Nas seções seguintes serão apresentados alguns testes com contribuições realizadas no sistema Freeflow (CASTELO et al.,2000). As contribuições foram realizadas no módulo Freeflow 2D, com a implementação do método ELVIRA (VOF-PLIC) para representação da superfície livre, com um esquema de advecção geométrica (vide seção3.2), e no módulo Freeflow 3D, com a implementação do método de estabilização LOG-conformation (vide seção 3.1.3) para os modelos Oldroyd-B e Giesekus. Além dessas, foram realizadas outras melhorias, que estão documentadas em (FIGUEIREDO et al.,2013;FIGUEIREDO et al.,2014;CUMINATO et al.,2014).
B.1
Jato oscilante
O método VOF com o algoritmo de reconstrução da interface ELVIRA, e um esquema de advecção geométrica, foram inseridos no sistema Freeflow 2D. Para verificar essa implementação, dois testes foram realizados com o experimento do jato oscilante (jet buckling), um com fluido newtoniano, e outro com fluido viscoelástico. O experimento do jato oscilante consiste em um fluido injetado contra uma placa rígida, e devido às forças viscosas ao atingir a parede rígida, o fluido se acumula e inicia-se a ocorrência de oscilações no jato do fluido, caracterizando o fenômeno.
Esse problema é encontrado em diversas aplicações industriais, sendo mais comum no preenchimento de moldes ou formas. Para fluidos viscosos,Cruickshank(1980) eCruickshank (1988) determinaram dois parâmetros necessários para a ocorrência dessas oscilações, H/D > 7.2 e Re < 1.2, em que, H é a distância do injetor até a placa rígida, e D é o diâmetro do injetor. Recentemente,Ville et al.(2010) desenvolveram uma técnica baseado no método LS para resolver escoamentos newtonianos com superfície livre, e apresentaram resultados do jato oscilante em duas e três dimensões. Escoamentos desse fenômeno envolvendo fluidos viscoelásticos foram apresentados porOishi et al.(2012),Figueiredo et al.(2013). Nesses trabalhos, foram
investigados a influência dos parâmetros do modelo XPP, com um método implícito para o tratamento da pressão na superfície livre, em duas e três dimensões.
Os parâmetros utilizados no estudo do jato oscilante foram: H = 7.5 cm, D = 0.4 cm, U = 0.1 m/s, g = −9.81 m/s2e Re =ρDUµ = 0.01, com um malha uniforme onde ∆x = ∆y = 0.05 cm. Os resultados obtidos foram comparados com os resultados do método MAC. A figura68 mostra a comparação dos resultados obtidos com o fluido newtoniano, enquanto a figura69 exibe uma comparação para o fluido viscoelástico, com o modelo Oldroyd-B, Wi = λU
D = 5,
e β = µs
µ = 0.2. Observa-se que o comportamento do jato com os métodos MAC e VOF, para
ambos os tipos de fluido, apresentam boa concordância, tanto na forma do jato, quanto na frequência das oscilações. É possível verificar a frequência das oscilações pelo número de “dobras” observadas nas laterais da porção do fluido que acumulou junto ao prato.
(a)Método MAC para os seguintes tempos t = 0.8 s, 1.2 s, e 1.6 s
(b)Método VOF para os seguintes tempos t = 0.8 s, 1.2 s, e 1.6 s
Figura 68 – Resultados numéricos do experimento do jato oscilante com fluido newtoniano, e Re = 0.01: a) método MAC, b) método VOF.
A implementação do método VOF para representar a superfície livre no sistema Freeflow deixou o sistema muito mais robusto, pois agora permite o estudo de problemas onde ocorre mudança topológica. Apesar do problema do jato oscilante não exibir mudança topológica nos experimentos realizados nesse estudo comparativo, as rotinas do método VOF inseridas no sistema Freeflow são as mesmas rotinas desenvolvidas na construção da metodologia proposta no presente projeto. Assim, todos os testes realizados no presente projeto podem ser considerados
(a)Método MAC para os seguintes tempos t = 0.8 s, 1.2 s, e 1.6 s
(b)Método VOF para os seguintes tempos t = 0.8 s, 1.2 s, e 1.6 s
Figura 69 – Resultados numéricos do experimento do jato oscilante com o fluido Oldroyd-B, Re = 0.01, Wi = 5 e β = 0.5: a) método MAC, b) método VOF.
como uma verificação do método VOF inserido no Freeflow.
B.2
Métodos de estabilização
Nessa seção é descrito o estudo realizado para verificação do método de estabilização log- conformação, implementado no sistema Freeflow 3D com o modelo Giesekus em coordenadas cartesianas. Para problemas transientes, o modelo Giesekus não possui solução analítica para a velocidade e nem para as componentes do tensor não-newtoniano τ . Desta forma, para verificar o método numérico implementado, foi realizado um estudo de convergência da solução numérica utilizando diferentes tamanhos de malhas. Para isso, foi considerado um escoamento em um tubo de raio R e comprimento 10R como ilustrado na figura70.
Na entrada do tubo foi imposto um perfil de velocidade parabólico. Nas paredes do tubo foram impostas condição de contorno rígido, enquanto nos ejetores utilizou-se condição de Neumann homogênea, tanto para a velocidade quanto para a contribuição não-newtoniana.
Os parâmetros de entrada utilizados neste experimento foram: R = 1 m, Re = µρULs+µp = 1, Wi = λU
L = 1, α = 0.2, β = µsµ+µs p = 0.5 e aceleração da gravidade nula. Neste caso, L = 2R
R
z y x
Figura 70 –Ilustração do domínio para simulação do escoamento em um tubo.
a convergência do método foram adotadas malhas uniformes com ∆x = ∆y = ∆z: malha M1 com ∆x = 0.1, malha M2 com ∆x = 0.0714, malha M3 com ∆x = 0.0455, e malha M4 com ∆x = 0.0263. Como a solução analítica do modelo Giesekus não é conhecida, considerou-se a solução da malha mais fina M4 como a solução de referência.
Na figura71são apresentadas as soluções numéricas obtidas para a velocidade w e alguns tensores não-newtonianos, em uma seção transversal próxima ao ejetor do tubo. É necessário considerar uma seção transversal próxima ao ejetor, pois no inflow é imposto para o tensor polimérico o perfil desenvolvido do modelo Oldroyd-B, e de acordo com (ABOUBACAR et al., 2005), o tensor polimérico se desenvolve ao longo do canal, o que leva à obtenção do perfil do modelo Giesekus.
Para verificar a convergência do método numérico, foram utilizados os resultados obtidos com as malhas M1, M2 e M3, sendo os resultados da malha M4 a solução de referência. O erro relativo é calculado por meio da norma L − 2, da seguinte forma
||E||2=
s
∑i jk(SOLre f− SOLnum)2
∑i jk(SOLre f)2 , (B.1)
em que, SOLre f denota a solução obtida com a malha M4 e SOLnumdenota as soluções obtidas
com as malhas M1 − M3. A tabela6apresenta o cálculo do erro relativo utilizando as malhas M1, M2 e M3. Observa-se que os erros decrescem com o refinamento da malha, evidenciando a convergência do método numérico.
Tabela 6 –Erros nas malhas M1, M2 e M3 para o escoamento em um tubo com fluido viscoelástico do tipo Giesekus, utilizando a formulação logaritmo do tensor conformação.
Malhas E(w) E(τzz) E(τyz) E(τyy)
M1 4.2543 × 10−2 3.7499 × 10−2 2.4898 × 10−2 4.7526 × 10−2
M2 2.2925 × 10−2 2.3590 × 10−2 1.6530 × 10−2 2.7858 × 10−2
M3 7.9991 × 10−3 8.4446 × 10−3 5.9262 × 10−3 9.9837 × 10−3
A verificação realizada é um indicativo de que o método log-conformação implementado no sistema Freeflow 3D está apto para simular escoamentos com o modelo Giesekus, ou Oldroyd-
a) b) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.5 1 1.5 2 y v el o ci d ad e w M1 M2 M3 M4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 y τ zz M1 M2 M3 M4 c) d) -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 1 1.5 2 y τ yz M1 M2 M3 M4 -0.2 -0.18 -0.16 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0 0.5 1 1.5 2 y τ yy M1 M2 M3 M4
Figura 71 – Solução numérica do escoamento em um tubo com o modelo Giesekus, utilizando a formulação logaritmo do tensor conformação. Comparação entre as soluções obtidas com as malhas M1, M2 e M3 em relação à solução obtida com a malha M4. a)w, b)τzz, c)τyz, d)τyy.
B (Giesekus com α = 0), o que nos encoraja a resolver outros problemas com altos números de Wi, inclusive com a presença da superfície livre.