Para além das medidas de tendência central existem outras medidas que nos informam rela- tivamente à localização dos valores da variável. Costumam designar-se por quantis e iremos aqui abordar os quartis e os percentis, apesar dos percentis não estarem contemplados nos
Assimetria positiva Assimetria negativa
Figura 2.12: Distribuições assimétricas
programas do ensino básico e secundário (contudo são utilizados em diversas situações do nosso quotidiano).
2.6.1
Quartis
Os quartis são medidas estatísticas extremamente úteis na caracterização de uma amostra. A partir deles podemos obter uma representação gráfica designada por diagrama de extremos e quartis (subsecção 2.6.2) e calcular uma medida de dispersão (secção 2.15).
Definição 2.12. Os quartis são os valores que dividem o conjunto das observações, depois de
ordenado, em quatro partes iguais, cada uma contendo 25% das observações. Os quartis são 3 e representam-se por Q1, Q2e Q3, sendo Q2= Me. Assim:
• Q1— o 1.oquartil é o valor que verifica a seguinte propriedade: 25% das observações
são menores ou iguais a Q1e 75% são superiores ou iguais a Q1, conforme ilustrado na
Figura 2.13 (onde xmin e xmax representam o mínimo e o máximo da amostra).
• Q2— o 2.oquartil é igual à mediana.
• Q3— o 3.oquartil é o valor que verifica a seguinte propriedade: 75% das observações
são menores ou iguais a Q3e 25% são superiores ou iguais a Q3.
Para determinar o 1.oe o 3.o quartis de um conjunto ordenado de observações começa-se por determinar a mediana, Q2, dividindo esse conjunto em duas partes iguais. O 1.o quartil
será a mediana das observações que se encontram à esquerda de Q2 e o 3.o quartil será a
Figura 2.13: Esquema relativo aos extremos e quartis de uma distribuição
Para exemplificar, consideremos as idades dos 25 alunos, da tabela 2.1 presente na página 13. Já vimos que Me= x(13)= 14.
13,13,13,13,13,13,14,14,14,14,14,14, 14, 14,14,14,14,14,14,15,15,15,15,15,16
O 1.oquartil é a mediana dos 12 primeiros valores, isto é,
Q1=
x(6)+ x(7)
2 =
13+ 14
2 = 13, 5. (2.22)
O 3.oquartil é a mediana dos 12 últimos valores, isto é,
Q3=
x(19)+ x(20)
2 =
14+ 15
2 = 14, 5. (2.23)
Por outro lado, quando a variável é contínua podemos determinar as classes às quais per- tencem o 1.o e 3.o quartis, recorrendo à frequência relativa acumulada, como procedemos com a mediana. Assim, a classe que contém o 1.o quartil será aquela que corresponde à pri- meira classe com frequência relativa acumulada superior ou igual a 25% (Fi≥ 0,25) ou, o
que é equivalente, à primeira classe com frequência absoluta acumulada superior ou igual a
n
4 (Ni≥
n
4). Analogamente, a classe que contém o 3.o quartil será aquela com frequência re-
lativa acumulada superior ou igual a 75% (Fi≥ 0,75) ou com frequência absoluta acumulada
superior ou igual a 34n (Ni≥ 34n).
Voltando de novo ao exemplo relativo às alturas dos 25 alunos apresentadas na Tabela 2.6, da página 19, já vimos que a classe mediana é [155,160[, pois esta classe acumula 60% dos valores e a anterior acumula apenas 28%. Conclui-se, igualmente, que a classe à qual pertence o 1.o quartil é [150,155[, pois esta classe acumula 28% dos valores e a anterior acumula apenas 8%. Do mesmo modo, a classe à qual pertence o 3.oquartil é [160,165[ pois esta classe acumula 88% dos valores e a anterior acumula apenas 60%.
2.6.2
Diagrama de extremos e quartis
Um diagrama de extremos e quartis é uma representação gráfica que podemos utilizar quando pretendemos representar esquematicamente um conjunto de dados numéricos. A sua cons- trução depende de 5 valores: valor mínimo, valor máximo, 1.o quartil, 2.oquartil e 3.oquar- til. Começa-se por traçar um eixo graduado, onde se assinalam os 5 valores. De seguida, acima desse eixo, traça-se um segmento horizontal desde o mínimo até ao 1.oquartil. Depois desenha-se um retângulo desde o 1.o quartil até ao 3.oquartil, divido pela mediana. Por fim, faz-se novamente um segmento horizontal desde 3.o quartil até ao valor máximo. No início e no fim do diagrama desenha-se, ainda, um pequeno segmento vertical. Deste modo, ficam definidas quatro zonas (contendo cada uma 25% dos dados), sendo duas delas centrais.
Este diagrama fornece informações sobre a forma como os dados estatísticos se distri- buem, nomeadamente sobre a concentração/dispersão. Quanto mais estreita for uma zona, maior concentração de dados existe nessa zona. Os diagramas de extremos e quartis podem surgir na posição horizontal ou vertical. Na Figura 2.14 temos o diagrama de extremos e quartis das idades dos alunos.
Figura 2.14: Diagrama de extremos e quartis relativo à idade dos 25 alunos
2.6.3
Percentis
Como já foi referido, os percentis estão fora do âmbito dos programas do ensino básico e se- cundário, no entanto optamos por fazer uma pequena abordagem pelo facto destas medidas se utilizarem na vida real, nomeadamente, para informar sobre o desenvolvimento das crianças.
Definição 2.13. Os percentis são os valores que dividem o conjunto das observações, depois
de ordenado, em cem partes iguais, cada uma contendo 1% das observações. Os percentis são 99 e representam-se por P1, P2, . . . , P99, sendo P25 = Q1, P50 = Me e P75 = Q3. Deste
modo, Pα = k significa queα% das observações são inferiores ou iguais a k e(100 −α)% das observações são iguais ou superiores a k.
Assim, por exemplo, se para um conjunto de dados tivermos:
• P16 = 34, significa que 16% das observações são inferiores ou iguais a 34 e 84% são
iguais ou superiores a 34.
• P72 = 55, significa que 72% das observações são inferiores ou iguais a 55 e 28% são
iguais ou superiores a 55.
Exemplo 2.8. Consideremos que numa consulta o pediatra, após pesar e medir a criança,
afirma que esta está no percentil 80 no peso e no percentil 25 em relação à altura (algumas das medidas patentes na Caderneta de Saúde da Criança são os percentis do peso, da altura e do perímetro cefálico por idade). Qual o significado destes valores referidos pelo pediatra? Significam que, relativamente às crianças da mesma idade, existem 80% de criaças com um peso menor ou igual e apenas 20% com um peso maior ou igual. No que se refere à altura, relativamente às crianças com a mesma idade, exitem 25% de crianças mais baixas e 75% de crianças mais altas (a forma da evolução de cada um destes percentis bem como a discrepância entre eles é um dado importante na análise do desenvolvimento da criança).