Pritsker (2001) externa uma preocupação com a metodologia de bootstrap para amostras históricas de dados filtrados até 500 observações. Segundo o autor, neste caso, há uma tendência para que o modelo subestime o risco, devido a pouca quantidade de extremos na distribuição dos dados. Segundo o autor, uma maior extensão de dados passados é necessária para a eficiência da metodologia, o que permitiria uma maior quantidade de observações extremas na distribuição.
Considerando a necessidade de uma maior extensão dos dados passados e levando em conta a peculiaridade dos ativos escolhidos, selecionou-se o período de 21/09/98 a 24/11/00 para estimativa do modelo GARCH e dos resíduos de cada série. Desta forma, gerou-se um total de 539 resíduos de retorno padronizados, para cada ativo-objeto.
Para o ativo Petrobrás, a regressão do retorno mais parcimoniosa incluiu o termo de média móvel (MA) com lag 1, cuja fórmula é apresentada na equação 8. O modelo de volatilidade que melhor se adaptou a série de retornos foi o TARCH de Glosten et al (1993), cuja fórmula é apresentada na equação 9.
rt t1 t (8) 2 1 1 1 2 1 t t t t t d h h (9)
Onde: é a constante do termo MA, t é o resíduo do retorno no momento t, ht é a
variância no momento t, eesão parâmetros de GARCH, é o parâmetro de GARCH relativo à assimetria e dt-1 é uma variável dummy igual a 1 se t-1 é negativo e 0, no caso
contrário.
Para os ativos Globocabo e Telemar, a regressão do retorno incluiu o termo de média móvel (MA) e o retorno do dia imediatamente anterior (AR), ambos com lag 1, e o modelo de volatilidade foi o GARCH (1,1) simétrico de Bollerslev (1986), apresentados nas equações 10 e 11 respectivamente: rt rt1 t1 t (10) 2 1 1 t t t h h (11)
A Tabela 2 indica a distribuição dos modelos estimados mês a mês, durante o período de 27/11/00 a 15/04/02, período de aplicação da metodologia na avaliação do Valor em Risco do portifólio de opções.
A partir da regressão inicial, que abrangeu o período de setembro de 1998 a novembro de 2000, gerou-se a série de 539 resíduos de regressão, cuja premissa, pela suposição do modelo de regressão, é normal (0, ht0.5), onde ht é a variância diária dos retornos dos ativos-
objeto. Os testes Kolmogorov-Smirnov e Anderson-Darling rejeitaram a hipótese de normalidade para os resíduos de regressão dos três ativos estudados. Padronizou-se então estes resíduos, dividindo-os pelo respectivo desvio-padrão do dia, criando o que Barone- Adesi et al (2000) denominam de resíduo de retorno padronizado, dado pela fórmula 12:
Zt =
th
t (12)Retorno Variância Retorno Variância Retorno Variância
set/98 a nov/00 MA TARCH ARMA GARCH ARMA GARCH
dez/00 MA TARCH ARMA GARCH ARMA GARCH
jan/01 MA GARCH ARMA GARCH ARMA GARCH
fev/01 MA GARCH ARMA GARCH ARMA GARCH
mar/01 MA TARCH ARMA GARCH ARMA GARCH
abr/01 MA TARCH ARMA GARCH ARMA GARCH
mai/01 MA TARCH ARMA GARCH ARMA GARCH
jun/01 MA TARCH ARMA GARCH ARMA GARCH
jul/01 MA TARCH ARMA GARCH ARMA GARCH
ago/01 MA TARCH MA GARCH ARMA GARCH
set/01 MA TARCH MA GARCH ARMA GARCH
out/01 MA GARCH MA GARCH ARMA GARCH
nov/01 MA GARCH MA GARCH ARMA GARCH
dez/01 MA GARCH MA GARCH ARMA GARCH
jan/02 MA GARCH MA GARCH - GARCH
fev/02 MA GARCH MA GARCH - GARCH
mar/02 MA GARCH MA GARCH - GARCH
Regressão
Período
Ativo-objeto Petrobrás Telemar Globocabo
Tabela 2 – Modelos Estimados por Regressão para os Retornos e Variâncias dos Ativos- Objeto Petrobrás, Telemar e Globocabo, no período de Setembro de 1998 a Março de 2002, aplicados para Previsão do Valor em Risco do Portifólio no Mês Imediatamente Posterior.
Onde: té o resíduo da regressão dos retornos, ht é a variância diária dos retornos do ativo-
objeto obtida pela modelação GARCH e Zt é o resíduo de retorno padronizado. A Figura 3
indica a distribuição obtida pelos resíduos de retorno padronizados do ativo-objeto Petrobrás.
Ao contrário do teste dos resíduos obtidos pela regressão do retorno, neste caso verificou-se que os testes Kolmogorov-Smirnov e Anderson-Darling não rejeitaram a hipótese de normalidade para os resíduos de retorno padronizados do ativo Petrobrás, ainda que a um nível de confiança de 10%. As Figuras 4 e 5 indicam as distribuições obtidas pelos resíduos de retorno padronizados dos ativos-objeto Telemar e Globocabo, respectivamente.
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 -3 .7 5 -2 .5 0 -1 .2 5 0 .0 0 1 .2 5 2 .5 0 3 .7 5 S e ries : R E S ID 0 1 S am p le 1 5 3 9 O b s e rvatio n s 5 3 9 M ean 0 .0 6 9 1 5 4 M ed ian 0 .0 0 9 2 4 2 M axim u m 3 .8 0 2 2 0 6 M in im u m -3 .5 9 6 7 8 2 S td . D ev. 0 .9 8 0 9 8 5 S kew n es s 0 .2 4 9 2 5 0 K u rtos is 3 .8 8 2 2 1 0 J arq u e-B era 2 3 .0 6 0 1 4 P rob ab ility 0 .0 0 0 0 1 0
Figura 3: Distribuição dos Resíduos de Retorno Padronizados do Ativo-Objeto Petrobrás, no Período de 21/09/98 a 24/11/00, com Base em um Retorno Modelado por um Termo de Média Móvel e Volatilidade Modelada pela Metodologia GARCH.
Anderson-Darling 1. 0 3 4 8 7
0 10 20 30 40 50 60 -2.5 0.0 2.5 5.0 Series : R ES ID01 Sample 2 539 O bservations 538 Mean 0.044494 Median 0.000769 Maximum 5.839274 Minimum -2.724643 Std. Dev. 1.001523 Skewness 0.478116 Kurtosis 5.070889 Jarque-Bera 116.6331 Probability 0.000000
Figura 4: Distribuição dos Resíduos de Retorno Padronizados do Ativo-Objeto Telemar, no Período de 21/09/98 a 24/11/00, com Base em um Retorno Modelado por um Termo de Média Móvel (MA) e um Termo Autoregressivo (AR) e com a Volatilidade Modelada pelo Método GARCH. Anderson-Darling 0 .5 2 6 5 Kolmogorov-Smirn. 0 .0 3 1 2 0 10 20 30 40 50 60 -2.5 0.0 2.5 5.0 Series : R ES ID01 Sample 2 408 O bservations 407 Mean 0.037046 Median 0.005983 Maximum 5.146127 Minimum -3.688240 Std. Dev. 1.002767 Skewness 0.500167 Kurtosis 5.213087 Jarque-Bera 100.0274 Probability 0.000000
Figura 5: Distribuição dos Resíduos de Retorno Padronizados do Ativo-Objeto Globocabo, no Período de 21/09/98 a 24/11/00, com Base em um Retorno Modelado por um Termo de Média Móvel (MA) e um Termo Autoregressivo (AR) e com a Volatilidade Modelada pelo Método GARCH.
Anderson-Darling 1 .3 4 6 8
Nos dois casos, também se verificou que os testes Kolmogorov-Smirnov e Anderson- Darling não rejeitaram a hipótese de normalidade para os resíduos de retorno padronizados dos ativos estudados, ainda que a um nível de confiança de 10%.
O modelo estimado de retorno e o modelo de volatilidade, no período de 21/09/98 a 24/11/00, foram utilizados para a formação deste banco de dados de resíduos de retorno padronizados e para a previsão dos retornos e das volatilidades dos ativos do mês seguinte, necessários para aferição do Valor em Risco da carteira composta pelas opções dos ativos- objeto estudados. Após este período de 1 mês, era feita nova estimativa do modelo de retorno e de volatilidade, baseado em uma janela móvel de 539 dias úteis, para previsão do Valor em Risco da carteira de opções do novo mês. O processo resultou em 17 regressões para o retorno e para a volatilidade de cada ativo-objeto estudado, que compôs o banco de dados de resíduos de retorno padronizados. A quantidade de regressões realizadas está de acordo com a quantidade de meses entre o primeiro e o último vencimento de opção, da amostra de vencimentos de opções deste estudo. No total, abordou-se 9 períodos de vencimentos de opções. A Tabela 3, a seguir, apresenta os vencimentos utilizados para aplicação das metodologias, a quantidade de dias de negociação até o vencimento e a quantidade de opções de cada ativo-objeto, cujo critério de seleção baseou-se na liquidez e na continuidade de negociação das opções, durante o período de estudo.
Tabela 3 – Vencimentos de Opção, Número de Dias de Negociação e Quantidade de Opções de cada um dos Ativos-Objeto Petrobrás, Telemar e Globocabo, selecionados neste Estudo para Aplicação das Metodologias Apresentadas.
Vencimento 18/12/00 19/02/01 16/04/01 18/06/01 20/08/01 15/10/01 17/12/01 18/02/02 15/04/02 Dias de Negociação 16 44 43 44 53 42 47 31 51
Ainda conforme a Tabela 2, o ativo-objeto Petrobrás foi o ativo mais instável em termos de regularidade para o modelo de retorno e volatilidade. Apesar disso, verifica-se uma tendência para um modelo com retorno em função do erro de retorno do dia anterior (MA) e com volatilidade indicada por um modelo TARCH de Glosten et al (1993). Os ativos Globocabo e Telemar apresentaram uma forte regularidade no modelo de retorno ARMA e no modelo de volatilidade GARCH (1,1) simétrico de Bollerslev (1986).
Selecionou-se os modelos de retorno do ativo-objeto e da variância que melhor se adaptaram aos retornos imediatamente anteriores ao período estudado. Os parâmetros dos retornos e da variância foram estimados através do software Eviews 4, que emprega o método de máxima verossimilhança. A escolha do método GARCH mais parcimonioso para cada semestre foi feita com base primeiramente nos p-valores da estimativa de cada parâmetro. Se o parâmetro de assimetria, dos processos TARCH (1,1) e EGARCH (1,1) fosse significativamente positivo ou negativo, o GARCH (1,1) seria descartado. Se os p- valores fossem razoavelmente semelhantes, eram utilizados os critérios Schwartz (1978) e Akaike (1970)12 .
Foi utilizado, ainda, o teste Ljung-Box para verificação da nulidade da hipótese de não autocorrelação entre os resíduos. Para uma estatística inferior a 25, com 15 graus de liberdade, não se rejeitou a hipótese de autocorrelação serial dos retornos igual a zero, com 95% de confiança, para todos as estimativas de volatilidade pela metodologia GARCH analisadas neste trabalho.
12 Estes métodos se baseiam no critério de aderência que visa comparar medidas de defasagens de modelos
alternativos estimados com o mesmo número de observações. Para maiores detalhes dos métodos veja Griffiths et al (2000).
A seguir foram compostas as carteiras de opções formadas por todas as opções de cada um dos três ativos-objeto e agrupadas de acordo com a relação entre o valor presente do seu preço de exercício e do preço spot do ativo-objeto. O critério de classificação das opções se baseou no trabalho de Donangelo, Lemgruber e Silva (2000). Com isso, as opções foram classificadas como dentro-do-dinheiro, quando a razão preço spot pelo valor presente do seu preço de exercício fosse maior que 1.05, no-dinheiro, quando a razão situou-se entre 0.95 e 1.05 e como fora-do-dinheiro, quando fosse menor que 0.95.
No total, foram compostos 829 dias de negociação para cada ativo-objeto, subdivididas posteriormente na classificação dentro-do-dinheiro, no-dinheiro e fora-do-dinheiro.
Para simular o retorno do ativo, no dia seguinte, colhia-se aleatoriamente e com reposição, por um processo de bootstrap, um resíduo de retorno padronizado e multiplicava-se pela volatilidade modelada pelo processo GARCH para o dia seguinte, de maneira a ajustá-lo às condições correntes de mercado. Este resíduo iria compor a parte não explicável do retorno do ativo-objeto. A parte explicável seria a resultante do modelo de regressão. No caso de
holding period maior que um, este procedimento recursivo poderia ser repetido para cada
dia até que o holding period fosse alcançado, gerando uma trajetória de preços futuros do ativo-objeto. Todo o processo era simulado 5.000 vezes.
Quando se trabalha com uma carteira de ativos, o processo é semelhante, mas com o cuidado de selecionarmos cada resíduo de retorno padronizado, de cada ativo, na mesma data da base de dados de resíduos, de maneira a manter o co-movimento que existe entre os ativos a cada dia. A idéia de co-movimento visa substituir a metodologia da matriz de
correlação e em um caso de carteira com muitos ativos pode demandar uma maior rapidez de cálculo computacional.
No caso particular das opções, partindo da constatação empírica de que os resíduos de retorno padronizados seguem a distribuição normal, gera-se pela metodologia uma distribuição normalizada de retornos do ativo previstos para o holding period e, calcula-se o valor da opção através da fórmula de Black&Scholes (1973) que irá gerar uma distribuição de valores de opções correspondente a cada valor de ativo simulado com sua respectiva variância – calculada com base na volatilidade implícita do dia útil anterior da opção. Neste caso, o VaR da opção é obtido através da leitura direta dos piores retornos para um dado percentil da distribuição empírica.
O método apresenta, ainda, propriedades para avaliação de situações de valores extremos ou de testes de stress. Neste caso, atribui-se maior probabilidade, no processo de colhimento do bootstrap, aos resíduos de retorno padronizados com maior valor absoluto.