é definida como a probabilidade do componente i ser crítico no instante t e ter ocorrido a falha nesse instante, sabendo que o sistema falhou no instante t. A equação que descreve a criticidade é dada por equação 3.7.
ICR(i/t) =I
B(i/t)(1 − R i(t)
3.5. ÁRVORES DE FALHAS 21 A medida Fussel-Vesely IFV(i/t) descreve como um componente pode contribuir para
o defeito de um sistema dado que não é crítico. Esta métrica é definida como a probabi- lidade de que pelo menos um conjunto de cortes mínimos, que contenha o componente i, tenha falhado no instante t, sabendo-se que o sistema falhou nesse mesmo instante. Sua definição é descrita pela equação 3.8:
IFV(i/t) ≈ ∑
m
j=1(1 − Rj(t))
1 − R(t) (3.8) onde Rj(t) é a função de confiabilidade do conjunto de cortes mínimos j que contém o
componente i, enquanto que m é a quantidade de cortes mínimos que contém o compo- nente i.
3.5 Árvores de Falhas
O modelo de Árvore de Falhas é um recurso utilizado para análise de dependabili- dade empregado neste trabalho. É uma estrutura em formato de árvore, que representa a sequência de defeitos individuais do componentes que causam a parada de um sistema. O ponto de partida é a definição de um único e bem definido evento indesejável, que é a raiz da árvore [Trivedi 2001].
De uma maneira geral, Árvores de Falhas (Fault Tree FT) são modelos gráficos que representam a combinação de eventos responsáveis por conduzir um defeito no sistema. O modelo utiliza uma estrutura de árvore composta por eventos e portas lógicas. Os eventos representam as condições normais e de falhas do sistema (defeitos nos componentes, con- dições ambientais, falhas humanas, etc). Os eventos seguem a lógica booleana, ou seja, eles ocorrem ou não ocorrem. Em contrapartida, as relações causa-efeito entre os eventos são representadas pelas portas lógicas. As entradas destas portas podem ser desde um simples evento até uma combinação de eventos oriundos da saída de outra porta lógica. Há vários tipos de portas disponíveis no formalismo da técnica, dentre as quais tem-se and, or e k-out-of-n.
A análise de Árvores de Falhas (Fault Tree Analysis FTA) é uma técnica eficiente para avaliar qualitativamente e quantitativamente a confiabilidade e a disponibilidade dos siste- mas [Xing & Amari 2008]. Na análise qualitativa, FTA pode ser utilizada dependendo da fase de um sistema. Na fase de desenvolvimento tem como objetivo identificar potenciais problemas que podem conduzir a defeitos. Já na fase de comissionamento a técnica pode ser usada para identificar as causas do defeito. Por outro lado, durante a análise quanti- tativa é possível mensurar as medidas de confiabilidade e disponibilidade do sistema em
22 CAPÍTULO 3. DEPENDABILIDADE análise.
As principais vantagens da FTA estão relacionadas com o procedimento intuitivo para descrever os eventos que conduzem aos defeitos do sistema e com a minimização do problema de explosão do espaço de estados, muito comum na modelagem de sistemas de grande porte [Trivedi 2001].
A avaliação de uma FT consiste em calcular a probabilidade do eventoTOPO(repre-
senta a condição de defeito do sistema) baseado nas probabilidades dos eventos básicos. Este cálculo é realizado diferentemente para cada tipo de porta lógica. Assumindo n entradas/eventos, a ocorrência do evento i é descrita pela sua função de distribuição acu- mulativa (CDF) Fi(t). Pode-se descrever as saídas das portas lógicas conforme descrito
na Figura 3.6. Quando uma porta and é usada, a condição de defeito é ativada somente no momento em que todas as entradas/eventos ocorrerem. Por outro lado, a saída de uma porta or é ativada quando pelo menos uma das suas entradas/eventos está ativa. Final- mente, se uma porta k-out-of-n é usada, a saída estará ativa se pelo menos k entradas/e- ventos ocorreram das n disponíveis.
Fi (t) ... Fn(t) Fi (t) ... Fn(t)
or
and
𝑭 𝒕 = 𝟏 − (𝟏 − 𝑭𝒊(𝒕)) 𝒏 𝒊=𝟏 𝑭 𝒕 = 𝑭𝒊 (𝒕) 𝒏 𝒊=𝟏 𝑭 𝒕 = ( 𝑭𝒊 𝒕 𝒊 ∈ 𝑰 )( 𝟏 − 𝑭𝒊(𝒕) 𝒊 ∋ 𝑰 ) |𝑰|≥𝒌 Fi (t) ... Fn(t) K out of NFigura 3.6: Função de distribuição acumulativa para as saídas das portas and, or e k-out- of-n.
As equações apresentadas na Figura 3.6 referem-se a uma FT que não apresenta even- tos repetidos. No caso em que ocorrem eventos repetidos, as equações são inválidas. Torna-se necessário o emprego de uma técnica diferente. No contexto deste trabalho é utilizada a soma dos produtos disjuntos (SPD).
O método SPD pode ser eficientemente empregado nas árvores de falhas com eventos repetidos, além do mais é facilmente automatizado. A ideia básica consiste em encontrar uma função booleana φ(x) que descreva a condição de defeito do sistema (o eventoTOPO)
e transformar esta função em outra, cujos termos individuais são mutualmente exclusivos. A função estrutural φ(x) é dada por 3.9 [Silva 2013]:
3.5. ÁRVORES DE FALHAS 23 φ(x) = 1 sistema falhou
0 sistema não falhou (3.9) onde x é definido como o vetor de estados, x = (x1, x2, ..., xn). Cada elemento xi é uma
Capítulo 4
Metodologia de Avaliação
A metodologia proposta nesse trabalho tem como objetivo avaliar a dependabilidade (confiabilidade e disponibilidade) de uma SG baseada em um modelo de Árvores de Fa- lhas. Em outra palavras, através da metodologia será possível calcular a confiabilidade e a disponibilidade de uma determinada carga a ser atendida. Ainda na fase de projeto da rede, a metodologia pode ser utilizada como fornecedora de informações (topologia, criticalidade dos dispositivos, nível de redundância) para a criação de uma infraestrutura mais robusta e confiável. As mesmas informações podem também ser utilizadas durante a fase de operação e expansão da rede.
A Figura 4.1 descreve uma visão geral da metodologia proposta. O processo tem início com o fornecimento de informações sobre a topologia da rede, dados de falhas e reparos, métricas de avaliação, priorização de cargas e a condição de defeito da rede. Esta última é definida por uma expressão lógica que combina os estados de falha das cargas de uma SG para um determinado cenário. A priorização das cargas é fundamental, pois em caso de falhas das fontes de energia algumas cargas podem ter maior prioridade em detrimento de outras. Cada uma dessas entradas serão detalhadas posteriormente.
As diferentes combinações de possibilidades de falhas nas fontes é resolvida por um algoritmo clássico de simplificação de funções booleanas (Quine-McCluskey). O método Quine-McCluskey é um método de tabulação eficaz para a simplificação de expressões que contém mais de quatro variáveis, sendo mais eficaz para a redução da complexidade de execução do algoritmo [Jain et al. 2008]. A partir dessa simplificação, as expressões que representam o evento TOPO de cada uma das cargas em função das diversas fontes
são encontradas.
Para suportar a obtenção de condições de defeito mais flexíveis é necessário encontrar todos os caminhos entre as fontes e as cargas que constituem a condição de defeito da rede. A seguir, uma lógica baseada no problema k-terminal é utilizada para incorporar a topologia da rede na expressão que envolve o eventoTOPOdas cargas. Em outras palavras,
26 CAPÍTULO 4. METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO o algoritmo utilizado encontra uma expressão lógica simplificada descrevendo os eventos que conduzem a rede a um defeito. A expressão lógica resultante é transformada em uma Árvore de Falha que poderá posteriormente ser processada por qualquer resolvedor de FTA (software).
Entrada
Encontrar o evento TOPO para cada carga “ϵ” a condição de defeito
Geração da Árvore de Falha
Saída Topologia
Métricas de avaliação
Dados de falhas e reparações Condição de defeito da SG
Confiabilidade Disponibilidade MTTF
Medidas de importância dos componentes Para cada fonte i no evento TOPO da carga j, calcular todos os
caminhos de i até j na rede (k-terminal modificado)
Otimização com priorização de carga
(Quine-McCluskey) Priorização de cargas
Figura 4.1: Visão geral da metodologia para avaliação da dependabilidade de uma SG. A ferramenta SHARPE é amplamente utilizada no meio acadêmico. Devido a isto,
esta ferramenta (solucionador) foi usada para calcular de forma analítica ou simbólica as métricas de interesse [Sahner et al. 2012].
4.1 Entrada de Dados
Nesta subseção são descritos cada um dos dados de entrada necessários para a cons- trução da metodologia proposta.
4.1.1 Topologia
O primeiro passo da metodologia é definir a estrutura de dados que irá modelar a SG. No caso, a rede é organizada como um grafo G(V,A) com n vértices (V) e k arestas (A). Os vértices representam os componentes da infraestrutura física da SG enquanto as arestas representam os enlaces de comunicação. A topologia da rede é armazenada em uma matriz de adjacência (Mn×n) do grafo G. Se um componente Nitem um vizinho Nj,
4.1. ENTRADA DE DADOS 27 então as entradas mi j e mji∈ M irão receber o valor unitário, caso contrário irão receber o
valor nulo. Dessa forma, pode-se representar qualquer topologia suportada por uma SG. A Figura 4.2 descreve um exemplo de uma rede elétrica representada pela estrutura de dados mencionada acima. Neste exemplo, a rede é formada por uma fonte de energia (F), dois transformadores (T1 e T2), linha de transmissão (L), junções (J1 e J2) e duas cargas (C1 e C2).
Figura 4.2: Exemplo de uma rede elétrica representada por um grafo e sua respectiva matriz de adjacência.
4.1.2 Configurações de falhas
A referida metodologia apresenta suporte para as falhas permanentes nos componen- tes que compõem a infraestrutura física da SG e nas linhas de transmissão (enlaces de comunicação). Após uma falha permanente, o dispositivo da rede é considerado per- manentemente inoperante. Para ser considerado operacional novamente um processo de reparo deve ser realizado. Assume-se que os reparos são independentes e que as ações de reparações são ilimitadas. Uma carga é considerada inoperante se por algum motivo a energia demandada por ela não foi atendida.
Para a utilização na ferramenta SHARPE foi adotada uma CDF (função de distribui-
ção acumulativa) utilizando polinômios exponenciais para analisar quantitativamente a metodologia proposta. Os polinômios são conforme descritos na Equação 4.1.
F(t) =
n
∑
j=1
28 CAPÍTULO 4. METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO Os termos aj, kj e bj são os parâmetros do polinômio exponencial enquanto que e é a
constante neperiana. Muitas distribuições podem ser expressas utilizando a equação 4.1 (e.g., exponencial, erlang, hipoexponencial, hiperexponencial). Outras distribuições não exponenciais (e.g., weibull, lognormal, determinística) podem ser aproximadas, porém, utilizando técnicas híbridas envolvendo a combinação de momentos e mínimos quadráti- cos não lineares [Silva 2013].
4.1.3 Condição de Defeito da Rede
Falhas em dispositivos específicos podem conduzir a defeitos em toda rede, depen- dendo dos requisitos impostos pelas aplicações. Para avaliações mais fidedignas, deve-se configurar na entrada da metodologia a combinação das cargas, que em caso de corte, leva a um defeito na rede.
A metodologia suporta condições de defeitos cuja combinação de dispositivos pode ser configurada utilizando as portas lógicas and, or ou k-out-of-n. Com isso, na prática, qualquer configuração pode ser utilizada.
4.1.4 Prioridades
As prioridades de cargas também são representadas pelo metodologia. Prioridades são fundamentais haja vista que em caso de falhas, as cargas com maior prioridade são atendidas primeiramente. A priorização deve ser determinada para se estabelecer uma sequência lógica de atendimento de forma a obedecer as condições do sistema. Diferentes cargas dentro de um sistema elétrico podem possuir prioridades diferentes dependendo da sua importância no sistema. A determinação da prioridade é orientada pelos requisitos adotados pelo projetista da rede ou operador do sistema.
4.1.5 Métricas de Avaliação
As medidas de avaliação que podem ser obtidas através da metodologia proposta são: confiabilidade, disponibilidade, MTTF e as medidas de importância dos componentes. Dependendo da métrica a ser avaliada, informações adicionais deverão ser configuradas.
Para as métricas de confiabilidade, MTTF e as medidas de importância dos com- ponentes é necessária a inserção das taxas de defeitos, que permitem a utilização das distribuições de probabilidade descritas anteriormente. Porém no caso da métrica de dis- ponibilidade, deve-se informar as taxas de falhas e de reparos de cada dispositivo.