Membrana Retangular sob cisalhamento

i i i i

i i i i

m m m m

x

X Y Y X

V V

ξ η ξ ξ

⎛ ∂Φ ⎞⎛ ∂Φ ⎞ ⎛ ∂Φ− ⎞⎛ ∂Φ ⎞

⎜ ∂ ⎟⎜ ∂ ⎟ ⎜ ∂ ⎟⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= (7.22)

Sendo assim, os demais desenvolvimentos seguem o padrão da formulação posicional já bem documentado nos capítulos 4, 5 e 6 deste trabalho. Lembra-se apenas que na configuração atual o vetor correspondente a v não é necessariamente ortogonal à superfície média.

Comentários mais apronfundados a respeito podem ser encontrados em CODA & PACCOLA (2007).

Figura 95 - Esquema da membrana analisada.

Quanto às condições de contorno, ambas as bordas superior e inferior são completamente engastadas, sendo livre as bordas laterais.

Tabela 5 - Dimensões da membrana e propriedades do material.

É importante ressaltar que o surgimento das rugas só acontece se houver imperfeições ao longo da membrana. Em WONG & PELLEGRINO (2006b) foi feita uma análise de auto-vetores para o caso da mesma membrana pré-tensionada com deslocamento na direção “y” de 0.5 mm, o que não corresponde de fato à realidade do experimento. Fez-se então uma combinação linear desses auto-vetores obtidos na análise para que essa forma resultante fosse de fato similar à imperfeição da membrana. No nosso caso, por simplicidade, optamos por empregar inicialmente um defeito pontual na direção ortogonal ao plano da membrana na ordem de 0.025 da sua espessura.

O objetivo desta análise como dito antes, é aplicar na membrana deslocamento cisalhante δ_x=3.0 mm, porém não foi possível por conta da perda de convergência do método iterativo

durante o processo de passos de deslocamento. A fim de melhorar, ou melhor, avançar quanto à magnitude de deslocamento aplicado, fez-se a redução contínua do incremento do deslocamento (dδ). Porém, notou-se que após δ ≅0.066mm a análise continuou apresentando problemas de convergência para dois diferentes dδ’s. Na Figura 96, mostra-se um gráfico de menor tensão principal em um nó da região central da membrana versus deslocamento da borda superior para três incrementos dδ diferentes.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

δ=0.003 mm δ=0.0006 δ=0.0003 mm

mm

−σ 3

Displacement (mm) d d d

(N/mm2 )

Figura 96 - Tensão principal 3 versus Deslocamento.

De acordo com a Figura 96 é fácil notar que para dδ=0.0006 mm a análise continua apesar dos

“pulos” de tensão durante o aumento do deslocamento. Portanto, é interessante se investigar a análise para dδ=0.0003mm e dδ=0.003 mm. Um gráfico mais detalhado, na Figura 97, é mostrado para dδ=0.0003mm e dδ=0.003 mm.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.00

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Displacement (mm)

−σ 3(N/mm2 )

δ=0.0003 δ=0.003 mm

mm d

d

Figura 97 - Gráfico detalhado para dδ=0.0003mm e dδ=0.003 mm.

Na Figura 98 são mostradas situações deformadas da membranda antes e depois da perda de estabilidade, isto é, quando novas rugas surgem de forma súbita.

Figura 98 - Comportamento instável da membrana em cisalhamento.

A diferença de deslocamento entre as duas situações deformadas da Figura 98 é apenas 0.003 mm. Na Figura 99 a configuração “final” para dδ=0.110 mm é mostrada.

Figura 99 - Situação deformada para δ=0.110 mm.

Até este ponto foi visto que 10 rugas se formaram apenas. De acordo com WONG &

PELLEGRINO (2006b) formam-se aproximadamente no final da análise 19 rugas. Diante desses resultados não completamente satisfatórios dentro desse ponto de vista, fez-se necessária a mudança de estratégia para se obter os resultados mais próximos dos obtidos em WONG & PELLEGRINO (2006b). Além disso, não ficou claro nos artigos de WONG &

PELLEGRINO (2006a, b e c) o quanto a membrana foi pré-tensionada para a obtenção das 19 rugas tanto no experimento quando na análise experimental.

Diante disso, foi feita, usando-se a formulação de casca posicional, uma análise de sensibilidade à pré-tensão de forma que a conclusão é que quando mais se pré-tensiona a membrana na diração de “y”, maior é o número de rugas no final da análise, conforme mostra a Tabela 6.

Tabela 6 – Sensibilidade do número de rugas em relação à pré-tensão.

Outra estratégia além de se aplicar a pré-tensão de 1.0 mm foi a imposição de deslocamentos em todos os nós da estrutura de forma gradual na direção do deslocamento da borda superior, ou seja, impor deslocamentos proporcionais em todos os nós. Dessa forma “amarra-se” a solução de forma a obter resultados mais coerentes, reduzindo-se o número de possíveis bifurcações e “snap-backs”. Resultados dessa técnica são mostrados na Figura 100 para uma malha com aproximadamente 34000 graus de liberdade.

Figura 100 - Deformada da membrana com deslocamentos prescritos proporcionais.

Nota-se que na Figura 100 que 20 rugas surgem ao longo da membrana, o que é um resultado satisfatório para este problema. É importante comentar que até a obtenção deste resultados, outras alternativas sem sucesso foram empregadas, tais como impor forças ao invés de deslocamentos, restringir as bordas livres no que tange a rotação³ entre outras.

Diante dos resultados mostrados abordando-se este problema com a análise estática, recomenda-se para estudos futuros o emprego de técnicas mais refinadas de obtenção de solução de resposta não linear como, por exemplo, a técnica do controle de comprimento de arco (CRISFIELD, 1991), controle de deslocamento (BATOZ & DHATT, 1979) e controle de trabalho (YANG & McGUIRE, 1985).

Entretando, aplica-se uma abordagem totalmente diferente, ou seja, com a aplicação do carregamento dinâmico tal como descrito a seguir.

Utiliza-se agora uma malha, para o caso dinâmico, com um total de 52297 graus de liberdade, incluindo-se também o peso próprio da membrana, bem como as barras de aço de 16mmx25mm nas extremidades engastadas da membrana, a fim de simular com mais

3 As bordas laterais livres são muito problemáticas, pois se movem bastante ao longo dos passos de carga, podendo influir na divergência do processo iterativo. Em WONG & PELLEGRINO (2006b) restringiu-se as rotações dessas bordas com a finalidade melhorar a convergência.

fidelidade o experimento. O passo de tempo utilizado é de Δ =t 0.001s, com coeficiente de amortecimento de c_m =0.03 s⁻¹.

Aplica-se inicialmente a pré-tensionamento de 0.01 mm para simular a tração inicial necessária.

A força aplicada uniformemente distribuída de 190 N/mm nas extremidades na direção horizontal se inicia a partir do centésimo passo de tempo, indo até o passo de tempo 300.

Mostra-se na seqüência de figuras a seguir o surgimento das rugas devido à força distribuída horizontal.

Figura 101 – Deslocamento transversal no passo de tempo 100.

Figura 102 – Deslocamento transversal no passo de tempo 150, deslocamento horizonatal δ =0.07 mm^.

Figura 103 - Deslocamento transversal no passo de tempo 180, deslocamento horizonatal δ =0.27 mm.

Figura 104 - Deslocamento transversal no passo de tempo 200, deslocamento horizonatal δ =0.54 mm^.

Figura 105 - Deslocamento transversal no passo de tempo 220, deslocamento horizonatal δ =1.50 mm^.

Figura 106 - Deslocamento transversal no passo de tempo 240, deslocamento horizonatal δ =2.00 mm.

Figura 107 - Deslocamento transversal no passo de tempo 250, deslocamento horizonatal δ =3.09 mm^. Os resultados apresentados revelam que rugas muito pequenas surgem no início da aplicação da força cisalhante, conforme Figura 104. Esse fenômeno não é relatado em WONG &

PELLEGRINO (2006a, b e c), porém foi observado in loco pelo orientador deste trabralho ao reproduzir este experimento durante o seu período de permanência no CUED.

Para rugas maiores, os resultados numéricos resultam em 18 rugas para um deslocamento transversal de δ =1.50 mm, ou seja, uma a menos do que o experimento (ver Figura 105).

Acredita-se que o crescente refinamento da malha, bem como melhor calibração dos parâmetros de amortecimento e intervalo de tempo, contornem essas distorções de resultado.