Metodologia
Tendo em vista o objetivo de investigar se/como alunos de Ensino Médio resolvem situações problemas que envolvem generalização de padrões, o que determina o caráter diagnóstico desta pesquisa, optei pela visão qualitativa.
Dentre as leituras de conceituados pesquisadores como Bogdan e Biklen (1994) e Lüdke e André (1986) que falam sobre a pesquisa qualitativa, destaco os seguintes pontos que contribuíram e foram levados em conta na realização desta pesquisa qualitativa: a obtenção de dados através da inserção direta do investigador no meio pesquisado; o uso de descrições, que permitem a análise dos dados em profundidade preservando o seu caráter situacional; o interesse pelo processo mais do que simplesmente pelos resultados; a busca do significado, da compreensão da perspectiva dos participantes da pesquisa.
Da Engenharia didática, metodologia de pesquisa qualitativa descrita por Michele Artigue (1988) como sendo:
[...] um esquema experimental baseado sobre “realizações didáticas” em sala de aula, isto é, sobre a concepção, realização, a observação e a analise de seqüências de ensino (p. 285)6
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Utilizei algumas fases: a análise a priori; a análise a posteriori e a validação interna que se dá pela confrontação da análise a priori com a análise a posteriori.
Esta pesquisa não se destina ao ensino de generalização de padrões, mas conforme já citado, não se pode descartar a ocorrência de aprendizagem por parte dos alunos por ela atingidos.
Breve comentário sobre as fases da pesquisa Fases das análises.
Em minha pesquisa, as análises preliminares e posteriores se deram por leituras sugeridas pela orientação, pelas bibliografias que referenciavam essas leituras, por colegas do grupo, por pesquisadores do Ebrapem e por membros da banca de qualificação. Não posso deixar de registrar a influencia das aulas do mestrado que possibilitaram o desenvolvimento de conhecimentos e subvencionaram algumas de minhas escolhas.
Na fase especifica da concepção e análise a priori do instrumento diagnóstico, utilizei o estudo das variáveis didáticas articulado com o das estratégias possíveis de resolução das atividades, que permitiram controlar o grau de dificuldade de cada uma.
Fase do contato e escolha dos sujeitos da pesquisa. Fase da aplicação do instrumento elaborado.
Fase conjunta da análise a posteriori e validação. Esta fase se apóia sobre todos os dados colhidos durante a experimentação pertencentes as observaçãoes realizadas durante cada sessão, bem como das produções dos alunos atingidos. É nesta fase que se dá o tratamento dos dados pertinentes.
Procedimentos metodológicos
Após as primeiras leituras sobre o tema de minha pesquisa, passei a elaborar o instrumento de coleta de dados de acordo com a metodologia adotada.
Primeiramente escolhi padrões que designarei como: figurativo-numéricos e numéricos simplesmente. Para tanto realizei uma análise a priori constituída de uma escolha das variáveis didáticas relacionadas com estudo das estratégias de resolução das atividades.
Decidi coletar os dados em escola pública, por esta ter maior concentração de alunos e também por que em geral ela é mais carente de subsídios, podendo usufruir de certa forma da realização da pesquisa, além de com os resultados da mesma, estar contribuindo para o trabalho dos professores.
Escolhi uma escola de Monte Mor, estado de São Paulo, cidade próxima de Campinas. A diretora dessa escola em exercício na época realizava seu mestrado e demonstrava boa vontade com a realização de pesquisas na escola que dirigia. Além disso, moro nessa cidade e um dos meus locais de trabalho é essa escola. Esses fatos justificam a escolha feita.
Após obter apoio e permissão da diretora para a realização de minha pesquisa na escola selecionada, conversei com professores de matemática do EM dessa escola para obter sua permissão em trabalhar com seus alunos fora do horário escolar.
Após obter o consentimento dos professores, decidi buscar alunos voluntários do EM.
Após seleção de 10 voluntários enviei carta a seus pais pedindo sua anuência na participação de seu filho em minha pesquisa.
Decidi que as atividades seriam feitas em dupla para facilitar a observação de como o aluno está pensando, pois para realizá-las terão que, necessariamente, conversar sobre o problema facilitando a gravação e a observação, além de praticar a expressão oral e escrita, o convívio em grupo, a
troca de informação, a discussão sobre os procedimentos e estratégias para a resolução das atividades, levantamento de conjecturas e hipóteses, para que façam comentários e chegue a conclusões comuns, visando com isso, o enriquecimento de cada um deles.
A aplicação do instrumento foi prevista para ser feita em duas sessões de aproximadamente 60 minutos.
Na sala da aplicação foi prevista a presença do pesquisador e de um observador. Este foi preparado para não intervir, apenas anotar suas observações.
Os protocolos foram recolhidos e as fitas gravadas foram transcritas após o que, realizei as análises a posteriori.
Da comparação das análises a priori com as a posteriori obtive as considerações finais.
C
apítulo IV
A EXPERIMENTAÇÃO
Elaboração do instrumento de pesquisa
No que segue, descrevo o objetivo, a questão conforme apresentada aos alunos e as estratégias previstas para a resolução de cada atividade7, que aparecem em ordem crescente de dificuldade e probabilidade de uso para resolução. O instrumento foi elaborado para ser aplicado em duas sessões.
1ª sessão
Em todas as atividades da primeira sessão decidi solicitar ao aluno a indicação do termo seguinte aos apresentados explicitamente na seqüência, no padrão. Além desse termo solicitei também a indicação do 127º termo. A escolha deste se deu para dificultar que o aluno escrevesse ou desenhasse todos os termos anteriores ao solicitado para encontrar esse que escolhi. Imaginei que dessa foram estaria motivando-o a procurar outra estratégia de resolução.
Atividade I
Objetivo: O objetivo principal dessa primeira atividade é o de apresentar um padrão numérico facilmente perceptível, via observação da seqüência, para não
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correr o risco de intimidar o aluno com um problema de difícil resolução. Uma seqüência numérica repetitiva que admite somente duas possibilidades facilita a percepção da correspondência entre a posição do elemento na seqüência e o número que representa essa posição.
Um aluno ao observar a seguinte seqüência: 1, 6, 1, 6, 1, 6, 1, 6, 1,...
diz que encontrou o próximo termo e que também foi capaz de encontrar o 127º termo. Como você responderia as seguintes questões:
a) Qual é o próximo termo dessa seqüência? b) Qual é o 127º termo da seqüência?
Possíveis estratégias de resolução: Questão a:
E1. 8 O aluno observa a seqüência e verifica que como os termos 1 e 6 se
alternam, o próximo termo da seqüência é 6. Questão b:
E1. O aluno faz a relação entre as posições pares e impares, e observará que o número 1 se relaciona com as posições impares e o número 6 com as pares, logo o número que está na 127ª posição é impar, concluindo que será o número 1. O aluno faz essa relação de dependência implicitamente:
Posições impares → 1 Posições pares → 6
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E2. O aluno continua descrevendo a seqüência até o 127º termo. Concluindo que o 127º termo corresponde ao número 1.
E3. A seqüência pode ser escrita como uma função f: N A, dessa forma o aluno poderia escrever, de forma explicita a função.
→ ⎩ ⎨ ⎧ = par for x se , 6 ímpar for x se , 1 ) x ( f
Concluindo que a 127ª posição é impar, correspondendo ao número 1. Atividade II
Objetivo: Apresentar uma seqüência figurativa-numérica, diferenciando da primeira que é numérica, que apresente um grau de dificuldade maior que a atividade anterior. Tal seqüência deve exigir que o aluno perceba um padrão com a alternação de três elementos, e a visualização não seja imediata, pois os elementos apresentados devem se iniciar e terminar com a mesma forma geométrica, o que pode dificultar um pouco mais a percepção do padrão.
Um aluno ao observar a seguinte seqüência:
diz que encontrou o próximo termo e que também foi capaz de encontrar o 127º termo. Como você responderia as seguintes questões:
a) Qual é o próximo termo dessa seqüência? b) Qual é o 127º termo da seqüência?
Possíveis estratégias de resolução: Questão a:
E1. O aluno percebe que a seqüência tem uma ordem e desenha a próxima forma, um círculo.
E2. Monta uma tabela e faz a relação entre a posição e a figura que a corresponde: Posição Figura P1 triângulo P2 círculo P3 retângulo P4 Triângulo P5 Círculo P6 Retângulo P7 Triângulo P8 Círculo P9 Retângulo P10 Triângulo P11 Círculo
Tabela 1 - Atividade II - Estratégia 2 - item a)
Questão b:
E1. O aluno continua desenhando até chegar na 127ª figura, e observa que a figura é um triângulo.
E2. Observa-se que o retângulo aparece na 3ª posição, 6ª posição e 9ª posição, conclui que nas posições de um número múltiplo de 3, a forma geométrica será sempre um retângulo. Para encontrar a 127ª posição verifica um múltiplo de três, próximo de 127, por exemplo, 120, conclui que essa posição é de um retângulo e daí calcula a forma do sétimo elemento, concluindo que na 127ª posição haverá um triângulo.
E3. O aluno poderá estabelecer uma relação montando grupos, por exemplo, um grupo de 9 elementos: ele percebe que cada grupo de 9 é formado pela
seqüência (t, c, r, t, c, r, t, c, r9; t, c, r, t, c, r, t, c, r; t, c, r, t, c, r, t, c, r; .... )
Dessa forma para achar a 127º posição, poderia relacionar quantos grupos de 9 resultam em 127, ou seja, montando a equação e chamando G =grupo, temos: Gx9=127
G= 9 127
G=14 grupos e pararia na 1ª posição, logo, observaria qual a figura que se encontra na 1ª posição, que no caso seria o triângulo.
E4. O aluno analisa a tabela acima, observa que o triângulo aparece na 4ª posição, voltando a repetir na 7ª posição, e depois na 10ª, logo a 11ª posição é a figura que vem logo após o triângulo que no caso, é o círculo, pois 10 3= 3 e sobra resto 1, esse resto quer dizer que será o triângulo, que é a figura que vem depois do retângulo. Então para achar a 127ª posição o aluno relacionará com os múltiplos de 3, então fará 127 ÷3= 42 e sobra resto 1, logo é o triângulo, figura que vem depois do retângulo.
÷
E5. O aluno poderia relacionar as figuras com as posições e escrever a seguinte função: F: N→A N→A 1→ 2 → 3→ 4→ 5→ , se x =3k +1 (1, 4, 7,...) f(x)= , se x = 3k +2 (2, 5, 8,...) , se x = 3k +3 (3, 6, 9,...) para k∈N
E conclui que a 127ª posição é um número da forma 3k+1, pois 127÷3= 3x42+1, que representa o triângulo.
Atividade III
Objetivo: Apresentar uma seqüência que é uma progressão aritmética, portanto um padrão numérico, assunto tratado geralmente no Ensino Médio e observar se e como os alunos resolvem esse problema de generalização de padrão.
Os alunos do 2º e 3º ano do Ensino Médio podem utilizar seus conhecimentos sobre progressões aritméticas para resolvê-lo, pois já devem ter tratado do assunto.
Um aluno ao observar a seguinte seqüência: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33,...
diz que encontrou o próximo termo e que também foi capaz de encontrar o 127º termo. Como você responderia as seguintes questões:
a) Qual é o próximo termo dessa seqüência? b) Qual é o 127º termo da seqüência?
Possíveis estratégias de resolução: Questão a:
E1. O aluno continua a seqüência, percebendo que basta adicionar 4.
E2. O aluno observa que cada termo é o anterior acrescido de quatro. Assim estabelece algumas relações. Do tipo:
1ª posição – corresponde 1 (1) 2ª posição – corresponde 5 (1+4) 3ª posição – corresponde 9 (1+4+4)
4ª posição – corresponde 13 (1+4+4+4)
5ª posição – corresponde 17 (1+4+4+4+4), dessa forma o aluno somará até a 10ª posição e chegará em 37 (1+4+4+4+4+4+4+4+4+4), nessa relação o aluno percebe que o número 1 é fixo.
E3. O aluno observa que:
Posição Cálculo T=1+4x(p-1)
Resultado da posição(p) menos um (1). (p-1) 1ª posição 01= 1 + 4 x 0 (p-1) = 1-1=0 2ª posição 05=1 + 4 x 1 (p-1) =2-1=1 3ª posição 09=1 + 4 x 2 (p-1) =3-1=2 4ª posição 13= 1 + 4 x 3 (p-1) = 4-1=3 ... ... ... 10ª posição 37= 1 + 4 x 9 (p-1) =10-1=9 nª posição T=1+4 x (p-1) (p-1)
Tabela 2 - Atividade III - Estratégia 3 - item a)
Logo a posição procurada (10ª) corresponde ao número 37.
E4. O aluno percebe que se trata de uma Progressão Aritmética. Usa a fórmula para encontrar o próximo termo que representa a 10ª posição que é 37, pois como já tem até a 9ª posição, facilmente consegue achar a 10ª, já que percebeu que a seqüência aumenta de 4 em 4. Utilizando a fórmula , temos:
a = an 1+ (n-1). r, do qual a = 10 n
n= número de termos (10)
q= é a razão, que nesse caso é 4.
Aplicando a fórmula do termo geral da PA: a10= 1+ (10-1).4
a10= 1+9.4
a10 =1+36
Observação: Esta estratégia para aqueles alunos que estão estudando as progressões ou já as estudaram pode não representar grande dificuldade e aparecer com a mais utilizada.
Questão b:
E1. O aluno continua somando de 4 em 4 até chegar no 127º termo que será o número 505.
E2. Para concluir qual número representa a 127ª posição o aluno monta grupos, por exemplo, estabelece uma relação com a 5ª posição e a 10ª, observando que número 17 representa a 5ª posição e o número 37 representa a 10ª. Dessa forma concluirá que a cada grupo de 5, aumenta 20. Logo para calcular a posição 127ª, deverá pensar quantos grupos de 5 cabem em 127, ou seja, 127 5=25 grupos e sobrou 2, que representa a 2ª posição = 5, assim 25.20 = 500 e como sobrou 2, devemos somar 500+5 (2ª posição) = 505.
÷
E3. O aluno observa que:
Posição Cálculo T=1+4x(p-1)
Resultado da posição(p) menos um (1). (p-1) 1ª posição 01= 1 + 4 x 0 (p-1) = 1-1=0 2ª posição 05=1 + 4 x 1 (p-1) =2-1=1 3ª posição 09=1 + 4 x 2 (p-1) =3-1=2 4ª posição 13= 1 + 4 x 3 (p-1) = 4-1=3 ... ... ... nª posição T=1+4 x(p-1) (p-1) 127ª posição T=1+4x(127-1)= T=1+4x126=505 (127-1)=126
Tabela 3 - Atividade III - Estratégia 3 - item b
E4. Aplicando a fórmula da Progressão Aritmética, o aluno acharia a 127ª posição.
a = an 1+ (n-1). r, do qual a = 127 n
n= número de termos (127) r= é a razão, que nesse caso é 4. Aplicando a fórmula temos: A127= 1+ (127-1). 4
A127= 1+(126 ). 4
A127= 1+504
A127=505
E5. O aluno poderia escrever uma função para expressar a posição e o número procurado, que implicitamente faria a descoberta da fórmula da PA.
p= posição procurada
f(p) = número que representa a posição procurada. f(p) =
{
1+ 4. (p - 1), p ∈N f(127) = 1+4x(127-1) f(127) = 1+4x126 f(127) = 1+504 f(127) = 505 Atividade IVObjetivo: Levar o aluno a refletir sobre o que é um padrão, sensibilizando-o para que perceba que a existência não está relacionada a uma regra geral como o das progressões aritméticas e geométricas, neste caso a regra geral até hoje não foi descoberta, mas trata sim, de um padrão, pois a seqüência escolhida é a seqüência dos números primos.
Um aluno ao observar a seguinte seqüência: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...
diz que encontrou o próximo termo. Como você responderia a seguinte questão: • Qual é o próximo termo dessa seqüência? Justifique sua resposta.
Possível estratégia de resolução:
E1. O aluno observa e percebe que se trata da seqüência de números primos, concluindo que a próxima posição é ocupada pelo número primo 31.
2ª sessão
Para esta sessão escolhi apresentar apenas uma atividade baseada em atividade proposta por Lesley Lee (1996) a esta atividade designamos de atividade V.
Objetivo: Apresentar um padrão geométrico flexível, já trabalhado com alunos do Ensino Médio por Lesley Lee de uma forma fechada, não flexível. Isso possibilitará de alguma forma uma comparação dos resultados obtidos. Esse problema poderá levar o aluno a formular generalizações em situações diversas. Dependendo da maneira com que visualiza o padrão, poderá despertar aptidão para analisar através de um padrão figurativo-numérico as relações numéricas de uma situação, explicitar em linguagem corrente e representá-las através de diferentes processos, incluindo o uso de símbolos, passando de uma forma de representação para outras. Diagnosticar se o aluno consegue usar as noções de correspondência e de transformação em situações concretas diversas, podendo despertar aptidão para concretizar em casos particulares, relações entre variáveis e fórmulas para procurar soluções de equações simples.
Observando a figura abaixo, que tal descobrir as relações entre a forma como a seqüência é construída, a quantidade de pontos em determinada posição e a sua posição na seqüência? Desafio vocês a investigar e descobrir as
próximas posições da seqüência!
a) Qual a 5ª posição? b) Qual a 100ª posição?
c) Existe uma posição com 200 pontos? Qual seria? d) Existe uma posição que tem 420 pontos? Qual seria?
e) Existe uma posição que apresenta 1123 pontos? Se existe diga qual é. f) Vocês conseguem agora escrever uma regra que pudesse representar
o número de pontos ou a forma de uma posição qualquer da seqüência?
Algumas estratégias previstas para resolução da atividade: Questão a:
E1. O aluno observa a figura em forma de retângulos sobrepostos, relacionando linhas e colunas, ou seja, 1ª posição (1 linha e 2 colunas, multiplicando linha por coluna terei 2x1=2 pontos), 2ª posição (2 linhas e 3 colunas, multiplicando linha por coluna obteria 2x3=6 pontos), perceberia então que a 3ª posição seria (3 linhas por 4 colunas, obteria 3x4=12 pontos) e a 4ª posição seria (4 linhas e 5 colunas, resultando em 4x5 = 20 pontos). Numericamente o aluno escreveria a seguinte seqüência (2, 6, 12, 20,...). Dessa forma na 5ª posição, o aluno faria 5 linhas x 6 colunas = 30 pontos.
E2. O aluno observa o padrão em forma de bordas, observa que na 1ª figura tem 2 pontos, 2ª figura 2+4=6, 3ª figura 2+4+6=12 e na 4ª 2+4+6+8=20. Logo a 5ª figura terá 2+4+6+8+10=30, o aluno perceberá que para calcular a 5ª posição, deverá somar (2+4+...+10), pois 10 é o dobro de 5. Essa análise o levará a fazer conjecturas de que essa soma, representa a soma de números pares.
E3. O aluno poderá descrever a seqüência em L, seria um outro olhar para a mesma figura e daí ficaria:
1ª figura – 2pontos 2ª figura – 4 pontos 3ª figura – 6 pontos 4ª figura – 8 pontos
... ... Percebendo que são múltiplos de 2. Numericamente a seqüência seria (2, 4, 6, 8,...).
Para encontrar a 5ª figura, o aluno faria 2x5=10pontos (é sempre o dobro da posição).
Questão b:
E1. Já na 100ª posição, o aluno observou que o número de linhas é sempre a própria posição e o número de colunas aumenta uma unidade. Dessa forma faria 100 linhas x 101 colunas (número de linhas + 1) = 100x101= 10.100 pontos.
E2. Da mesma forma para calcular a 100ª posição o aluno fará (2+4+6+8+...+200), pois 200 é o dobro de 100, provavelmente farão essa soma, e chegarão em 10.100.
E3. Para calcular a 100ª posição o aluno faria 2 x 100=200 pontos. Questão c:
E1. Para verificar se existe uma figura em que o número de pontos seja 200, o aluno testaria dois números consecutivos em que seu produto resultará em 200.
Logo concluirá que 13x14=182 e que 14x15=210, então não existe uma figura que tenha 200 pontos.
E2. O aluno monta a seqüência e calcula a soma de (2+4+... +26=182) e (2+4+...+...28 = 210). Logo a soma de 13 termos resultará em 182 - faltaria. Se a soma for de 14 termos resultará em 210 - ultrapassando o valor que seria 200 pontos. Concluindo que não existe uma figura que tenha 200 pontos.
E3. Como o aluno já encontrou que a 100ª posição que representa 200 pontos. Espera-se que perceba que 200 pontos representam a 100ª posição.
E4. O aluno poderia também não ter relacionado com a questão anterior e pensaria: ”existe um número que multiplicado por 2 resultará em 200?”.Dessa forma facilmente encontrará (2x100=200pontos), que representa a 100ª posição. Questão d:
E1. Para verificar se existe uma figura que tenha 420 pontos o aluno partiria da mesma idéia da questão anterior, tentaria dois números consecutivos que resultará em 420, e através de tentativas descobriria que os números são 20 e 21, pois 20 x 21=420. Como ele já fez a relação que o número da posição, multiplicado pelo seu consecutivo resultará no número de pontos, descobrirá que a figura procurada é a 20ª.
E2. Para encontrar uma figura que tenha 420 pontos, acredito que tentarão estabelecer uma regra, pois os cálculos estão ficando cansativos. Se o aluno já observou que a soma das 13 figuras, resultará em 182, é porque já estabeleceu uma relação entre o número da última soma com a posição procurada, que é sempre o dobro. Assim para calcular essa soma percebe que basta somar o 1º + o último, multiplicar pela metade do último (que representa a posição procurada) e dividir por dois. Descobrindo assim que para existir uma figura que tenha 420 pontos, ele escreveria a seguinte equação:
Chamando de x = o número procurado (lembrando que esse número representa o último, e que a posição está relacionada com
2 x ) 420= 2 2 ). 2 ( +x x
, resolvendo essa equação temos: 840= x +
2
2
x
1680= 2x+x 2
x2 +2 x – 1680=0 (equação do 2º grau completa)
x= 1 . 2 ) 1680 .( 1 . 4 2 2± 2 − − − x = 2 6724 2 ± − x= 2 82 2± − x= 2 80
x = 40, logo a posição procurada é 2 x =
2
40= 20 (20ª posição).
E3. O aluno pensaria: “existe um número que multiplicado por 2, resultará em 420?”. Logo esse número é 210, pois 2x210= 420, que representa a 210ª posição. Questão e:
E1. Para verificar se existe uma figura que tenha 1123 pontos o aluno partiria da mesma idéia da questão anterior, tentaria dois números consecutivos que resultará em 1123, através de tentativas descobriria que os números 33 x 34=1122. Assim nem tentará o próximo, pois 1122 é o que antecede de 1123, concluindo que não existe um produto de dois números consecutivos que resultará em 1123.
E2. Imagino que o aluno possa usar a mesma idéia da alternativa d para essa questão, porém ao começar fazer os cálculos observará que os números são altos.
Chamando de x = o número procurado (lembrando que esse número representa o último, e que a posição está relacionada com
2 x). 1123= 2 2 ). 2 ( +x x
, resolvendo essa equação temos:
2246= x + 2
2
x
4492= 2x+x²
x² +2 x -4492=0 (equação do 2º grau completa) x= 2 ) 4492 .( 1 . 4 4 2± − − − x = 2 17968 2 ±
− (Não possui raízes reais)
Logo a posição de número 1123 não existe.
E3. O aluno poderá pensar que todas as posições são números múltiplos de 2, logo 1123 é um número impar. Concluindo que não existe essa posição.
E4. O aluno poderia escrever uma equação (2x= 1123) e concluir que o resultado não é um número inteiro, percebendo que não existe uma posição para esse número.
Questão f:
E1. Para escrever uma regra, o aluno já descobriu que é o número da posição multiplicado pelo seu consecutivo (soma um), então poderá denominar a posição por letra, por exemplo, p, como já sabe que é só multiplicar a posição pela posição mais “um”, escreverá:
E2. 2= primeiro número da seqüência nº = número de pontos da seqüência x= último número da seqüência
2 x = a posição procurada. N= 2 2 ). 2 ( +x x , simplificando temos: N= 2 2 2 x x+ N= 2 2 2x+x2 N= 2 2x+x2 . 2 1 N = 4 2x+x2
E3. Para chegar à regra geral, o aluno já estabeleceu a relação de que basta multiplicar a posição por 2. Então o número de pontos de qualquer figura é:
Número de pontos= 2. x (x representa a posição).
Finda a análise a priori das atividades, passei a preparar os instrumentos da pesquisa que seriam entregues aos alunos participantes.
O material a ser entregue aos sujeitos da pesquisa durante a 1ª sessão foi impresso em folha sulfite em branco, cada uma das 4 atividades em folhas separadas.
Já, para a 2ª sessão, cuja única atividade possuía 6 questões, foi preparada a impressão de cada questão em uma folha separada de sulfite em branco.