3. Dados e metodologia
3.2. Metodologia de análise
Após inseridos os dados na folha de cálculo do Microsoft Excel, o software as frequências relativas de cada dígito para cada uma das quatro primeiras posições nos valores da amostra, que serão comparadas com as frequências esperadas de Benford.
O software realiza também o teste estatístico Z. Este teste tem como objectivo determinar se um dígito aparece numa posição particular com maior ou menor frequência do que a determinada pela distribuição de Benford. O teste Z foi realizado com um nível de significância de 5%, querendo isto dizer que o valor de limite máximo para o teste Z é 1.96. Portanto, todos os valores superiores a 1.96 em módulo são alvo de suspeita indicando que as frequências relativas registadas nestes casos se encontram já com um desvio significativo em relação às frequências de Benford. O valor z é calculado de acordo com a fórmula de Nigrini (1996):
Z = (|(po - pe| - )/si, sendo que si = [pi*(1-pi)/n]1/2
Onde:
po é a proporção observada na amostra;
pe é a proporção esperada baseada na Lei de Benford;
si é o desvio padrão para um dígito em particular;
pi é a proporção esperada de um dígito em particular baseada na Lei de Benford;
25
Por último, realiza-se outro teste estatístico, o teste do qui-quadrado. Trata-se de um teste de grau de ajuste, ou seja, o objectivo é medir o nível de correspondência entre a distribuição de uma certa amostra com a distribuição teórica de Benford. O teste é realizado na folha de cálculo do Microsoft Excel com recurso à fórmula (Cho & Gaines (2007)):
χ2
=
Onde:
Oi é a frequência absoluta observada;
Ei é a frequência absoluta esperada.
Para o caso do primeiro dígito o k será 9 e o teste segue uma distribuição χ2
com 8 graus de liberdade, então a hipótese de correspondência entre a distribuição de frequências da amostra e a distribuição de frequências de Benford será rejeitada quando o valor do χ2
for superior a 15,507, correspondente ao valor crítico com um nível de significância de 5%. Para o caso dos segundo, terceiro e quarto dígito, o k já será 10 porque o dígito zero já entra nas contas, e assim o valor crítico passa a ser 16,919 (9 graus de liberdade e nível de significância de 5%).
3.3. Hipótese de estudo
Depois de definida a amostra e explicação da metodologia de análise, querendo saber-se se a amostra recolhida segue ou não uma distribuição de acordo com a Lei de Benford, formulam-se as seguintes hipóteses de estudo:
H0 - Não existe diferença estatisticamente significativa entre as distribuições de
26
H1 - Existe diferença estatisticamente significativa entre as distribuições de frequências
relativas observadas (po) e as esperadas (pe).
4. Resultados e análise
A tabela 3 diz respeito à comparação dos valores das frequências relativas de Benford com as frequências relativas da amostra em estudo. Os valores indicados a vermelho são os que se encontram com um desvio mais significativo em relação às frequências de Benford. Conforme referido na metodologia de análise, a identificação destes valores só é possível graças ao teste estatístico Z, conforme comprova a tabela 4, em que os valores superiores a 1.96 em módulo, são considerados estatisticamente significativos.
Tabela 3 – Frequências relativas de Benford e da amostra
Primeiro dígito Segundo dígito Terceiro Dígito Quarto dígito Valor Benford Amostra Benford Amostra Benford Amostra Benford Amostra
0 - - 0,11968 0,12719 0,10178 0,14268 0,10018 0,27821 1 0,30103 0,30884 0,11389 0,11536 0,10138 0,09977 0,10014 0,08162 2 0,17609 0,17385 0,10882 0,11191 0,10097 0,09731 0,10010 0,08148 3 0,12494 0,11792 0,10433 0,10337 0,10057 0,09765 0,10006 0,08049 4 0,09691 0,09602 0,10031 0,09859 0,10018 0,09499 0,10002 0,07940 5 0,07918 0,08005 0,09668 0,09450 0,09979 0,09464 0,09998 0,08157 6 0,06695 0,06722 0,09337 0,09257 0,09940 0,09558 0,09994 0,07906 7 0,05799 0,05948 0,09035 0,08769 0,09902 0,09282 0,09990 0,07620 8 0,05115 0,05213 0,08757 0,08488 0,09864 0,09341 0,09986 0,07926 9 0,04576 0,04449 0,08500 0,08394 0,09827 0,09114 0,09982 0,08271 Total 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000
A tabela 3 permite observar que para o caso do primeiro dígito, as frequências obtidas assemelham-se bastante às frequências de Benford, havendo apenas um desvio
27
mais significativo no valor 1, com uma frequência relativa superior na ordem das 7,8 milésimas, e no valor 3 com uma frequência relativa inferior em cerca de 7 milésimas.
Por sua vez, analisando a tabela 4, é possível observar o desvio estatisticamente significativo com base no teste Z e com um nível de significância de 5%. Com este nível de significância, o valor de referência é 1,96 e os resultados mostram que no caso dos algarismos 1 e 3 a hipótese H0 se rejeita, verificando-se uma diferença
estatisticamente significativa entre as distribuições de frequências relativas observadas e as esperadas.
Tabela 4 – Teste estatístico Z
Posições dos dígitos
Valor Primeiro Segundo Terceiro Quarto
0 - 3,286159 19,25044 84,42237 1 2,416157 0,646934 0,746433 8,771579 2 0,828327 1,398969 1,719459 8,824356 3 3,010843 0,433885 1,369661 9,275003 4 0,414181 0,802988 2,450153 9,772625 5 0,442687 1,039157 2,433137 8,725276 6 0,142937 0,380545 1,805803 9,902028 7 0,891045 1,309996 2,944398 11,24314 8 0,616228 1,343355 2,485347 9,773862 9 0,849584 0,526468 3,397743 8,116641
Para uma melhor percepção visual dos resultados no caso do primeiro dígito, é apresentado o gráfico 2 com a respectiva comparação entre as frequências relativas de Benford e as frequências relativas da amostra.
28
Gráfico 2 – Frequências relativas de Benford e da amostra para o primeiro dígito
Em relação ao segundo dígito, a maior diferença e a única estatisticamente significativa encontra-se no algarismo 0, conforme se pode observar pelo gráfico 3 e comprovar com valores pelas tabelas 3 e 4. Esta diferença de frequências relativas em cerca de 0,0075, é o suficiente para poder afirmar que no caso do 0 como segundo dígito, a hipótese H0 se rejeita. Em relação aos restantes algarismos os resultados
estatísticos indicam que não há desvios significativos, podendo afirmar-se que as distribuições de frequências relativas observadas são semelhantes às esperadas.
Gráfico 3 – Frequências relativas de Benford e da amostra para o segundo dígito
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Benford Amostra 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Benford Amostra
29
Ao contrário das situações anteriormente descritas, o caso das frequências dos terceiros dígitos já apresentam mais irregularidades e desvios. Pela observação do gráfico 4, a discrepância que mais salta à vista é logo a do algarismo 0. Trata-se de uma diferença de 4 centésimas e de um desvio bastante significativo estatisticamente. Em relação aos restantes algarismos com desvio significativo, os algarismos 4, 5, 7, 8 e 9, os desvios são mais ligeiros e em linha com o que se vinha verificando nas outras posições de dígitos, com a maior diferença de frequências relativas a registar-se no algarismo 9 com 0,00713 e a menor diferença no algarismo 5 com 0,00515.
Gráfico 4 – Frequências relativas de Benford e da amostra para o terceiro dígito
O quarto e último caso, dos quartos dígitos, é o caso mais crítico com as maiores diferenças ao nível das frequências relativas, como é facilmente percebido através do gráfico 5, onde todos os algarismos apresentam desvios estatisticamente significativos em relação aos valores de Benford, conforme se comprova pelas tabelas 3 e 4. Nesta situação é possível afirmar que existe diferença estatisticamente significativa entre as distribuições relativas observadas e as esperadas.
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Benford Amostra
30
Gráfico 5 – Frequências relativas de Benford e da amostra para o quarto dígito
Após esta análise dos resultados obtidos, é possível afirmar que o primeiro dígito apresenta uma distribuição de frequências bastante semelhante à distribuição de Benford, tanto na forma que o gráfico toma como também pelos resultados estatísticos, com apenas dois valores a constituírem um desvio estatisticamente significativo. O mesmo se pode dizer do segundo dígito, registando apenas um valor com desvio estatisticamente significativo. Em relação ao terceiro dígito a situação já se altera porque se verificam vários valores com desvio estatisticamente significativo. Por último, o quarto dígito é o caso mais crítico porque as frequências obtidas têm todas um desvio muito significativo em relação às frequências de Benford.
Tabela 5 - Teste estatístico do qui-quadrado
Posições dos dígitos
Valor Primeiro Segundo Terceiro Quarto
Total 14,91923 17,17018 375,9579 7134,867
Por último, a tabela 5 ilustra os resultados do teste estatístico do qui-quadrado. Analisando os resultados, é possível concluir que no caso do primeiro dígito o valor do χ2
é inferior ao valor crítico de 15,507 e assim afirma-se que não há evidência estatística
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Benford Amostra
31
para rejeitar a hipótese de haver correspondência entre a distribuição de frequências da amostra e a distribuição de frequências de Benford.
No caso das restantes posições dos dígitos, o valor crítico é 16,919. Conforme se pode observar no gráfico 3, a distribuição de frequências relativas da amostra é bastante semelhante à distribuição de frequências relativas de Benford, no entanto, o valor do χ2
é ligeiramente superior ao valor crítico. Assim, há evidência estatística de que, para um nível de significância de 5%, não há correspondência entre a distribuição de frequências da amostra e a distribuição de frequências de Benford.
Em relação ao terceiro e quarto dígito, todos os valores obtidos para o χ2 são
bastante superiores ao valor crítico, rejeitando-se assim a hipótese de haver correspondência entre a distribuição de frequências da amostra e a distribuição de frequências de Benford.
32
5. Conclusões
A Lei de Benford tem sido alvo de vários estudos e aplicações a situações decorrentes do dia-a-dia, com o objectivo de verificar se certas séries de dados seguem ou não a distribuição teórica de Benford. A detecção de fraude e manipulação de dados financeiros e contabilísticos, tem sido talvez a situação em que esta lei é mais usada, fornecendo aos auditores uma boa ferramenta de trabalho no que toca à actividade dos mesmos.
Em relação ao estudo desenvolvido nesta dissertação, foram realizados dois testes estatísticos. O teste estatístico Z não permite fazer uma análise de uma distribuição como um todo, visto que o teste é aplicado a cada valor individualmente. Por isso realizou-se o teste do qui-quadrado, a partir do qual já se pôde inferir mais precisamente se havia diferença estatisticamente significativa entre as distribuições da amostra e as de Benford, para as quatro posições dos primeiros dígitos.
A conclusão a que se chega, é que a distribuição de frequências do volume diário de transacções do PSI-20, no período compreendido entre 1 de Janeiro de 2009 e 31 de Dezembro de 2012, não apresenta diferença estatisticamente significativa para a distribuição de frequências de Benford no caso do primeiro dígito, com um nível de significância de 5%. Ou seja, a hipótese H0 não se rejeita. Pelo contrário, nos casos dos
segundo, terceiro e quarto dígitos, o teste do qui-quadrado permite-nos afirmar que a hipótese H0 se rejeita, ou seja, há evidência estatística de que as distribuições de
frequências da amostra nestes três casos, são diferentes das distribuições de frequências de Benford.
Por último, no que toca à liquidez do mercado de capitais, de acordo com a literatura existem diversos factores que influenciam a liquidez das acções e,
33
consequentemente, a liquidez do mercado de capitais. Vários autores focaram o seu estudo nos factores determinantes da liquidez e nas soluções que podem levar a um aumento da mesma. Desde a transparência e divulgação de informação, aos métodos utilizados no Corporate Governance, são várias as maneiras de conferir maior liquidez às acções das empresas e ao mercado de capitais em geral.
Concluindo, o estudo desenvolvido permitiu aferir as semelhanças e diferenças das distribuições de frequências da amostra com as de Benford. Mas é importante referir que nos três casos de diferenças estatisticamente significativas, não se trata de manipulação de dados, dado que o volume de transacções não é susceptível a manipulação. Obteve-se uma série de distribuições e verificou-se que apenas uma é compatível com a distribuição teórica de Benford.
34
Referências bibliográficas
Alexander, G.; Edwards, A. & Ferri, M. (2000). The Determinants of Trading Volume of High-Yield Corporate Bonds. Journal of Financial Markets, 3 (2), 177-204
Amihud, Y. & Mendelson, H. (1991). Liquidity, Asset Prices and Financial Policy. Financial Analysts Journal, 17 (6), 56-66
Amihud, Y. & Mendelson, H. (2000). The Liquidity Route to a Lower Cost of Capital. Journal of Applied Corporate Finance, 12 (4), 8-25
Amihud, Y. & Mendelson, H. (2008). Liquidity, the Value of the Firm and Corporate Finance. Journal of Applied Corporate Finance, 20 (2), 32-45
Benford, F. (1938). The Law of Anomalous Numbers. Proceedings of the American Philosophical Society, 78 (4), 551-572
Boyle, J. (1994). An Application of Fourier Series to the Most Significant Digit Problem. American Mathematical Monthly, 101 (9), 879-886
Carslaw, C. (1988). Anomalies in Income Numbers: Evidence of Goal Oriented Behavior. The Accounting Review, 63 (2), 321-327
Cho, W. & Gaines, B. (2007). Breaking the (Benford) Law: Statistical Fraud Detection in Campaign Finance. The American Statistician, 61 (3), 218-223
Chordia, T.; Roll, R. & Subrahmanyam, A. (2000). Market Liquidity and Trading Activity. Eleventh Annual Utah Winter Conference. Disponível em: http://ssrn.com/abstract=237674
Chordia, T.; Subrahmanyan, A. & Anshuman, V. (2001). Trading Activity and Expected Stock Returns. Journal of Financial Economics, 59 (1), 3-32
Christian, C. & Gupta, S. (1993). New Evidence on “Secondary Evasion”. The journal of the American Taxation Association, 15 (1), 72-92
Chung, K.; Elder, J. & Kim, J. (2010). Corporate Governance and Liquidity. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 45 (2), 265-291
Diekmann, A. & Jann, B. (2010). Benford’s Law and Fraud Detection: Facts and Legends. German Economic Review, 11 (3), 397-401
Durtschi, C.; Hillison, W. & Pacini, C. (2004). The Effective Use of Benford’s Law to Assist in Detecting Fraud in Accounting Data. Journal of Forensic Accounting, 5, 17- 34
Fewster, R. (2009). A Simple Explanation of Benford’s Law. The American Statistician, 63 (1), 26-32
Francisco, P. (2010). Liquidez e Características Intrínsecas das Acções – o Caso do Mercado Europeu. Cadernos do Mercado de Valores Mobiliários
Glosten, L. (1989). Insider Trading, Liquidity and the Role of Monopolist Specialist. Journal of Business, 17 (5), 211-235
35
Goh, B.; Ng, J. & Yong, K. (2008). The Effect of Corporate Governance on Liquidity: Voluntary Disclosure, Analyst Coverage and Adverse Selection as Mediating Mechanisms. Research Collection School Of Accountancy
Hasan, B. (2002). Assessing Data Authenticity eith Benford’s Law. Disponível em: http://www.isaca.org/Journal/Past-Issues/2002/Volume-6/Pages/Assessing-Data-
Authenticity-With-Benfords-Law.aspx
Hill, T. (1988). Random Number Guessing and the First Digit Phenomenon. Psychological Reports, 62 (3), 967-971
Hill, T. (1995). The Significant-Digit Phenomenon. American Mathematical Monthly, 102 (4), 322-327
Hill, T. (1995). A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law. Statistical Science, 10 (4), 354-363
Kale, J. & Loon, Y. (2010). Product Market Power and Stock Market Liquidity. Journal of Financial Markets. Disponível em: http://ssrn.com/abstract=1362159
Kyle, A. (1985). Continuous Actions and Insider Trading. Econometrica, 53 (3), 1315- 1335
Leitão, J. (1985). Operações Financeiras e Mercado de Capitais - Investidores Institucionais. Disponível em:http://www.estig.ipbeja.pt/~ac_direito/MoraisL85.pdf Martins, V.; Silva, R. & Nardi, P. (2006). Governança Corporativa e Liquidez das Acções. 30º Encontro da ANPAD.
Disponível em: http://www.anpad.org.br/enanpad/2006/dwn/enanpad2006-ficd- 3093.pdf
Newcomb, S. (1881). Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers. American Journal of Mathematics, 4 (1), 39-40
Nigrini, M. (1994). Using Digital Frequencies to Detect Fraud. The White Paper, April, 3-6
Nigrini, M. (1996). A Taxpayer Compliance Application of Benford’s Law. The Journal of the American Taxation Association, 18 (1), 72-91
Nigrini, M. & Wood, W. (1996). Assessing the Integrity of Tabulated Demographic Data. Working Paper, Saint Mary’s University, Halifax, N.S.
Nigrini, M. & Mittermaier, L. (1997). The Use of Benford’s Law as an Aid in Analytical Procedures. Auditing: A Journal of Practise & Theory, 16 (2), 52-67
Nigrini, M. (1999). I’ve Got Your Number. Journal of Accountacy, 187 (5), 79-83 Pinkham, R. (1961). On the Distribution of First Digit Significant Digits. The Annals of Mathematical Statistics, 32 (4), 1223-1230
Pires, C. (2011). Mercados e Investimentos Financeiros, 3ª Ed. Lisboa: Escolar Editora Raimi, R. (1976). The First Digit Problem. The American Mathematical Monthly, 83 (7), 521-538
36
Rindi, B. (2008). Informed Traders as Liquidity Providers: Anonymity, Liquidity and Price Formation. Review of Finance, 12, 497-532
Scott, P. & Fasli, M. (2001). Benford’s Law: An Empirical Investigation and a Novel Explanation. CSM Technical Report 349, Department of Computer Science, University of Essex
Simkin, M. (2010). Using Spreadsheets and Benford’s Law to Test Accounting Data. Disponível em: http://www.isaca.org/Journal/Past-Issues/2010/Volume-1/Pages/Using- Spreadsheets-and-Benford-s-Law-to-Test-Accounting-Data1.aspx
Stambaugh, C.; Tipgos, M.; Carpenter, F. & Smith, M. (2012). Using Benford Analysis to Detect Fraud. Internal Auditing, 27 (3), 24-29
Thomas, J. (1989). Unusual Patterns in Reported Earnings. The Accounting Review, 64 (4), 773-787
Varian, H. (1972). Benford’s Law. The American Statistician, 26 (3), 65-66
Wuyts, G. (2007). Stock Market Liquidity: Determinants and Implications. Tijdschrift voor Economie em Management, 52 (2), 279-316
37
Anexos
Tabela A – Lista de empresas do PSI-20 incluídas na amostra
Símbolo Nome Sector
ALTR Altri Indústria geral
BCP Banco Com. Português Banca
BES Banco Espírito Santo Banca
BPI Banco BPI Banca
BANIF Banif Banca
CFN Cofina Media
ESF Espírito Santo Financial Serviços financeiros
EDP EDP Electricidade
EDPR EDP Renováveis Electricidade
GALP Galp Petróleo e gás
JMT Jerónimo Martins Retalho
EGL Mota Engil Construção e materiais
PTC Portugal Telecom Telecomunicações fixas
PTI Portucel Floresta e papel
RENE REN Electricidade
SEM Semapa Floresta e papel
SON Sonae Retalho
SONI Sonae Indústria Construção e materiais
SNC Sonaecom Telecomunicações móveis
ZON ZON Multimédia Media Fonte: https://europeanequities.nyx.com
38
Tabela B - Contagem dos dígitos
Posição dos dígitos
1 2 3 4
Valor Esperado Actual Esperado Actual Esperado Actual Esperado Actual
0 0 0 2427 2579 2064 2893 2031 5641 1 6104 6262 2309 2339 2056 2023 2031 1655 2 3571 3525 2207 2269 2047 1973 2030 1652 3 2533 2391 2115 2096 2039 1980 2029 1632 4 1965 1947 2034 1999 2031 1926 2028 1610 5 1606 1623 1960 1916 2023 1919 2027 1654 6 1357 1363 1893 1877 2016 1938 2026 1603 7 1176 1206 1832 1778 2008 1882 2026 1545 8 1037 1057 1776 1721 2000 1894 2025 1607 9 928 902 1723 1702 1993 1848 2024 1677 Total 20277 20276 20277 20276 20277 20276 20277 20276
Nota: os valores esperados são obtidos a partir da multiplicação das frequências relativas de Benford com as frequências absolutas da amostra.