Mestrado:derivadas 029 - Exemplos de exerc´ıcios criados

3.2 MegUA

3.2.2 Exemplos de exerc´ıcios criados

3.2.2.2 Mestrado:derivadas 029

A escolha deste exerc´ıcio, deve-se ao facto de explorar o comando plot(f(x) ,xmin,xmax). Este exerc´ıcio pretende relacionar o gr´afico da segunda derivada com a fun¸c˜ao. O enunciado do exerc´ıcio pode-se ver na tabela 3.3.

E a escolha m´ultipla na tabela 3.4.

Os valores e os gráficos são parametrizados, ou seja, ocorrem por substi- tui¸cão automática e aleatória de parametros, por valores numéricos ou fun¸cões,

Considere a fun¸c~ao f cujo gr´afico se encontra parcialmente representado na figura. <p>

f ´e uma fun¸c~ao que admite segunda derivada em R. </td> <td> <center> fig funcao </center></td> </tr> </table>

Qual dos seguintes gr´aficos pode representar a fun¸c~ao g(x) = −f00(x)?

Tabela 3.3: Enunciado do exerc´ıcio Mestrado:Derivadas 029

<choice> <center> fig certa </center> </choice> <choice> <center> fig errada1 </center> </choice> <choice> <center> fig errada2 </center> </choice> <choice> <center> fig errada3 </center> </choice> </multiplechoice>

escolhidos a partir de um conjunto de valores pr´e-definidos.

Neste caso, foi feita a gera¸cão de uma lista, com os casos pretendidos, de seguida incorporou-se na parte da programa¸cão, através do comando s.lf 1 = [sin(x), s.a0 ∗ x3− s.b0, s.a0 ∗ x2 _{− s.b0], o programa faz a sele¸c˜}_{ao aleat´}_oria

dum elemento dessa lista e gera o exerc´ıcio.

Com o aux´ılio dos comandos integral(s.f1,x) e derivative(s.f1,x), escolheu-se as op¸cões para gerar os gráficos da escolha múltipla, como se pode observar na tabela 3.5, procedeu-se de igual forma para os restantes gráficos. Para as respostas erradas, e tendo em conta os erros comuns cometidos pelos alunos, optou-se pelo gráfico da primeira, segunda e simétrico da primeira derivada.

s.derf11 = derivative(s.f11,x)

p4 = plot([s.derf11], x,s.xmin,s.xmax,color=’blue’, axes labels=[’x’,’y’],)

legend derf11 = text( r’y = %s’ % latex(s.derf11), (s.xmax , s.derf11(x= s.xmax ) ))

fig completa4 = p4

s.fig errada2=s.sage graphic(fig completa4, "fig4", dimx=6, dimy=6)

Tabela 3.5: Resposta errada do exerc´ıcio Mestrado:Derivadas 029

Estes dois exemplos, são uma pequena demonstra¸cão das potencialida- des deste programa, com um só exerc´ıcio criado pelo professor, o aluno tem acesso a diferentes exerc´ıcios sobre o mesmo tema, podendo assim consolidar os conteúdos. O professor não tem a necessidade de reproduzir repetidamente exerc´ıcios do mesmo tipo e o aluno pode trabalhar autonomamente e ter acesso detalhado às resolu¸cões para esclarecimento de dúvidas.

Conclus˜oes

O objetivo deste trabalho é a cria¸cão de recursos digitais de apoio ao ensino das derivadas, através da constru¸cão de exerc´ıcios parametrizados, para serem partilhados, principalmente entre alunos do ensino secundário e docentes com interesse no assunto.

A evolu¸cão das novas tecnologias e a sua aplicabilidade ao ensino facilita a comunica¸cão no meio educativo e contribui favoravelmente para a evolu¸cão e diversifica¸cão de método de ensino, o uso de recursos digitais no processo ensino aprendizagem é uma realidade na sala de aula.

O MegUA é uma ferramenta poderosa, permite ao professor elaborar com rapidez e eficácia exerc´ıcios diversificados. O aluno tem oportunidade de resol- ver exerc´ıcios diversificados e ao aceder à sua resolu¸cão detalhada é estimulada a sua autonomia.

A resolu¸cão detalhada dos exerc´ıcios, é feita tendo em conta o aluno, da´ı a experiência do professor ser um fator importante, pois prevê atempadamente as principais dificuldades do aluno e as dúvidas habituais.

Na resolu¸c˜ao, todos os passos s˜ao detalhadamente apresentados, sempre 61

que achar pertinente estão contidas na resolu¸cão notas teóricas, tendo em conta o cariz didático e a evolu¸cão do aluno.

O professor ao usar a sua experiência letiva, pode selecionar os exerc´ıcios de forma prof´ıcua para construir a sua própria base de dados de exerc´ıcios. No futuro, pode utilizá-los ou reutilizá-los, na constru¸cão de material de apoio, tanto em exerc´ıcios de treino, como de avalia¸cão. O programa ao gerar diferentes questões sobre o mesmo conteúdo, facilita o trabalho do professor, ficando este com tempo para se dedicar a outras tarefas. O MEGUA é assim, um complemento útil ao estudo autónomo do aluno e uma ferramenta importante do professor.

Os exerc´ıcios criados neste trabalho estão dispon´ıveis no SIACUA [25], plataforma aberta a qualquer utilizador, na seçcão do ensino secundário, sob o tema derivadas. Os alunos ao acederem à plataforma, podem estudar autonomamente e testar os resultados da sua aprendizagem através da resolu¸cão de questões de escolha múltipla, sobre o estudo de derivadas.

Esta disserta¸c˜ao foi escrita em linguagem tipogr´afica LA_{TEX, usou-se o soft-}

ware Geogebra, para tra¸car gráficos, que posteriormente foram exportados para LA_{TEX. Na cria¸cão dos exerc´ıcios utilizou-se programa¸cão em Python.}

No CD inclui-se a concretiza¸c˜ao completa (enunciado e resolu¸c˜ao) de cada exerc´ıcio criado.

Não há evolu¸cão sem desafio. Este projeto foi um desafio que encarei como um enriquecimento pessoal e profissional. Ao aceitá-lo, sa´ı da minha zona de conforto, deparei-me com situa¸cões novas e superei obstáculos que cheguei a considerar insuperáveis. Desde do in´ıcio, foi uma experiência nova e gratificante, aprendi a escrever em LA_{TEX, a fazer programa¸cão básica em}

A cria¸cão de exerc´ıcios deu-me imenso prazer, embora não domine programa¸cão, com apenas conhecimentos básicos, consegui fazer exerc´ıcios in- teressantes. Contudo o processo ainda é embrionário, e a diversifica¸cão de exerc´ıcios pode e deve ser explorada.

Agora, é um prazer ver os exerc´ıcios criados, numa plataforma ao dispor de todos, para serem usados para treino, tanto pelos meus alunos, como por outros que estão à distância de um click.

Bibliografia

[1] Apostol, Tom M., Análisis Matemático, 2aEdi¸cão, Editora Reverté, 2006. [2] Apostol, Tom M., Cálculo, Volume I, Editora Reverté, 1988.

[3] Bivar, A.; Grosso, C.; Loura, L.; Oliveira, F. e Timóteo, M.C., Cadernos de Apoio, Matemática A 11.o Ano e 12.o Ano, Ministério da Educa¸cão, 2013.

[4] Boyer, Carl, História da Matemática, Editora Edgard Blücher, 1996. [5] Cruz, Pedro; Seabra, Dina e Oliveira, Paula Crie o seu arquivo de

exerc´ıcios resolvidos parametrizados, Gazeta no 170, p´ag. 26, 01/07/2013, 2013.

[6] Damião, H. e Festa, I., Programa e Metas Curriculares , Matemática A, 12.o Ano, Ministério da Educa¸cão, 2013.

[7] Eves, Howard, Introdu¸cão à história da matemática, Editora da Unicamp, 2011.

[8] Ferreira, J. Campos, Introdu¸cão à análise matemática, Funda¸cão Calouste Gulbenkian, 1999.

[9] Martins, João Pavão, Programa¸cão em Python: Introdu¸cão à Pro- grama¸cão Utilizando Múltiplos Paradigmas, Universidade Técnica de Lis- boa.

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[11] Megua, Mathematics Exercise Generator, Universidade de Aveiro (Me- gua), http://cms.ua.pt/megua/.

[12] Mill´an, Eva; Descal¸co, Lu´ıs; Castillo, Gladys; Oliveira, Paula e Diogo, Sandra; Using Bayesian networks to improve knowledge assessment, Com- puters and Education, Volume 60, Issue 1, January 2013, Pages 436-447. [13] Mill´an, Eva, Thesis: Bayesian system for student modeling. Al Comum.

13(4): 277-278, 2000.

[14] Nápoles, Suzana Metello, O que é um Ponto de Inflexão?, Gazeta de Matemática no 140, janeiro 2011.

[15] Neves, M.A.F; Pereira, A. e Silva J.N., Matem´atica A - 11.o Ano e 12.o Ano, Volume 2, Porto Editora, 2011.

[16] N ÓNIO, Estratégias para a açcão: As TIC na educa¸cão, Lisboa, Mi- nistério da Educa¸cão, 2002.

[17] Ostrowski, A. Li¸cões de Cálculo Diferencial e Integral, Volume 1, Funda¸cão Calouste Gulbenkian, 1967.

[18] Pimenta, P., Y 11- Matem´atica A, Volume 2, Texto Editores, 2011. [19] Pimenta, P., Y 12- Matem´atica A, Volume 2, Texto Editores, 2012.

[20] Piskounov, N. C´alculo Diferencial e Integral, Volume 1, Edi¸c˜oes Lopes da Silva, 2000.

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[22] Pmate, http://pmate4.ua.pt/hexeris/.

[23] Python, http://phylos.net/computacao/sage/. [24] Sage notebook, http://www.sagemath.org.

[25] Sistema Interativo de Aprendizagem, Universidade de Aveiro (Siacua), http://siacua.web.ua.pt/.

[26] Silva, J. C., Fonseca, M. G., Martins, A. A., Fonseca, C.M. C. Lopes, I. M. C., Programa de Matemática A, 11.o e 12.o ano , Ministério da Educa¸cão, Departamento do Ensino Secundário, Lisboa 2002.

[27] Struik, D., História Concisa das Matemáticas. Gradiva, 1997. [28] Stwart, James Cálculo, Volume I, Pioneira Thomson Learning, 2006. [29] Swokowski, Earl W. Cálculo, Volume 1, McGraw-Hill, 1983.

[30] Viegas, Cristina e outros, XeqMat 12 - Matem´atica A 12.o, volume 2, Texto, 2012.

Anexos

Listagem dos exerc´ıcios

criados

E26A03 Derivadas 009

meg.save( r’’’

%summary derivadas de fun¸c~oes: equa¸c~ao reduzida da reta tangente Palavras chave: fun¸c~oes, derivadas, regras deriva¸c~ao

SIACUAstart

level=4; slip= 0.2; guess=0.25; discr = 0.3 concepts = [(4451, 0.5),(4452, 0.5)]

SIACUAend

%problem equa¸c~ao reduzida da reta tangente

Sejam $f$ uma fun¸c~ao real de vari´avel real definida em $\mathbb{R}$ por $$f(x)=f0$$ ent~ao a equa¸c~ao reduzida da reta tangente

ao gr´afico de $f$ no ponto de abcissa e0 ´e: %answer

Uma equa¸c~ao da reta tangente ao gr´afico de $f$ no ponto de abcissa $e0$, ´e

$$ y=mx+b$$

sendo $m =f’(e0)$ o declive da reta e $b$ a ordenada na origem. Sendo $$f(x)=f0$$, recorrendo `as regras da deriva¸c~ao:

$$f’(x)= derf0$$

Assim, a reta tangente ao gr´afico da fun¸c~ao $f$, no ponto de abcissa $e0$, tem declive:

$$m=f’(e0)=valorderf0$$

A sua equa¸c~ao reduzida ´e, portanto, da forma, $y=valorderf0 x + b$.

O ponto de tang^encia ´e $(e0, f(e0))$ , ou seja $(e0, valorf0)$. Vem ent~ao:

\begin{eqnarray*}

valorf0&=& valorderf0 \times sgnd_e0 e0 sgne_e0 + b\\ b &=& valorf0 sgn_k0 modk0 \\

\end{eqnarray*}

Portanto, a equa¸c~ao reduzida da reta ´e $y = rc1$, como se pode observar na figura abaixo:

<center> fig1 </center> class E26A03_Derivadas_009(Exercise): def make_random(s): x=var(’x’) #coeficientes da fun¸c~ao s.a0 = ur.iunif_nonset(-9, 9, [0]) s.b0 = ur.iunif(-9, 9) s.c0 = ur.iunif(-9, 9) s.d0 = ur.iunif_nonset(-9, 9, [0]) s.e0 = ur.iunif_nonset(-2, 2, [-1]) def solve(s): s.f0=s.a0*x^3+ s.b0*x^2+s.c0*x+s.d0 #fun¸c~ao s.derf0=derivative(s.f0,x) #ordenada do ponto s.valorf0=s.f0(x=s.e0) #declive da reta tangente

s.valorderf0=s.derf0(x=s.e0)

#calculos auxiliares para determinar b (y=mx+b)

s.k0=s.valorderf0*s.e0 # C´alculo de m*x s.k1=s.valorf0-s.k0 # C´alculo de b s.modk0=abs(s.k0)

#respostas s.rc1=s.valorderf0*x+s.k1 s.re2=-s.valorderf0*x-s.k1 s.re3=s.e0 s.re4=s.valorderf0*x s.re5=-s.valorderf0*x # C´alculo e Teste dos Sinais

if s.k0>0: s.sgn_k0=’-’ else: s.sgn_k0=’+’ if s.e0<0: s.sgnd_e0=’(’ s.sgne_e0=’)’ else: s.sgnd_e0=’’ s.sgne_e0=’’

#g´afico da fun¸c~ao e reta tangente

#s.inf1 = -5 #limite inferior do dom´ınio #s.sup1 = 5 #limite superior do dom´ınio s.inf1 = -s.e0-1 #limite inferior do dom´ınio s.sup1 = s.e0+1#limite superior do dom´ınio g1 = plot(s.f0,x, s.inf1, s.sup1, color=’blue’) g2 = plot(s.rc1,x, s.inf1, s.sup1, color=’red’)

s.fig1 = s.sage_graphic( g1+g2, "fig1", dimx=7, dimy=7) #7cm ’’’)

Enunciado

Sejam f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real definida em R por f (x) = 3 x3− 6 x2− 8 x − 6

então a equa¸cão reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2 é: (A) y = 4 x − 30 (B) y = −4 x + 30 (C) y = 2 (D) y = 4 x (E) y = −4 x Proposta de resolu¸cão

Uma equa¸cão da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2, é y = mx + b

sendo m = f0(2) o declive da reta e b a ordenada na origem. Sendo f (x) = 3 x3− 6 x2− 8 x − 6

, recorrendo `as regras da deriva¸c˜ao:

f0(x) = 9 x2− 12 x − 8

Assim, a reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f , no ponto de abcissa 2, tem declive:

A sua equa¸cão reduzida é, portanto, da forma, y = 4x + b. O ponto de tangência é (2, f (2)) , ou seja (2, −22). Vem então:

−22 = 4 × 2 + b b = −22 − 8 b = −30

Portanto, a equa¸c˜ao reduzida da reta ´e y = 4 x − 30, como se pode observar na figura abaixo:

Figura A.1: Reta tangente a f no ponto x = 2

E26A03 Derivadas 027

meg.save( r’’’

%summary derivadas de fun¸c~oes:monotonia, extremos

Palavras chave: fun¸c~oes, derivadas, monotonia, extremos SIACUAstart

level=5; slip= 0.2; guess=0.25; discr = 0.3 concepts = [(4452, 0.3)(4454, 0.7)]

%problem monotonia e extremos relativos

Seja a fun¸c~ao $f$ definida em $\mathbb{R} \setminus \{d0m\}$ por $f(x)=\frac{u0}{v0}$.

Podemos afirmar que: %answer

$f(x)$ ´e crescente em $ [ k1,d0m [$ e em $]d0m , + \infty[$ , decrescente em ${\left ]- \infty, k1\right]}$

e tem um m´ınimo para $x=k1$. </thisone>

$f(x)$ ´e decrescente em em $ [ k1,d0m [$ e em $]d0m , + \infty[$, crescente em ${\left ]- \infty, k1\right]}$

e tem um m´aximo para $x=k1$. </showone>

</p></choice> <choice><p> <showone id1>

$f(x)$ ´e decrescente em $ [ k1,d0m [$ e em $]d0m , + \infty[$ , crescente em ${\left ]- \infty, k1\right]}$ e tem um m´aximo para $x=k1$.

<thisone Caso diferente de k1<0 - (isto é comentário)> $f(x)$ é crescente em em $ [ k1,d0m [$ e em $]d0m ,

+ \infty[$, decrescente em ${\left ]- \infty, k1\right]}$ e tem um m´ınimo para $x=k1$.

</showone> </p></choice>

<choice><p>$f(x)$ ´e decrescente em $\mathbb{R} \setminus \{d0m\}$ </p></choice>

<choice><p>$f(x)$ ´e crescente em $\mathbb{R} \setminus \{d0m\}$ </p></choice>

</multiplechoice> \begin{eqnarray*}

f’(x)&=& {\left[\frac{u0}{v0} \right]}’\\ &=& \frac {(u0)’ \cdot (v0) - u0 \cdot (v0)’}{(v0)^2}\\

&=& \frac {deru0 \cdot (v0) - (u0) \cdot (derv0)}{(v0)^2}\\

&=& \frac {u0_0}{(v0)^2} \end{eqnarray*}

Para $x\in \mathbb{R} \setminus \{d0m\}$, tem-se: \begin{eqnarray*}

f’(x)=0&\Leftrightarrow& \frac {u0_0}{(v0)^2} = 0\\ &\Leftrightarrow& u0_0 = 0\\

&\Leftrightarrow& e^{w0} {\left(k0 \right)} = 0\\ &\Leftrightarrow& k0 = 0\\

\end{eqnarray*} <style>

table,td,th {

border:0px solid black; border-collapse:collapse; } td { text-align:left; } </style> <table width="900"> <tr> <td>

O gr´afico de $f’(x)$ ajuda a completar facilmente o quadro de sinais.

</td> <td> <center> fig_derfuncao </center></td> </tr> </table>

Quadro de sinais da derivada: <p>

<thisone Caso (s.extrem0 -s.dom) < 0 - (isto ´e coment´ario)> \begin{array}{|c|c|c|}

\hline

x & - \infty & k1 & & d0m & + \infty \\ \hline

f’(x) & sinal1 & 0 & sinal2 & & sinal2 \\ \hline

x & monot1 & f{\left(k1\right)}= valorf0 & monot2 & n.d. & monot2 \\

\hline \end{array} </thisone>

\begin{array}{|c|c|c|} \hline

x & - \infty & d0m & & k1 & + \infty \\ \hline

f’(x) & sinal1 & 0 & sinal2 & & sinal2 \\ \hline

x & monot1 & f{\left(k1\right)}= valorf0 & monot2 & n.d. & monot2 \\

\hline </thisone> </showone>

Conclus~ao: <showone id1>

<thisone Caso (s.extrem0 -s.d0m) < 0 - (isto é comentário)> $\bullet$ $f(x)$ é crescente em $ [ k1,d0m [$ e em $]d0m ,

+ \infty[$

$\bullet$ $f(x)$ ´e decrescente em ${\left ]- \infty, k1\right]}$ $\bullet$ $f(x)$ tem um m´ınimo para $x=k1$, sendo esse m´ınimo $f{\left(k1\right)}=valorf0$

</thisone>

$\bullet$ $f(x)$ ´e decrescente em em $ [ k1,d0m [$ e em $]d0m , + \infty[$

$\bullet$ $f(x)$ é crescente em ${\left ]- \infty, k1\right]}$ $\bullet$ $f(x)$ tem um máximo para $x=k1$, sendo esse máximo $f{\left(k1\right)}=valorf0$ </thisone> </showone> <style> table,td,th {

border:0px solid black; border-collapse:collapse; }

td {

text-align:left; } </style> <table width="900"> <tr> <td>

O esbo¸co do gráfico da fun¸c~ao da fun¸c~ao $f(x)$ é (note-se que $x= d0m$ é uma assimptota): </td> <td> <center> fig_funcao </center></td> </tr> </table> class E26A03_Derivadas_027(Exercise): def make_random(s): x=var(’x’) s.a0 = ur.iunif_nonset(-5, 5,[0]) s.b0 = ur.iunif_nonset(-5, 5,[0]) s.c0 = ur.iunif(-9, 9)

s.aux1 = ur.random_element( [ 1, 2, 3] ) #vari´avel

auxiliar para definir o rectangulo de visualiza¸c~ao da figura def solve(s):

s.w0=s.a0*x s.u0=exp(s.w0) s.v0=s.b0*x+s.c0

s.d0m = -s.c0/s.b0 s.f0=s.u0/s.v0

s.derf0=derivative(s.f0,x) #derivada da fun¸c~ao s.deru0=derivative(s.u0,x) s.derv0=derivative(s.v0,x) s.u0_0=s.deru0*s.v0-s.u0*s.derv0 s.k0=s.a0*(s.b0*x+s.c0)-s.b0 s.k1=(s.b0-s.a0*s.c0)/(s.a0*s.b0) #zero da derivada s.valorf0=s.f0(x=s.k1) # valor da fun¸c~ao em k1 s.extrem0=s.derf0(x=(s.valorf0-1)) if s.derf0(x=(s.valorf0-1)) < 0: s.sinal1 = ’+’ s.sinal2 = ’-’ s.monot1 = r’\nearrow’ s.monot2 = r’\searrow’ else: s.sinal1 = ’-’ s.sinal2 = ’+’ s.monot1 = r’\searrow’ s.monot2 = r’\nearrow’ if (s.extrem0 -s.d0m) > 0: s.id1=0 else: s.id1=1

if s.k1 > 0: s.xmin= s.k1-2*s.aux1 s.xmax= s.k1+s.aux1 else: s.xmin= s.k1-s.aux1 s.xmax= s.k1+2*s.aux1

p1 = plot([s.f0], x,s.xmin,s.xmax, ymin=-50, ymax=50, color=’blue’,axes_labels=[’$x$’,’$y$’])

legend_f0 = text( r’$y=%s$’ %latex(s.f0), (s.xmax , s.f0(x= s.xmax )+10 ))

fig_funcao_completa = p1 + legend_f0

s.fig_funcao=s.sage_graphic(fig_funcao_completa, "fig2", dimx=10, dimy=10)

p2 = plot([s.derf0], x,s.xmin,s.xmax, ymin=-50, ymax=50, color=’blue’,axes_labels=[’$x$’,’$y$’]) legend_derf0 = text( r’$y=%s$’ %latex(s.derf0), (s.xmax , s.derf0(x= s.xmax )+10 ))

fig_funcao_completa = p2 + legend_derf0

s.fig_derfuncao=s.sage_graphic(fig_funcao_completa, "fig1", dimx=10, dimy=10)

’’’)

Enunciado

Em rela¸cão à fun¸cão f definida em R \ {53} por f (x) = ex 3 x−5

Podemos afirmar que:

(A) f (x) ´e crescente em [8₃,5₃[ e em ]5₃, +∞[ , decrescente em−∞,8₃ e tem um m´ınimo para x = 8₃.

(B) f (x) é decrescente em [8₃,5₃[ e em ]5₃, +∞[ , crescente em−∞,8 3 e tem um máximo para x = 8₃. (C) f (x) é decrescente em R \ {5₃} (D) f (x) é crescente em R \ {5₃} Proposta de resolu¸cão f0(x) = ex 3 x − 5 0 = (e x₎0_{· (3 x − 5) − e}x_{· (3 x − 5)}0 (3 x − 5)2 = e x_{· (3 x − 5) − (e}x_{) · (3)} (3 x − 5)2 = (3 x − 5)e x_{− 3 e}x (3 x − 5)2 Para x ∈ R \ {5₃}, tem-se: f0(x) = 0 ⇔ (3 x − 5)e x_{− 3 e}x (3 x − 5)2 = 0 ⇔ (3 x − 5)ex− 3 ex = 0 ⇔ ex(3 x − 8) = 0 ⇔ 3 x − 8 = 0 ⇔ x = 8 3

O gr´afico de f0(x), ver figura A.2, ajuda a completar facilmente o quadro de sinais.

Figura A.2: Gr´adico de f x −∞ 8 3 5 3 +∞ f0(x) − 0 + + + f (x) & f 8₃ = 1 3e 8 3 % n.d. %

Tabela A.1: Quadro de sinais

n.d.= n˜ao definida Conclus˜ao:

• f (x) ´e crescente em [8₃,5₃[ e em ]5₃, +∞[

• f (x) ´e decrescente em−∞,8₃

• f (x) tem um m´ınimo para x = 8₃, sendo esse m´ınimo f 8₃ = 1₃e83

Figura A.3: Gr´adico de f

E26A03 Derivadas 029

meg.save( r’’’

%summary derivadas de fun¸c~oes:rela¸c~ao entre o gr´afico da 2a derivada e a fun¸c~ao

Palavras chave: fun¸c~oes, derivadas, gr´afico SIACUAstart

level=5; slip= 0.2; guess=0.25; discr = 0.3 concepts = [(4453, 0.5), (4454, 0.5)]

SIACUAend

%problem Relacionar a fun¸c~ao com a derivada de ordem 2 <style>

table,td,th {

border:0px solid black; border-collapse:collapse;

} td { text-align:left; } </style> <table width="900"> <tr> <td>

Considere a fun¸c~ao $f$ cujo gr´afico se encontra parcialmente representado na figura. <p>

$f$ ´e uma fun¸c~ao que admite segunda derivada em $\mathbb{R}$. </td> <td> <center> fig_funcao </center></td> </tr> </table>

Qual dos seguintes gr´aficos pode representar a fun¸c~ao $g(x)=-f’’(x)$?

%answer

<choice> <center> fig_certa </center> </choice> <choice> <center> fig_errada1 </center> </choice> <choice> <center> fig_errada2 </center> </choice> <choice> <center> fig_errada3 </center> </choice>

</multiplechoice>

A segunda derivada d´a-nos informa¸c~ao sobre o sentido das concavidades do gr´a?co de uma fun¸c~ao.<p>

\bf{Pelo teste da segunda derivada:}

Seja $f$ uma fun¸c~ao duas vezes deriv´avel num intervalo aberto $I$,

$(i)$ Se $f" > 0$ para todo $x \in I$, ent~ao o gráfico de $f(x)$ tem a concavidade voltada para cima em $I$. $(ii)$ Se $f"< 0$ para todo $x \in I$, ent~ao o gráfico de $f(x)$ tem a concavidade voltada para baixo em $I$. O ponto de coordenadas $(a,\;f(a))$ é um ponto de

inflex~ao do gr´afico da fun¸c~ao $f$ se o sentido da concavidade do gr´afico muda nesse ponto.

Assim por observa¸c~ao do gráfico de $f$ conclui-se que o poss´ıvel gráfico de $f’’(x)$ só poderá ser:

<center> fig_errada1 </center>

Fazendo uma simetria em rela¸c~ao a $Ox$, obtemos o gr´afico $g(x)$: <center> fig_certa </center> class E26A03_Derivadas_029(Exercise): def make_random(s): x=var(’x’) s.p0 = ur.random_element( [ -3,-2,-1, 0, 1, 2, 3 ] )

s.a0 = ur.iunif_nonset(-3, 3,[0]) s.b0 = ur.iunif(1,3)

s.aux1 = ur.random_element( [ 1, 2, 3,4] ) def solve(s):

s.lf1=[sin(x), s.a0*x^3- s.b0, s.a0*x^2-s.b0] s.id1= ZZ.random_element(len(s.lf1 )) s.f11 = s.lf1[s.id1] s.primitivaf11 = integral(s.f11,x) s.derf11 = derivative(s.f11,x) s.fp0=s.f11(x= s.p0) s.der2f11 = derivative(s.derf11,x) print("id1=", s.id1) if s.p0 > 0: s.xmin= s.p0-2*s.aux1 s.xmax= s.p0+s.aux1 else: s.xmin= s.p0-s.aux1 s.xmax= s.p0+2*s.aux1 p1 = plot([s.f11], x,s.xmin,s.xmax, color=’blue’,axes_labels=[’$x$’,’$y$’]) legend_f11 = text( r’$y=%s$’

%latex(s.f11), (s.xmax , s.f11(x= s.xmax ) )) fig_funcao_completa = p1

s.fig_funcao=s.sage_graphic(fig_funcao_completa, "fig1", dimx=7, dimy=7)

#s.tanp0= s.ordenadap0*x + (s.fp0-s.ordenadap0*s.p0)

#p1 = plot([s.f11,s.tanp0], x,s.xmin,s.xmax, color=’blue’) #grafico sim´etrico da 2a derivada: -der2f11 (resposta correta)

s.der_certa =derivative(-s.derf11,x)

p2 = plot([s.der_certa], x,s.xmin,s.xmax,color=’blue’, axes_labels=[’$x$’,’$y$’],)

legend_der_certa = text( r’$y=%s$’ % latex(s.der_certa), (s.xmax , s.der_certa(x= s.xmax ) ))

fig_completa2 = p2

s.fig_certa=s.sage_graphic(fig_completa2, "fig2", dimx=6, dimy=6)

#grafico da primeira resposta errada: der2f11 s.der_errada1 = derivative(s.derf11,x) p3 = plot([s.der_errada1], x,s.xmin,s.xmax, color=’blue’,axes_labels=[’$x$’,’$y$’]) legend_der_errada1 = text( r’$y=%s$’

% latex(s.der_errada1), (s.xmax , s.der_errada1(x= s.xmax ) )) fig_completa3 = p3

s.fig_errada1=s.sage_graphic(fig_completa3, "fig3", dimx=6, dimy=6)

#grafico da segunda resposta errada: -derivadaf11 s.derf11 = derivative(s.f11,x)

p4 = plot([s.derf11], x,s.xmin,s.xmax, color=’blue’,axes_labels=[’$x$’,’$y$’],) legend_derf11 = text( r’$y=%s$’

fig_completa4 = p4

s.fig_errada2=s.sage_graphic(fig_completa4, "fig4", dimx=6, dimy=6)

#grafico da terceira resposta errada: derivadaf11 s.derf11 = derivative(-s.f11,x)

p5 = plot([s.derf11], x,s.xmin,s.xmax, color=’blue’,axes_labels=[’$x$’,’$y$’],) legend_derf11 = text( r’$y=%s$’

% latex(s.derf11), (s.xmax , s.derf11(x= s.xmax ) )) fig_completa5 = p5

s.fig_errada3=s.sage_graphic(fig_completa5, "fig5", dimx=6, dimy=6)

’’’)

Enunciado

Considere a fun¸c˜ao f cujo gr´afico se encontra parcialmente representado na figura.

Seja f uma fun¸c˜ao que admite segunda derivada em R.

Figura A.4: Gr´adico de f

No documento Recursos digitais de apoio ao ensino: derivadas (páginas 74-113)