Metapropriedades

15. p→r (MP 13,14)

16. 2(p→r) (Necessitação 15)

2.4 Metapropriedades

Para Angelos (2016), uma prova é um conjunto de regras aplicado a hipóteses com o objetivo de chegar a conclusão de que uma afirmação ou um fato seja verdadeiro. O desenvolvimento da prova de correção e completude possui como objetivo mostrar que se é possível derivar algo, então o fato é verdadeiro e se algo é verdadeiro, então possui uma prova.

Definição 13 (Correção). Um sistema é dito correto se caso a fórmula ϕ seja derivável em um conjunto de fórmulas Γ, então ϕ é consequência lógica de Γ, simbolicamente:

Γ`ϕ⇒Γϕ

Teorema 1 (Corretude da lógica modal). O sistema de Hilbert é correto para a lógica modal.

Prova: A prova do teorema da corretude possui quatro casos, nos quais consiste em demonstrar que os axiomas, a validação de fórmula em um conjunto de fórmulas, Modus Ponens e regra da generalização são satisfeitas no sistema K. O desenvolvimento da prova de correção baseou-se em (COSTA, 1992, p. 58).

Caso 1: α é um axioma da lógica.

Serão provados os dez axiomas de Hilbert e o axioma K, apresentados em 2.3. Adotando ϕ como Ax1, ϕ = p → (q → p), será validada a fórmula para todos os mundos que pertencem a qualquer sistema da lógica modal. Esta prova é realizada por contradição, de tal forma que w∈W.

w2p→(q→p).

Não wp→(q →p) (Definição do 2)

Não (w2pou w(q →p)) (Semântica da→)

2.4 Metapropriedades 24

Não w2pe Não w(q →p) (De Morgan)

Não w2pe Não (w2q ouwp) (Semântica da→) Não w2pe Não w1q e Não wp (De Morgan) Não Não wp e Não Não wq e Não wp (Definição do 2)

wp e wq e Não wp (Dupla negação)

Como em um mundo w ∈W não pode ter p e ¬p, é provado por contradição

que wp→(q →p). 2

Supondo por contradição que existe um mundo de algum sistema que não satisfaça Ax2, tal que

w2(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))

Não w(p→(q →r))→((p→q)→(p→r)) (Definição de 2) Não (w2(p→(q→r))ou w((p→q)→(p→r))) (Semântica de→) Nãow2p→(q→r)¹e Nãow(p→q)→(p→r))² (De Morgan)

Por questão de visualização, a prova será dividida em duas etapas. A primeira etapa é a prova de:

Nãow2p→(q→r)

Não Não wp→(q→r) (Definição de 2)

wp→(q→r) (Dupla negação)

w2p ouwq →r (Semântica de→)

w2p ouw2q ouwr (Semântica de→)

A segunda etapa consiste em:

Não w(p→q)→(p→r)

Não (w2p→q ouwp→r) (Semântica de→)

Não w2p→q e Não wp→r (De Morgan)

Não Não wp→q e Não wp→r (Definição de 2)

2.4 Metapropriedades 25

Como não é possível a satisfação das proposições, sem que tenha também sua forma negada, em um mundo qualquer. É provado por contradição que Ax2 é satisfeito

em um modelo qualquer. 2

Supondo por contradição que qualquer mundo da lógica modal não satisfaça Ax3.

2.4 Metapropriedades 26 (wq ou Não wp) ewp e Não wq (Dupla Negação)

Por contradição, é provado que Ax3 é válido em todos os sistemas da lógica

modal. 2

Sejaϕo axioma Ax4 e se deseja provar por contradição que em nenhum mundo da lógica modal é satisfeito.

w2p→(q →(p∧q))

Não wp→(q →(p∧q) (Definição de 2)

Não (w2pou (w q →(p∧q))) (Semântica de→) Não (w2pou (w 2q ouw(p∧q))) (Semântica de→) Não (w2pou (w 2q ou(wp ewq))) (Semântica da∧) Não w2pe Não w2q e (Não wp ou Não wq) (De Morgan) Não Não wp e Não Não wq e (Nãow pou

Não wq)

(Definição de 2)

wp e wq e(Não wpou Não wq) (Dupla Negação)

Neste caso temos uma contradição, pois não é permitido uma proposição e sua negação no mesmo mundo.

Seja ϕo axioma Ax5 e se deseja prová-lo por contradição.

w2(p∧q)→p

Não w(p∧q)→p (Definição de 2)

Não (w¬(p∧q)ou wp) (Semântica da→)

Não (w¬p∨ ¬q ouwp) (De Morgan)

Não (w¬pou w¬q ouwp) (Definição de ∨) Não (w2pou w2q ouwp) (Definição de 2) Não (Nãowp ou Não wq ouwp) (Definição de 2) Não Não wp e Não Não wq e Não wp (De Morgan)

2.4 Metapropriedades 27

wp e wq e Não wp (Dupla Negação)

Neste caso, não é possível ter p e ¬p no mesmo mundo, provando-o a contra-dição.

Seja ϕ o axioma Ax6, a prova segue o mesmo caminho do axioma Ax5. Será provado por contradição.

w2(p∧q)→q

Não w(p∧q)→q (Definição de 2)

Não (w¬(p∧q)ou wq) (Semântica da→)

Não (w¬p∨ ¬q ouwq) (De Morgan)

Não (w¬pou w¬q ouwq) (Definição de ∨) Não (w2pou w2q ouwq) (Definição de 2) Não (Nãowp ou Não wq ouwq) (Definição de 2) Não Não wp e Não Não wq e Não wq (De Morgan)

wp e wq e Não wq (Dupla Negação)

Neste caso, não é possível ter q e ¬q no mesmo mundo, provando-o a contra-dição.

Seja ϕo axioma Ax7. A prova é feita por contradição, onde existe um mundo qualquer na lógica que não satisfaça este axioma.

w2p→(p∨q)

Não wp→(p∨q) (Definição de 2)

Não (w2pou w(p∨q)) (Semântica de→)

Não (w2pou (w p ouw q)) (Semântica de∨) Não w2pe Não wpe Não wq (De Morgan)

2.4 Metapropriedades 28 Como não pode ocorrer uma contradição de proposição em qualquer mundo, se tem a prova que o axioma Ax7 é satisfeito em qualquer mundo.

Seja ϕo axioma Ax8. A prova é feita por contradição, onde existe um mundo qualquer na lógica que não satisfaça este axioma.

w2q→(p∨q)

Não wq→(p∨q) (Definição de 2)

Não (w2q ouw(p∨q)) (Semântica de→)

Não (w2q ou(wp ouwq)) (Semântica de∨) Não w2q e Não wp e Não wq (De Morgan)

Como não pode ocorrer uma contradição de proposição em qualquer mundo, se tem a prova que o axioma Ax8 é satisfeito em qualquer mundo.

Seja ϕ o axioma Ax9. A prova é realizada por contradição para demonstrar que satisfaz o axioma em qualquer mundo.

w2(p→r)→((q→r)→((p∨q)→r))

Não w(p→r)→((q →r)→((p∨q)→r)) (Definição de 2)

Não (w¬(p→r)ou w((q →r)→((p∨q)→r)) (Semântica da →) Não (w ¬(p → r)ou (w ¬(q → r) ouw

((p∨q)→r))

(Definição de 2)

(i) Não w ¬(p → r) e (ii) Nãow ¬(q → r)e (iii) Não w((p∨q)→r))

(De Morgan)

O desenvolvimento da prova sera divido em três subprovas para uma melhor visualização. Por (i) se tem que.

Não w¬(¬p∨r) (Semântica da→)

Não w¬¬p∧ ¬r (De Morgan)

Não (w¬¬pe w¬r) (Semântica de∧)

2.4 Metapropriedades 29

Não w¬¬pou Não w¬r (De Morgan)

Não Não Não wp ou Não Nãowr (Definição de 2)

Não wpou wr (Dupla Negação)

Por (ii) tem que.

Não w¬(q →r)

Não w¬(¬q∨r) (Semântica de→)

Não w¬¬q∧ ¬r) (De Morgan)

Não wq∧ ¬r (Dupla Negação)

Não (wq e w¬r) (Semântica de∧)

Não wq ou Não w¬r) (De Morgan)

Não wq ou Não Não wr) (Definição de 2)

Não wq ouwr (Dupla Negação)

Por fim, em (iii) apresenta-se.

Não w((p∨q)→r))

Não w¬(p∨q)∨r (Semântica da→)

Não w(¬p∧ ¬q)∨r (De Morgan) Não (w(¬p∧ ¬q)ou wr) (Semântica da∨) Não w(¬p∧ ¬q)e Não wr (De Morgan) Não (w¬pe w¬q) e Não wr (Semântica da∧) ( Não w¬p ou Não w¬q) e Não wr (De Morgan) ( Não Não wp ou Não Nãowq)e Não w r (Definição de 2)

(wp ouwq) e Não wr (Dupla Negação)

Ao unir as subprovas (i), (ii), (iii) obtém-se.

(w2p ouwr) e (w2q ouwr)e ((wpou wq) ew2r)

Independente do valor da proposição no mundo w sempre ocorrerá uma con-tradição, o que prova a validade do axioma em todos os mundos w∈W.

2.4 Metapropriedades 30

Sejaϕo axioma Ax10 e se deseja prová-lo com contradição, ou seja, não existe um mundo na lógica que satisfaça tal axioma.

w2¬¬p→p

Não w¬¬p→p (Definição de 2)

Não (w¬¬¬p ou wp) (Semântica de→)

Não w¬¬¬pe Não wp (De Morgan)

Não Não Não Não wp e Não wp (Definição de 2)

Não Não wp e Não wp (Dupla Negação)

wp e Não wp (Dupla Negação)

Onde não é possível um mundo satisfazer p e ¬p, é provado por contradição que o axioma Ax10 é satisfeito em qualquer mundo w∈W.

Seja ϕ o axioma K, prova-se por contradição que existe um mundo qualquer do sistema K, tal que w∈W, em que:

w22(p→q)→(2p→2q)

Não w2(p→q)→(2p→2q) (Definição de 2) Não (w22(p→q) ouw2p→2q) (Semântica da→) Não w22(p→q) e Não w2p→2q) (De Morgan) Não Não w2(p→q)e Não w2p→2q (Definição da 2) w2(p→q)e Não w 2p→2q (Dupla negação) w2(p→q)e Não (w22pou 2q) (Semântica da→) w2(p→q)e Não w 22p e Não w2q (De Morgan) w2(p→q)e Não Não w2p e Não w2q (Definição da 2) w2(p→q)e w2p e Não w2q (Dupla negação)

2.4 Metapropriedades 31 Este momento da prova será dividido em três componentes.

O primeiro componente é w2(p→q). Pela definição de 2, se tem:

Para todo w⁰ ∈W, tal que wRw⁰, w⁰ p→q

w⁰ 2p ouw⁰ q (Semântica de→)

O segundo componente consiste em w 2p. Pela definição de 2, é demons-trado que:

Para todo w⁰⁰ ∈W, tal quewRw⁰⁰,w⁰⁰ p

O terceiro contém Não w2q. Pela definição de2, define-se que:

Para todo w⁰⁰⁰ ∈W, tal que wRw⁰⁰⁰,w⁰⁰⁰ q

Conforme apresentado anteriormente, a definição de 2 se diz que para todos os mundos que w se relaciona, tem a proposição verdadeira, logo, a prova do primeiro componente nega o segundo e o terceiro componente, chegando no fim a uma contradição.

Desta forma, é provado que o axioma K valida-se em todos os modelos possíveis.

Seja ϕo axioma da possibilidade e o propósito da prova é por contradição.

w23(ϕ∨ψ)→(3ϕ∨3ψ)

Não w3(ϕ∨ψ)→(3ϕ∨3ψ) (Definição de 2) Não (w23(ϕ∨ψ) ouw(3ϕ∨3ψ)) (Semântica de→) Não w23(ϕ∨ψ) e Não w(3ϕ∨3ψ) (De Morgan) Não Não w3(ϕ∨ψ) e Não w(3ϕ∨3ψ) (Definição de 2) w3(ϕ∨ψ)e Não w(3ϕ∨3ψ) (De Morgan) w3(ϕ∨ψ)e Não (w3ϕouw3ψ) (Semântica de∨) (i) w3(ϕ∨ψ) e (ii) Nãow3ϕ e

(iii) Não w3ψ (De Morgan)

Ao analisar a subprova (ii), obtém-se:

Não w3ϕ

2.4 Metapropriedades 32 que contradiz as subprovas (ii) e (iii), pois não é possível um mundo ter uma fórmula e sua negação.

Caso 2: Se uma fórmula ϕ pertence ao conjunto de fórmulas Γ, então esta fórmula é consequência lógica do conjunto de fórmulas.

Se ϕ∈Γ, então Γϕ. 2

Caso 3: A prova de que o Modus Ponens (MP) é consistente em todos os sistemas normais possíveis é dada na seguinte forma. Como deseja-se provar que β é consequência lógica de α eα→β, se tem quewα ewα→β, então deseja-se provar

2.4 Metapropriedades 33

∀w⁰ ∈W, tal que wRw⁰, onde w⁰ `ϕ.

Utilizando a definição de 2 que é tal que todos os mundos que w se relaciona

ϕ é verdade, então w`2ϕ. Logo,Γ2ϕ. 2

Definição 14 (Completude). Um sistema é dito completo se casoϕé consequência lógica de Γ, então existe ϕ derivação de ϕ a partir de Γ.

Γϕ⇒Γ`ϕ

Teorema 2 (Completude da Lógica Modal). O sistema de Hilbert para a lógica modal é completo.

O desenvolvimento da prova da completude é realizado através de modelos canônicos usando o lema de Lindenbaum, a prova é feita para o sistema K, ou seja, o sistema mais genérico da lógica modal e baseou-se em (BLACKBURN; RIJKE; VENEMA, 2001, p. 202).

Definição 15 (Consistência). Um conjunto de fórmulas Λ é dito consistente se não fere o princípio da não contradição, ou seja, Λ0⊥.

Definição 16 (Maximal Consistente). O conjunto maximal consistente Λ⁺ de um con-junto de fórmulas consistentes Λ é tal que, para qualquer fórmula ϕ, tem-se ϕ ∈ Λ⁺ ou

¬ϕ∈Λ⁺ e Λ⁺ é consistente.

Lema 1. Se ∆ é consistente e Γ⊆∆, então Γ é consistente.

Prova: Seja ∆ consistente e Γ ⊆ ∆. Supomos que Γ é inconsistente, ou seja, existem ϕ₁, . . . , ϕ_n tais que {ϕ₁, . . . , ϕ_n} ⊆ Γ e `<sub>Γ</sub> ¬(ϕ<sub>1</sub> ∧. . . ∧ ϕ<sub>n</sub>). Como Γ ⊆ ∆, temos que existem ϕ<sub>1</sub>, . . . , ϕ<sub>n</sub> ∈ ∆, tal que `_∆ ¬(ϕ₁ ∧ . . . ∧ ϕ_n), tornando-o inconsistente, contradizendo a hipótese inicial.

Lema 2 (Lema de Lindenbaum). Dado um conjunto de fórmulas Γ consistente, existe um ∆ maximal consistente tal que Γ⊆∆.

Prova: A partir de Γ, mostra-se a existência de um ∆ maximal consistente em que Γ⊆∆.

2.4 Metapropriedades 34 Para o desenvolvimento da prova, assume-se um conjunto fixo e enumerável de todas as fórmulas, {σ₁, σ₂, . . .} que define uma sequência de conjuntos de fórmulas

Prova: Como apresentado pela Definição 17.3, ∆ se apresenta como a união de todos os conjuntos ∆_n, onde n∈N. Logo, seja qualquer valor den, ∆_n ⊆∆.

Lema 5. Γ⊆∆

Prova: Como em 17.1 se tem Γ⊆∆₀, e pelo Lema 4 tem-se ∆₀ ⊆∆, então Γ⊆∆.

Assim, prova-se que ∆é uma extensão de Γ.

A prova de que Γ é maximal necessita dos seguintes lemas.

Lema 6. ∆_k⊆∆_n, onde 0≤k ≤n.

Prova: Seja um valor qualquer de k, onde0≤k ≤n, pela Definição 17.2, um conjunto

∆_n é construído pelo conjunto de seus predecessores. Logo, para qualquer valor k ≤ n,

∆k ⊆∆n.

2.4 Metapropriedades 35

Prova (i): Supondo que∆tem um subconjunto inconsistente denominado∆⁰. Seja um σn ∈∆⁰, onde n é o maior termo do conjunto, pelo Lema 8, temos que∆⁰ ⊆∆n, logo∆n

é inconsistente, o que contradiz o Lema 1.

Prova (ii): Supondo ∆∪ {σ} consistente. Existe um n ∈ N, no conjunto {σ₁, σ₂, . . .} usado para a construção de ∆, σ = σ_n. Pelo Lema 1, qualquer subconjunto de ∆ con-sistente, também é consistente. Pela Definição 17.2, se tem ∆_n = ∆n−1 ∪ {σ_n}. Então σ_n ∈∆_n, como∆_n⊆∆, logo, σ∈∆.

Definição 18. O modelo canônico M^Λ para uma lógica modal Λ é dado como uma tripla (W^Λ,R^Λ,V^Λ).

1. W^Λ é um conjunto de todos os maximais consistentes de Λ.

2. R^Λ é uma relação binária sobre W^Λ denominada de relação canônica, onde wR^Λw⁰

2.4 Metapropriedades 36 O Frame canônico para Λ é dado por F^Λ = (W^Λ,R^Λ).

Lema 10. Para qualquer lógica normal Λ, wR^Λw⁰ ⇐⇒(∀ϕ,2ϕ∈w→ϕ∈w⁰).

Prova:

(⇒) SupondowR^Λw⁰ e ϕ /∈w⁰. Como w⁰ é um conjunto maximal consistente, temos que¬ϕ∈w⁰. ComowRw⁰, pela Definição 18.2, temos3¬ϕ∈w.Comowé maximal consistente temos ¬3¬ϕ /∈ w. Pela dualidade dos operadores modais demonstramos que 2ϕ /∈w. Neste caso está provado por contraposição.

(⇐) Supondo (2ϕ∈w →ϕ∈w⁰) e 3ϕ /∈w.Como w é maximal consistente, temos ¬3ϕ∈w. Pela dualidade dos operadores modais, 2¬ϕ∈w, aplicando a hipótese temos¬ϕ∈w⁰, ou seja,ϕ /∈w⁰, uma vez quew⁰ é maximal consistente. Logo, 3ϕ /∈w→ ϕ /∈w⁰, por contraposição, esta é a definição 18.2, portanto wR^Λw⁰.

Lema 11 (Lema Existencial). Dada Λ lógica modal normal e w∈W^Λ, se 3ϕ∈w então existe w∈W^Λ tal que wR^Λw⁰ e ϕ∈w⁰.

Prova: Suponhamos 3ϕ∈ w. Então o conjunto v ={ϕ} ∪ {ψ|2ψ ∈w} é consistente.

Para demonstrar tal fato, vamos supor que v⁰ é inconsistente, então háψ1, . . . , ψntais que

`_Λ (ψ₁∧ψ₂ ∧. . .∧ψ_n)→ ¬ϕ (Hipótese)

`_Λ 2((ψ₁∧ψ₂∧. . .∧ψ_n)→ ¬ϕ) (Necessitação)

`_Λ 2(ψ₁∧ψ₂∧. . .∧ψ_n)→2¬ϕ (Axioma K + MP)

`_Λ (2ψ₁∧2ψ₂∧. . .∧2ψ_n)→2¬ϕ (Distributiva do 2 para ∧) Como 2ψ_i ∈ w para 1 ≤ i ≤ n, temos que 2ψ₁ ∧ · · · ∧_n ∈ w, portanto 2¬ϕ∈ w. Pela dualidade dos operadores modais, ¬3ϕ∈w o que não é possível pois w é maximal consistente e 3ϕ∈w. Logo v⁰ é consistente.

Sejav uma extensão maximal consistente dev⁰, garantida pelo Lema 2. Então temos que ϕ ∈ v. Além disso, para qualquer fórmula ψ, se 2ψ ∈ w então ψ ∈ v. pelo Lema 10, tem-se então wR^Λv.

Lema 12 (Lema da Verdade). Para qualquer lógica modal normal Λ e qualquer fórmula ϕ, tem-se, M^Λ, w ϕ⇐⇒ϕ∈w.

2.4 Metapropriedades 37 Prova: A prova é realizada por indução de tamanho ϕ.

Base: ϕ=p ondep é uma proposição atômica. Pela definição de M^Λ temos que V^Λ(p, w) = 1⇐⇒p∈w.

Hipótese de Indução: Sejaϕcom tamanho1≤nentãoM^Λ, w ϕ⇐⇒ϕ∈w.

Passo: Temos 6 casos a analisar.

1. A fórmula ϕ é do tipo ¬ψ :

2.4 Metapropriedades 38 (b) M^Λ, w ψ₂ é análogo a (a), o que leva a (ψ₁∨ψ₂)∈w.

(⇐) Supondo que (ψ1∨ψ2)∈ w, como w é maximal consistente temos ψ1 ∈ w ou ψ₂ ∈w.

(a) Caso ψ₁ ∈ w então pela hipótese de indução tem-se que M^Λ, w ψ₁, logo M^Λ, w ψ₁∨ψ₂.

(b) Caso ψ₂ ∈ w então pela hipótese de indução tem-se que M^Λ, w ψ₂, logo M^Λ, w ψ₁∨ψ₂.

Portanto M^Λ, w ψ₁∨ψ₂. 5. A fórmula ϕ é do tipo 3ψ :

(⇒) Seja M^Λ, w 3ψ.

∃w⁰(wR^Λw⁰∧M^Λ, w⁰ ψ) (Definição de Possibilidade)

∃w⁰(wR^Λw⁰∧ψ ∈w⁰) (Hipótese de Indução)

3ψ ∈w (Definição de R^Λ)

(⇐) Seja3ψ ∈w, pelas equivalências acima basta encontrar um conjunto maximal consistente, tal que wR^Λw⁰ e ψ ∈w⁰. Pelo Lema 11 é provado.

6. A fórmula ϕ é do tipo 2ψ :

(⇒) Supondo M^Λ, w 2ψ e 2ψ /∈ w. Então como w é maximal consistente,

¬2ψ ∈ w. Pela dualidade dos operadores modais 3¬ψ ∈ w. Pelo Lema 11 existe w⁰ ∈ W^Λ em que wR^Λw⁰ e¬ψ ∈ w⁰. Porém como M^Λ, w 2ψ temos que para qualquer w⁰ ∈ W^Λ tal que wR^Λw⁰,M^Λ, w⁰ ψ. Pela hipótese de indução ψ ∈ w⁰ para todo w⁰ em quewR^Λw⁰. Temos que ψ ∈w⁰ e ¬ψ ∈w⁰, o que é absurdo, já que w⁰ é consistente. Portanto 2ψ ∈w.

(⇐) Supondo 2ψ ∈ w, pelo Lema 10, para todo w⁰ ∈ W^Λ tal que wR^Λw⁰ tem-se ψ ∈ w⁰. Pela hipótese de indução, M^Λ, w ψ para todo w⁰ em que wR^Λw⁰, logo M^Λ, w 2ψ.

Teorema 3 (Teorema dos Modelos Canônicos). Qualquer lógica modal normal é forte-mente completa em relação aos modelos canônicos.

2.5 Sistemas da Lógica Modal 39

No documento Implementação de uma biblioteca de lógica modal em Coq (páginas 26-42)